（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.5.2 两角和与差的正弦、余弦与正切公式讲义（学生版+教师版）.zip

两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 要点一：两角和的余弦函数要点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： cos()coscossinsin C 要点二：两角和与差的正弦函数要点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数： sin()sincoscossin () S 在公式中用代替，就得到： () S 两角差的正弦函数： sin()sincoscossin () S 要点三：两角和与差的正切函数要点三：两角和与差的正切函数 利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导. sin()sincoscossintantan tan() cos()coscossinsin1tantan sin()sincoscossintantan tan() cos()coscossinsin1tantan tan() tantan 1tantan T tan() tantan 1tantan T 要点四：辅助角公式要点四：辅助角公式 1形如形如的三角函数式的变形：的三角函数式的变形：sincosaxbx =sincosaxbx 22 2222 sincos ab abxx abab 令，则 2222 cos,sin ab abab =sincosaxbx 22 sin coscos sinabxx 22 sin()abx （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和, a btan b a 22 sin b ab 共同确定。 ） 22 cos a ab 【典型例题典型例题】 类型一：两角和与差的三角函数公式的正用类型一：两角和与差的三角函数公式的正用 例 1已知，且、均为第二象限角，求、和 1 sin 3 2 cos 3 sin()sin() 。tan() 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，是第三象限角，求、 4 sin 5 , 2 5 cos 13 cos() 的值。cos() 例 2已知，tan()2 3 tan() 2 （1）求的值； （2）求的值tan sin()sin() 2 cos2sin 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）已知求的值 3 sin,(,) 52 2 3 tan() 4 （2）已知求的值。 3312 ,sin(),sin(), 45413 cos() 4 【变式 2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位xoyox, 圆相交于两点，已知的横坐标分别为。,A B,A B 2 2 5 , 105 （1）求的值；tan() （2）求的值。2 类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用 例 3.计算下列各式的值： （1）sin163sin223+sin253sin313； （2）； 1tan15 1tan15 （3）。3tan113tan19tan11 tan19 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值： sin7cos15 sin8 cos7sin15 sin8 【变式 2】求下列各式的值： （1）； （2） 1tan15 1tan165 tan10 tan20tan20 tan60tan60 tan10 【变式 3】化简：。 sin(2)2sin2 cos 2sin2 sincos(2) 类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用 例 4已知，求证： 4 AB (1tan)(1tan)2AB 举一反三：举一反三： 【变式 1】在锐角ABC 中，求证： （1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC； （2）。tantantantantantan1 222222 ABBCCA 【证明】 （1）因为 A+B+C=，所以 A+B=C，所以 tan（A+B）=tan（C） ，所以 ，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。 tantan tan 1tantan AB C AB （2）因为 A、B、C 是ABC 的三个内角，所以 A+B+C=，从而有。 222 ACB 左边tantantantantantantan1tantantantan 222222222222 BACACBACACAC tantan1tantantantan 2222222 BBACAC 右边。1tantantantan1 2222 ACAC 所以原式成立。 类型四：辅助角公式的应用类型四：辅助角公式的应用 例 5化简下列各式： （1）； （2）； （3）。2(sincos )xx 26 sincos 4444 xx 3 15sin3 5cosxx 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简下列各式：（1）sin x+cos x； （2）sin x-cos x； （3）。3sincosxx y x B A O 类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用 例 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点AB （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；A 3 5 B 12 13 sin() （） 若AB=， 求的值. 3 2 OA OB 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数。的图象与直线 y=2 的两个相邻交( )3sincosf xxx(0)( )yf x 点的距离等于 ，则的单调递增区间为（ ）( )f x A， B， 5 , 1212 kk Zk 511 , 1212 kk Zk C， D，, 36 kk Zk 2 , 63 kk Zk 【变式 2】已知点 M(1cos2x,1)，N(1，sin2xa)(xR，aR，a 是常数)，设 y (O 为坐3OM ON 标原点) (1)求 y 关于 x 的函数关系式 yf(x)，并求 f(x)的最小正周期； (2)若 x0，时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值，并求 f(x)在0，上的最小值 2 2 【变式 3】函数，xR，函数 f（x）与函数 g（x）的图象关于原点对 13 ( )sin2cos21 22 g xxx 称 （1）求 y=f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在0，上的单调递增区间 【变式 4】 已知向量，且，其中(sin ,1)a (cos , 3)b /ab (0,) 2 （1）求的值； （2）若，求 cos x 的值 3 sin() 5 x0 2 x 【变式 5】 已知锐角ABC 中， 3 sin() 5 AB 1 sin() 5 AB （1）求证：tanA=2tanB； （2）求 tanA 的值 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 要点一：两角和的余弦函数要点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式： cos()coscossinsin C 要点二：两角和与差的正弦函数要点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数： sin()sincoscossin () S 在公式中用代替，就得到： () S 两角差的正弦函数： sin()sincoscossin () S 要点三：两角和与差的正切函数要点三：两角和与差的正切函数 利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导. sin()sincoscossintantan tan() cos()coscossinsin1tantan sin()sincoscossintantan tan() cos()coscossinsin1tantan tan() tantan 1tantan T tan() tantan 1tantan T 要点四：辅助角公式要点四：辅助角公式 1形如形如的三角函数式的变形：的三角函数式的变形：sincosaxbx =sincosaxbx 22 2222 sincos ab abxx abab 令，则 2222 cos,sin ab abab =sincosaxbx 22 sin coscos sinabxx 22 sin()abx （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和, a btan b a 22 sin b ab 共同确定。 ） 22 cos a ab 【典型例题典型例题】 类型一：两角和与差的三角函数公式的正用类型一：两角和与差的三角函数公式的正用 例 1已知，且、均为第二象限角，求、和 1 sin 3 2 cos 3 sin()sin() 。tan() 【解析】 ，且、均在第二象限， 1 sin 3 2 cos 3 故， 2 2 22 2 cos1 sin1 33 2 tan 4 ， 2 2 25 sin1 cos1 33 5 tan 2 故sin()sincoscossin 122 2522 10 33339 sin()sincoscossin 122 2522 10 33339 = tantan tan() 1tantan 52 24 52 1 () () 24 52 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，是第三象限角，求、 4 sin 5 , 2 5 cos 13 cos() 的值。cos() 【解析】 由，得：， 4 sin 5 , 2 2 2 43 cos1 sin1 55 又由，为第三象限角得：， 5 cos 13 2 2 512 sin1 cos1 1313 ，cos()coscossinsin 3541233 51351365 。cos()coscossinsin 3541263 51351365 例 2已知，tan()2 3 tan() 2 （1）求的值； （2）求的值tan sin()sin() 2 cos2sin 【解析】 （1），tan()2 3 tan() 2 tan()2 3 tan 2 ； tan()tan tantan() 1tan()tan 3 2 7 2 3 4 12 () 2 （2）化简可得 sin()sin() cossin 2 cos2sincos2sin 1tan3 12tan10 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）已知求的值 3 sin,(,) 52 2 3 tan() 4 （2）已知求的值。 3312 ,sin(),sin(), 45413 cos() 4 【解析】 （1）由题意， 3 sin,(,) 52 2 ， ， 2 4 cos1 sin 5 sin3 tan cos4 所以 33 tantan1 31 44 tan() 33 47 1tantan1 44 （2）, 333 ,2,(,) 42424 又 34 sin(),cos(); 55 125 sin(),cos(). 413413 =cos()cos ()() 44 cos()cos()sin()sin() 44 = 4531256 ()() 51351365 【变式 2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位xoyox, 圆相交于两点，已知的横坐标分别为。,A B,A B 2 2 5 , 105 （1）求的值；tan() （2）求的值。2 【解析】由三角函数定义可得， 22 5 cos,cos, 105 又因为为锐角，所以因此, 7 25 sin,sin, 105 1 tan7,tan 2 （1）； tantan tan()3 1tantan （2）所以， 2 2tan4 tan2, 1tan3 tantan2 tan(2 )1 1tantan2 为锐角，, 33 02,2 24 类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用 例 3。计算下列各式的值： （1）sin163sin223+sin253sin313； （2）； 1tan15 1tan15 （3）。3tan113tan19tan11 tan19 【解析】 （1）sin163sin223+sin253sin313=sin163sin223+sin(163+90)sin(223+90) =sin163sin223+cos163cos223=cos(223163)=cos60=. 1 2 （2）。 1tan15tan45tan153 tan(4515 )tan30 1tan151tan45 tan153 （3）3tan113tan19tan11 tan193(tan11tan19 )tan11 tan19 3tan(1119 )(1tan11 tan19 )tan11 tan19 。1tan11 tan19tan11 tan191 举一反三：举一反三： 【变式 1】求值： sin7cos15 sin8 cos7sin15 sin8 【解析】原式= sin(158 )cos15 sin8 cos(158 )sin15 sin8 tan1523 【变式 2】求下列各式的值： （1）； （2） 1tan15 1tan165 tan10 tan20tan20 tan60tan60 tan10 【解析】 （1）原式=； tan45tan15 tan(4515 )tan603 1tan15 （2）原式=tan10 tan203tan203tan10 3(tan20tan10 )tan20 tan10 =13tan30 (1tan20 tan10 )tan20 tan10 【变式 3】化简：。 sin(2)2sin2 cos 2sin2 sincos(2) 【解析】原式 sin2 coscos2 sin2sin2 cos 2sin2 sincos2 cossin2 sin 。 sincos2cossin2sin(2 ) tan(2 ) cos2 cossin2 sincos(2 ) 类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用 例 4已知，求证： 4 AB (1tan)(1tan)2AB 【证明】 tantan ,tan()1, 41tantan AB ABAB AB 得tantan1tantan,ABAB 1tantantantan2ABAB (1tan)(1tan)2AB 举一反三：举一反三： 【变式 1】在锐角ABC 中，求证： （1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC； （2）。tantantantantantan1 222222 ABBCCA 【证明】 （1）因为 A+B+C=，所以 A+B=C，所以 tan（A+B）=tan（C） ，所以 ，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。 tantan tan 1tantan AB C AB （2）因为 A、B、C 是ABC 的三个内角，所以 A+B+C=，从而有。 222 ACB 左边tantantantantantantan1tantantantan 222222222222 BACACBACACAC tantan1tantantantan 2222222 BBACAC 右边。1tantantantan1 2222 ACAC 所以原式成立。 类型四：辅助角公式的应用类型四：辅助角公式的应用 例 5化简下列各式： （1）；（2）；（3）。2(sincos )xx 26 sincos 4444 xx 3 15sin3 5cosxx 【解析】 （1） 22 2(sincos )22 sincos 22 xxxx 2 sin coscos sin2sin 444 xxx （2） 26 sincos 4444 xx 2 sin3cos 444 xx 。 213 2 sincos 44242 xx 227 sinsin 243212 xx （3）。3 15sin3 5cos6 5 sin coscos sin 66 xxxx 6 5sin 6 x 举一反三：举一反三： 【变式 1】化简下列各式：（1）sin x+cos x； （2）sin x-cos x； （3）。3sincosxx 【解析】 （1）sin x+cos x=；2sin() 4 x （2）sin x-cos x=；2sin() 4 x （3）=3sincosxx2sin() 6 x 类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用 例 6如图，在平面直角坐标系 xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点AB y x B A O （）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；A 3 5 B 12 13 sin() （） 若AB=， 求的值. 3 2 OA OB 【解析】 （）根据三角函数的定义得， ， 3 cos 5 12 sin 13 的终边在第一象限， 4 sin 5 的终边在第二象限， 5 cos 13 =+= sin()sincoscossin 4 5 5 () 13 3 5 12 13 16 65 （）方法（1）AB=|=|，AB OBOA 3 2 又， 22 2 |222OBOAOBOAOA OBOA OB 9 22 4 OA OB 1 8 OA OB 方法（2）， 222 |1 cos 2|8 OAOBAB AOB OA OB =OA OB 1 |cos 8 OA OBAOB 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数。的图象与直线 y=2 的两个相邻交( )3sincosf xxx(0)( )yf x 点的距离等于 ，则的单调递增区间为（ ）( )f x A， B， 5 , 1212 kk Zk 511 , 1212 kk Zk C， D，, 36 kk Zk 2 , 63 kk Zk 【答案】C【解析】。因为函数的图象与( )3sincos2sin 6 f xxxx ( )yf x y=2 的两个相邻交点的距离为 。所以。即 =2。所以。 2 ( )2sin 2 6 f xx 令得。即（） 。222 262 kxk 2 222 33 kxk 36 kxk Zk 所以函数的单调区间为（） 。( )f x, 36 kk Zk 【变式 2】已知点 M(1cos2x,1)，N(1，sin2xa)(xR，aR，a 是常数)，设 y (O 为坐3OM ON 标原点) (1)求 y 关于 x 的函数关系式 yf(x)，并求 f(x)的最小正周期； (2)若 x0，时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值，并求 f(x)在0，上的最小值 2 2 【解析】(1)依题意得：(1cos2x,1)，(1，sin2xa)，OM ON 3 y1cos2xsin2xa2sin(2x)1a.3 6 f(x)的最小正周期为 . (2)若 x0，则(2x)， 2 6 6 7 6 sin(2x)1， 1 26 此时 ymax21a4，a1， ymin1111. 【变式 3】函数，xR，函数 f（x）与函数 g（x）的图象关于原点对 13 ( )sin2cos21 22 g xxx 称 （1）求 y=f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在0，上的单调递增区间 【解析】 （1）设点（x，y）是函数 y=f（x）的图象上任意一点，由题意可知，点（x，y）在 y=g（x）的图象上，于是有：，xR 13 sin( 2 )cos( 2 ) 1 22 yxx 所以，xR 13 ( )sin2cos21 22 f xxx （2）由（1）可知，x0，记 D=0， 13 ( )sin2cos21sin(2) 1 223 f xxxx 由，kZ，解得，kZ，222 232 kxk 5 1212 kxk 则函数 f（x）在形如，kZ 的区间上单调递增 5 , 1212 kk 结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数 k 只能是 0 和 1 令 k=0 得；k=1 时，得 1 5 , 1212 D 1 713 , 1212 D 所以， 1 0, 12 DD 2 7 , 12 DD 于是，函数 f（x）在0，上的单调区递增区间是和0, 12 7 , 12 【变式 4】 已知向量，且，其中(sin ,1)a (cos , 3)b /ab (0,) 2 （1）求的值； （2）若，求 cos x 的值 3 sin() 5 x0 2 x 【解析】 （1）由，得，又，；/ab sin3cos10 3 tan 3 (0,) 2 6 （2），即，因为， 3 sin() 5 x 3 sin() 65 x 0 2 x 663 x ， 2 4 cos()1 sin () 665 xx coscos()cos()cossin()sin 666666 xxxx 43314 33 525210 【变式 5】 已知锐角ABC 中， 3 sin() 5 AB 1 sin() 5 AB （1）求证：tanA=2tanB； （2）求 tanA 的值 【解析】 （1）证明：因为， 3 sin() 5 AB 1 sin() 5 AB 所以，所以，所以， 3 sincoscossin 5 1 sincoscossin 5 ABAB ABAB 2 sincos 5 1 cossin 5 AB AB tan 2 tan A B 所以 tanA=2tanB （2）因为， 2 AB 3 sin() 5 AB 所以， 4 cos() 5 AB 3 tan() 4 AB 即 tantan3 1tantan4 AB AB 将 tanA=2tanB 代入得 2tan2B4tanB1=0， 得（舍去） ， 26 tan 2 B 26 tan 2 B 所以tan2tan26AB