（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质讲义（学生版+教师版）.zip

正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 要点要点 一：周期函数的定义一：周期函数的定义 函数，定义域为 I，当时，都有，其中 T 是一个非零的常数，则)(xfy Ix)()(xfTxf 是周期函数，T 是它的一个周期.)(xfy 要点要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数正弦函数 ysinx余弦函数 y=cosx 定义域RR 值域-1，1-1，1 奇偶性奇函数偶函数 周期性最小正周期2最小正周期2 单调区间 kZ 增区间： 2 2 2 2 kk， 减区间： 2 3 2 2 2 kk， 增区间：22kk ， 减区间： 最值点 kZ 最大值点(2,1) 2 k 最小值点(2, 1) 2 k 最大值点21k， 最小值点2, 1k 对称中心 kZ 0k，(,0) 2 k 对称轴 kZ 2 xk xk 要点要点 三：正弦型函数三：正弦型函数和余弦型函数和余弦型函数的性质的性质sin()yAxcos()( ,0)yAxA 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数sin()yAxcos()yAxsinyx 复合而成的复合函数，它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：cosyxsinyxcosyx （1）定义域：R （2）值域：,A A （3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以sin()yAxcos()( ,0)yAxA 通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数xsinyx 的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。cosyxx 比如：由解出的范围所得区间即为增区间，)( 2 2 2 2Zkkxk x 由解出的范围，所得区间即为减区间。)( 2 3 2 2 2Zkkxk x （4）奇偶性： 对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；sin()yAx()kkz() 2 kkz 对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。cos()yAx()kkz() 2 kkz （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有sin()yAxcos()yAxx 关，其周期为。 2 T （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大sinyx() 2 xkkz sin()yAx 值（或最小值） ，因此函数的对称轴由解出，其对称中心的sin()yAx() 2 xkkz 横坐标，即对称中心为。()xkkz,0 () k kz 同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由cos()yAx()xkkz 解出。() 2 xkkz 【典型例题典型例题】 类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域 例 1求函数的定义域； 2 2sincos1yxx 举一反三：举一反三： 【变式 1】求函数的定义域.)sin(coslgxy 【变式 2】已知的定义域为0，1)，求的定义域.)(xf)(cosxf 例 2求下列函数的值域： （1）y=|sin x|+sin x； （2），；2sin 2 3 yx , 6 6 x （3）。 cos2 cos1 x y x 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2 , 33 x （1）求函数 y=cos x 的值域； （2）求函数的最大值和最小值 2 3sin4cos4yxx 类型二：正弦函数、余弦函数的单调性类型二：正弦函数、余弦函数的单调性 例 3已知函数，xR( )2sin(2) 6 f xx （1）求 f（0）的值； （2）求函数 f（x）的最大值，并求 f（x）取最大值时 x 取值的集合； （3）求函数 f（x）的单调增区间 举一反三：举一反三： 【变式 1】求函数 y=-sin(x+)的单调区间： 4 【变式 2】比大小： （1） （2） 0 508cos 0 144cos1sin2sin （3） （4） 1cos2cos3cos5cos （5） （6） 1tan 5 . 1tan 1tan2tan 【变式 3】 sin1，cos1，tan1 的大小关系是（ ） A.tan1sin1cos1 B.tan1cos1sin1 C.cos1sin1tan1 D.sin1cos1tan1 类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性 例 4判断下列函数的奇偶性： （1）； 33 ( )sin 42 x f x （2）。 2 1 sincos ( ) 1 sin xx f x x （3）。 2 ( )lg(sin1 sin)f xxx 举一反三：举一反三： 【变式】关于 x 的函数=sin(x+)有以下命题：)(xf 对任意的，都是非奇非偶函数；)(xf 不存在，使既是奇函数，又是偶函数；)(xf 存在，使是奇函数；)(xf 对任意的，都不是偶函数.)(xf 其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立. 类型四：正弦函数、余弦函数的对称性类型四：正弦函数、余弦函数的对称性 例 5指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）； （2）.sin() 4 yx cos(2) 3 yx 类型五：正弦函数、余弦函数的周期类型五：正弦函数、余弦函数的周期 例 6求下列函数的周期：（1）； （2）。sin 3 3 yx cos 2 6 yx 类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例 7解不等式： （1） （2） （3） （4） 2 1 sinx 2 2 sinx 2 1 2cosx3tanx 例 8.已知函数 4 2sin2 xxf （1）求函数的定义域和值域； （2）求函数的周期； （3）求函数的最值及相应的 x 值集合 （4）求函数的单调区间； （5）若，求的取值范围； 4 3 , 0 x xf （6）求函数的对称轴与对称中心； xf （7）解不等式： 2xf 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数 f(x)sin(x)的最小正周期为 (0 2 3) (1)求当 f(x)为偶函数时 的值； (2)若 f(x)的图象过点，求 f(x)的单调递增区间 ( 6， 3 2) 【巩固练习巩固练习】 1下列结论错误的是（ ） A正弦函数与函数是同一函数 3 cos 2 yx B向左、右平移 2 个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数 C直线是正弦函数图象的一条对称轴 3 2 x D点是余弦函数图象的一个对称中心,0 2 2.函数是上的偶函数，则的值是( )sin(2)(0)yxR A. B. C. D.0 4 2 3已知函数的图象过点，则 f（x）的图象的一个对称中心是（ ( )2sin(2)f xx(|) 2 (0, 3) ） A B C D(,0) 3 (,0) 6 (,0) 6 (,0) 4 4函数（xR）的最小值等于（ ）2sincos 36 yxx A3 B2 C1 D5 5已知函数在区间0，a（其中 a0）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ( )sin(2) 3 f xx ） A B0 2 a 0 12 a C D,N* 12 akk 22,N 12 kakk 6 的值域是( )xxysinsin A. B. C. D. 0 , 1 1 , 0 1 , 10 , 2 7已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）.( )sin(0)f xx A. 关于点对称 B. 关于直线对称(0) ，x C. 关于点对称 D. 关于直线对称(0) ，x 8函数的图象是下图中的（ ）lncos 22 yxx 9函数的定义域是_ 2 sin16yxx 10.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是_.0( )2sinf xx, 3 4 11函数的图象为 C，以下结论中正确的是_（写出正确结论的编号）( )3sin(2) 3 f xx 图象 C 关于直线对称； 函数在区间内是增函数； 11 12 x( )f x 5 , 12 12 图象 C 关于点对称； 由 y=3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象 2 ,0 3 3 C 12已知函数 （1）求的定义域、值域； （2）判断的奇偶 1 2 1 sin ( )log 1 sin x f x x ( )f x( )f x 性 13已知 f(x)2sina1 (2x 6) (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)当 x时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值； 0， 2 (3)在(2)的条件下，求满足 f(x)1 且 x，的 x 的取值集合 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 要点要点 一：周期函数的定义一：周期函数的定义 函数，定义域为 I，当时，都有，其中 T 是一个非零的常数，则)(xfy Ix)()(xfTxf 是周期函数，T 是它的一个周期.)(xfy 要点要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数正弦函数 ysinx余弦函数 y=cosx 定义域RR 值域-1，1-1，1 奇偶性奇函数偶函数 周期性最小正周期2最小正周期2 单调区间 kZ 增区间： 2 2 2 2 kk， 减区间： 2 3 2 2 2 kk， 增区间：22kk ， 减区间： 最值点 kZ 最大值点(2,1) 2 k 最小值点(2, 1) 2 k 最大值点21k， 最小值点2, 1k 对称中心 kZ 0k，(,0) 2 k 对称轴 kZ 2 xk xk 要点要点 三：正弦型函数三：正弦型函数和余弦型函数和余弦型函数的性质的性质sin()yAxcos()( ,0)yAxA 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数sin()yAxcos()yAxsinyx 复合而成的复合函数，它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：cosyxsinyxcosyx （1）定义域：R （2）值域：,A A （3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以sin()yAxcos()( ,0)yAxA 通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数xsinyx 的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。cosyxx 比如：由解出的范围所得区间即为增区间，)( 2 2 2 2Zkkxk x 由解出的范围，所得区间即为减区间。)( 2 3 2 2 2Zkkxk x （4）奇偶性： 对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；sin()yAx()kkz() 2 kkz 对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。cos()yAx()kkz() 2 kkz （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有sin()yAxcos()yAxx 关，其周期为。 2 T （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大sinyx() 2 xkkz sin()yAx 值（或最小值） ，因此函数的对称轴由解出，其对称中心的sin()yAx() 2 xkkz 横坐标，即对称中心为。()xkkz,0 () k kz 同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由cos()yAx()xkkz 解出。() 2 xkkz 【典型例题典型例题】 类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域 例 1求函数的定义域； 2 2sincos1yxx 【解析】 为使函数有意义，需满足 2sin2x+cos x10，即 2cos2xcos x10，解得。 1 cos1 2 x 画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。 定义域为。 22 22, 33 xkxkkZ 举一反三：举一反三： 【变式 1】求函数的定义域.)sin(coslgxy 【解析】由kxkx2cos20)sin(cos(kZ). 又-1cosx1，0cosx1， 故所求定义域为22 22 kk ，. 【变式 2】已知的定义域为0，1)，求的定义域.)(xf)(cosxf 【解析】0cosx1，且.22 22 kxk 2xkkZ 所求函数的定义域为.22)(22 22 kkkkkZ ， 例 2求下列函数的值域： （1）y=|sin x|+sin x； （2），；2sin 2 3 yx , 6 6 x （3）。 cos2 cos1 x y x 【解析】 （1）， 2sin (sin0) |sin|sin 0 (sin0) xx yxx x 又1sin x1，y0，2，即函数的值域为0，2 （2）， 66 x 2 02 33 x 0sin 21 3 x 02sin 22 3 x 0y2；函数的值域为0，2 （3）， cos2cos1 11 1 cos1cos11 cos xx y xxx 当 cos x=1 时，函数的值域为 min 13 1 22 y 3 , 2 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2 , 33 x （1）求函数 y=cos x 的值域； （2）求函数的最大值和最小值 2 3sin4cos4yxx 【解析】 （1），当时，函数 y=cos x 取最小值， 2 , 33 x 2 3 x 21 cos 32 当 x=0 时，函数 y=cos x 取最大值 cos0=1， 函数 y=cos x 的值域为； 1 ,1 2 （2）化简可得 22 3sin4cos43(1 cos)4cos4yxxxx 令 cos x=t，由（1）知；代入可得 1 ,1 2 t 2 341ytt 由二次函数的性质可知，当时，y 取得最小值， 2 3 t 1 3 当时，y 取最大值 1 2 t 15 4 类型二：正弦函数、余弦函数的单调性类型二：正弦函数、余弦函数的单调性 例 3已知函数，xR( )2sin(2) 6 f xx （1）求 f（0）的值； （2）求函数 f（x）的最大值，并求 f（x）取最大值时 x 取值的集合； （3）求函数 f（x）的单调增区间 【解析】 （1）由函数，xR，可得( )2sin(2) 6 f xx (0)2sin()1 6 f （2）当时，sin(2)1 6 x max ( )2f x 此时，kZ，得，kZ22 62 xk 3 xk f（x）取最大值时 x 取值的集合为 |, 3 x xkkZ （3）由，kZ，求得，kZ，222 262 kxk 63 kxk f（x）的单调增区间为，kZ, 63 kk 举一反三：举一反三： 【变式 1】求函数 y=-sin(x+)的单调区间： 4 【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为k+，k+ ，减区间为k-，k+. 4 4 3 4 4 4 【变式 2】比大小： （1） （2） （4） （6） 1tan 5 . 1tan 1tan2tan 【变式 3】 sin1，cos1，tan1 的大小关系是（ A ） A.tan1sin1cos1 B.tan1cos1sin1 C.cos1sin1tan1 D.sin1cos1tan1 类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性 例 4判断下列函数的奇偶性： （1）； 33 ( )sin 42 x f x （2）。 2 1 sincos ( ) 1 sin xx f x x （3）。 2 ( )lg(sin1 sin)f xxx 【解析】 （1）xR， 333 ( )sincos 424 xx f x ，函数为偶函数。 3()3 ()coscos( ) 44 xx fxf x 33 ( )sin 42 x f x （2）由 1+sin x0，即 sin x1，（kZ） ，2 2 xk 原函数的定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数。 2 1 sincos ( ) 1 sin xx f x x （3）函数定义域为 R， ， 22 2 1 ()lg( sin1 sin)lglg(sin1 sin)( ) sin1 sin fxxxxxf x xx 函数为奇函数。 2 ( )lg(sin1 sin)f xxx 举一反三：举一反三： 【变式】关于 x 的函数=sin(x+)有以下命题：)(xf 对任意的，都是非奇非偶函数；)(xf 不存在，使既是奇函数，又是偶函数；)(xf 存在，使是奇函数；)(xf 对任意的，都不是偶函数.)(xf 其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立. 【解析】，k(kZ)；或者，+k(kZ)；或者，+k(kZ) 2 2 类型四：正弦函数、余弦函数的对称性类型四：正弦函数、余弦函数的对称性 例 5指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）； （2）.sin() 4 yx cos(2) 3 yx 【解析】（1）令（kZ） ，解得（kZ） 。 42 xk 4 xk 函数的对称轴方程是（kZ） 。 4 xk 同理，对称中心的横坐标为，即对称中心为。 4 xk 4 xk ,0 4 k （2）令（kZ） ，解得（kZ） 。2 3 xk 26 k x 函数对称轴方程是（kZ） 。 26 k x 同理，对称中心的横坐标为，即对称中心为2 32 xk 5 212 k x （kZ） 5 ,0 212 k 类型五：正弦函数、余弦函数的周期类型五：正弦函数、余弦函数的周期 例 6求下列函数的周期：（1）； （2）。sin 3 3 yx cos 2 6 yx 【解析】 （1）=3，。 2 3 T （2）函数的周期为 ，而函数的图象是cos 2 6 yx cos 2 6 yx 将函数的图象在 x 轴下方的部分对折到 x 轴上方，cos 2 6 yx 并且保留在 x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为。 2 T 类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例 7解不等式： （1） （2） （3） （4） 2 1 sinx 2 2 sinx 2 1 2cosx3tanx （1） zkkk 2 6 5 ,2 6 （2）zkkk 2 4 7 ,2 4 5 （3） zkkk 6 , 6 （4）zkkk 2 , 3 例 8.已知函数 4 2sin2 xxf （1）求函数的定义域和值域； （2）求函数的周期； （3）求函数的最值及相应的 x 值集合 （4）求函数的单调区间； （5）若，求的取值范围； 4 3 , 0 x xf （6）求函数的对称轴与对称中心； xf （7）解不等式： 2xf 【解析】 （1）定义域 R；值域：-2,2 （2）（3）当 y=2 时，x=； 当 y=-2 时，x= k 8 3 k 8 7 （4）单调增区间：k-，k+（k 属于 z） 单调减区间：k+, k+ 8 8 3 8 3 8 7 （5）-2，2 （6）对称轴：x=,k 属于 z 对称中心：（ 2 k 8 3 ）（， z k k0 28 （7） ， 2 4 2sin2 x 2 2 4 2sin x kxk2 4 3 4 22 4 kxk 24 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知函数 f(x)sin(x)的最小正周期为 (0 2 3) (1)求当 f(x)为偶函数时 的值； (2)若 f(x)的图象过点，求 f(x)的单调递增区间 ( 6， 3 2) 【解析】f(x)的最小正周期为 ，则 T，2f(x)sin(2x) 2 (1)当 f(x)为偶函数时， k，kZ，cos 0，0， 2 2 3 2 (2)f(x)的图象过点时，sin，即 sin ( 6， 3 2) (2 6) 3 2 ( 3) 3 2 又0， ， f(x)sin 2 3 3 3 3 2 3 3 (2x 3) 令 2k 2x 2k ，kZ，得 kxk，kZ 2 3 2 5 12 12 f(x)的单调递增区间为，kZ k 5 12，k 12 【巩固练习巩固练习】 1下列结论错误的是（ ） A正弦函数与函数是同一函数 3 cos 2 yx B向左、右平移 2 个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数 C直线是正弦函数图象的一条对称轴 3 2 x D点是余弦函数图象的一个对称中心,0 2 1 【答案】B 【解析】向左、右平移 2 个单位，图象都不变的函数并不只有正弦函数 2.函数是上的偶函数，则的值是( )sin(2)(0)yxR A. B. C. D.0 4 2 2. 【答案】C 【解析】为偶函数，使用诱导公式.xy2cos 3已知函数的图象过点，则 f（x）的图象的一个对称中心是（ ( )2sin(2)f xx(|) 2 (0, 3) ） A B C D(,0) 3 (,0) 6 (,0) 6 (,0) 4 3 【答案】B【解析】函数的图象过点，( )2sin(2)f xx(|) 2 (0, 3) ，由，可得：，32sin(|) 2 3 ( )2sin(2) 3 f xx 由五点作图法令，可解得：，则 f（x）的图象的一个对称中心是20 3 x 6 x (,0) 6 4函数（xR）的最小值等于（ ）2sincos 36 yxx A3 B2 C1 D5 4 【答案】C ，2sincos2sinsin 36326 yxxxx sin 3 x xR，ymin=1 5已知函数在区间0，a（其中 a0）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ( )sin(2) 3 f xx ） A B0 2 a 0 12 a C D,N* 12 akk 22,N 12 kakk 5 【答案】B【解析】函数在区间0，a（其中 a0）上单调递增，( )sin(2) 3 f xx 则，求得，故有2 32 a 12 a 0 12 a 6 的值域是( )xxysinsin A. B. C. D. 0 , 1 1 , 0 1 , 10 , 2 6 【答案】D 【解析】. 0,sin0 sinsin20 2sin ,sin0 x yxxy xx 7已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）.( )sin(0)f xx A. 关于点对称 B. 关于直线对称(0) ，x C. 关于点对称 D. 关于直线对称(0) ，x 7 【答案】A 8函数的图象是下图中的（ ）lncos 22 yxx 8 【答案】A 【解析】当时，cos x 递增，也递增；,0 2 x lncosyx 当时，cos x 递减，也递减，又为偶函数0, 2 x lncosyxlncosyx 9函数的定义域是_ 2 sin16yxx 9 【解析】要使原函数有意义，则， 2 sin0 160 x x 解得，2kx+2k，kZ解得，4x4；不等式组的解集为4，0， 10.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是_.0( )2sinf xx, 3 4 10.【解析】，；令 12 7 342 T 6 7 T 7 12 , 6 72 则是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即, 2222 xx , 22 ，, 3 4 , 22 则，；综上， 2432 且 2 3 2 3 0 11函数的图象为 C，以下结论中正确的是_（写出正确结论的编号）( )3sin(2) 3 f xx 图象 C 关于直线对称； 函数在区间内是增函数； 11 12 x( )f x 5 , 12 12 图象 C 关于点对称； 由 y=3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象 2 ,0 3 3 C 11 【答案】 【解析】 y=3sin2x 向右平移个单位得 3 的图象，非图象 C向右平移个单位长度可得图象 C 2 3sin23sin 2 33 yxx 6 12已知函数 （1）求的定义域、值域； （2）判断的奇偶 1 2 1 sin ( )log 1 sin x f x x ( )f x( )f x 性 12 【解析】 （1）由已知，又有1sin x1，故1sin x1 1 sin 0 1 sin x x 故的定义域为( )f x, 2 x xRxkkZ 且 又，因为1sin x1，所以， 1 sin(1 sin )22 1 1 sin1 sin1 sin xx xxx 01 sin2x ，故的值域为 11 1 sin2x 21 21 1 sin2x 2 11 10 1 sin x ( )f x （，+） （2）函数的定义域关于原点对称，且 sin(x)=sin x 故， 11 22 1 sin()1 sin ()loglog 1 sin()1 sin xx fx xx 11 22 11 sin loglog( ) 1 sin 1 sin 1 sin x f x x x x 故是奇函数( )f x 13已知 f(x)2sina1 (2x 6) (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)当 x时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值； 0， 2 (3)在(2)的条件下，求满足 f(x)1 且 x，的 x 的取值集合 13 【解析】(1)f(x)2sina1，由 2k 2x 2k ，kZ，可得 k xk ，kZ， (2x 6) 2 6 2 3 6 所以 f(x)的单调递增区间为，kZ k 3，k 6 (2)当 x 时，f(x)取得最大值 4，即 f2sin a1a34，所以 a1 6 ( 6) 2 (3)由 f(x)2sin21，可得 sin ， (2x 6) (2x 6) 1 2 则 2x 2k，kZ 或 2x 2k，kZ，即 x k，kZ 或 xk，kZ， 6 7 6 6 11 6 2 5 6 又 x，可解得 x ， ， ，所以 x 的取值集合为 2 6 2 5 6 2， 6， 2， 5 6