（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象讲义（学生版+教师版）.zip

正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法 2几何法 利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和2 , 0 xysin 的图象cosyx 3五点法 先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连 接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是：xysin2 , 0) 0 , 2(),1, 2 3 (), 0 , (),1 , 2 (),0 , 0( 要点诠释：要点诠释： （1）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到xR2 , 0 和的图象xysincosyx （2）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左cossin() 2 yxx cosyxxysin 平移个单位长度得到 2 要点二：正弦曲线、余弦曲线要点二：正弦曲线、余弦曲线 （1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲sin ()yx xRcos ()yx xR 线 （2）图象 要点三：函数图象的变换要点三：函数图象的变换 图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到 sinsin()sin()yxyxyAx 【典型例题典型例题】 类型一：类型一：“五点法五点法”作正、余弦函数的图象作正、余弦函数的图象 例 1作出下列函数在2，2上的图象 （1）； （2）； （3）， 1 1cos 3 yx 3 sin 2 yx cos 6 yx 11 , 66 x 【解析】 （1）描点、作图 x0 2 3 2 2 1 1cos 3 yx 其图象如下图所示： （2）函数 y=|cos x|，x2，2的图象可采用将函数 y=cos x，x2，2的图象在 x 轴下方 的部分翻折到 x 轴上方的方法得到，所得图象如下图所示： （3）找出五点，列表如下： 6 ux x y=cos u 描点作图： 类型二：利用图象变换作出函数的图象类型二：利用图象变换作出函数的图象 例 2作函数的图象； 2 1 cosyx 举一反三：举一反三： 【变式 1】利用图象变换作出下列函数的简图：1 cosyx 类型三：利用函数图象解简单的三角不等式类型三：利用函数图象解简单的三角不等式 例 3根据正弦曲线求满足的 x 的范围 3 sin 2 x 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）已知函数 y=3cosx，求单调区间、最值及取得最值条件 4 (,) 33 x （2）已知，求 的范围 2 1 sin 2 3 类型四：三角函数图象的应用类型四：三角函数图象的应用 例 4方程的解的个数为（ ）lgsinxx A0 B1 C2 D3 举一反三：举一反三： 【变式 1】画出图象，判断在0，2内使 sin xcos x 成立的 x 的取值范围 【变式 2】已知函数，x0，2，作出函数的图象；讨论直线 y=k 与函( )sin2|sin|f xxx( )f x 数的交点个数，并求此时的 k 的取值范围( )f x 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法 2几何法 利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和2 , 0 xysin 的图象cosyx 3五点法 先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连 接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是：xysin2 , 0) 0 , 2(),1, 2 3 (), 0 , (),1 , 2 (),0 , 0( 要点诠释：要点诠释： （1）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到xR2 , 0 和的图象xysincosyx （2）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左cossin() 2 yxx cosyxxysin 平移个单位长度得到 2 要点二：正弦曲线、余弦曲线要点二：正弦曲线、余弦曲线 （1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲sin ()yx xRcos ()yx xR 线 （2）图象 要点三：函数图象的变换要点三：函数图象的变换 图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到 sinsin()sin()yxyxyAx 【典型例题典型例题】 类型一：类型一：“五点法五点法”作正、余弦函数的图象作正、余弦函数的图象 例 1作出下列函数在2，2上的图象 （1）； （2）； （3）， 1 1cos 3 yx 3 sin 2 yx cos 6 yx 11 , 66 x 【解析】 （1）描点、作图 x0 2 3 2 2 1 1cos 3 yx 2 3 1 4 3 1 2 3 其图象如下图所示 （2）函数 y=|cos x|，x2，2的图象可采用将函数 y=cos x，x2，2的图象在 x 轴下方 的部分翻折到 x 轴上方的方法得到，所得图象如下图所示 （3）找出五点，列表如下： 6 ux 0 2 3 2 2 x 6 3 5 6 4 3 11 6 y=cos u10101 描点作图（如下图） 类型二：利用图象变换作出函数的图象类型二：利用图象变换作出函数的图象 例 2作函数的图象； 2 1 cosyx 【解析】将化为，其图象如下图 2 1 cosyx|sin|yx 举一反三：举一反三： 【变式 1】利用图象变换作出下列函数的简图：1 cosyx 【解析】先作出的图象，然后利用对称作出的图象，cosyxcosyx 最后向上平移 1 个单位即可，如下图 类型三：利用函数图象解简单的三角不等式类型三：利用函数图象解简单的三角不等式 例 3根据正弦曲线求满足的 x 的范围 3 sin 2 x 【解析】在同一坐标系内作出函数 y=sin x 与的图象，如下图 3 2 y 观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的 3 , 2 2 3 sin 2 x 4 , 3 3 x 因为正弦函数的周期是 2，所以满足的 x 的范围是 3 sin 2 x 4 2,2() 33 kkkZ 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）已知函数 y=3cosx，求单调区间、最值及取得最值条件 4 (,) 33 x （2）已知，求 的范围 2 1 sin 2 3 【解析】 （1）画出 y=3cosx，的图象，如图所示， 4 (,) 33 x 由图象可知单调增区间为，单调减区间为（0，）时， 4 (,0),( ,) 33 当 x=0 时，有最大值，最大值为 3，当 x= 时，有最小值，最小值为3； （2），或，kZ， 2 1 sin 2 3 22 36 kk 54 22 63 kk 的范围为 54 |22,22, 3663 kkkkkZ 或 类型四：三角函数图象的应用类型四：三角函数图象的应用 例 4方程的解的个数为（ ）lgsinxx A0 B1 C2 D3 【解析】 D 作出与的图象，当时，lgyxsinyx 5 2 x 5 lg1 2 y 5 sin1 2 y 当时，与再无交点由图知有三个交点，方程有三个解 9 2 x 9 lg1 2 ylgyxsinyx 举一反三：举一反三： 【变式 1】画出图象，判断在0，2内使 sin xcos x 成立的 x 的取值范围 【解析】用“五点法”作出 y=sin x，y=cos x（0 x2）的简图如图 由图象可知（1）当或时，sin x=cos x 4 x 5 4 x （2）当时，sin xcos x 5 44 x （3）当或时，sin xcos x0 4 x 5 2 4 x 故 x0，2时要使 sin xcos x，则 x 的取值范围为 5 , 44 【变式 2】已知函数，x0，2，作出函数的图象；讨论直线 y=k 与函( )sin2|sin|f xxx( )f x 数的交点个数，并求此时的 k 的取值范围( )f x 【解析】的图象如图，由图象可知： sin 0, ( ) 3sin ,2 xx f x xx 当 k0 或 k3 时，直线 y=k 与函数有 0 个交点；( )f x 当 k=3 时，直线 y=k 与函数有 1 个交点；( )f x 当3k1 时，直线 y=k 与函数有 2 个交点；( )f x 当 k=0 或 k=1 时，直线 y=k 与函数有 3 个交点；( )f x 当1k0 时，直线 y=k 与函数有 4 个交点( )f x