（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.2.1 三角函数的概念讲义（学生版+教师版）.zip

三角函数的概念三角函数的概念 要点一：三角函数定义要点一：三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：( , )P x y (1)叫做的正弦，记做，即；ysinsiny (2)叫做的余弦，记做，即；xcoscosx (3)叫做的正切，记做，即. y x tantan(0) y x x 要点诠释：要点诠释： 三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离P ，那么，。 22 rxy 22 sin y xy 22 cos x xy tan y x 要点二：三角函数在各象限的符号要点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 要点三：诱导公式一要点三：诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 ，其中sin(2 )sinkkZ ，其中cos(2 )coskkZ ，其中tan(2 )tankkZ 要点四：单位圆中的三角函数线要点四：单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于 1 的圆为单位圆设角的顶点在圆心 O，始边与轴正半轴重合，终边x 交单位圆于 P，过 P 作 PM 垂直轴于 M，以 A 为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向x y y 延长线)相交于点，则有向线段 0M、PM、AT 分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角T 函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段. 类型一：三角函数的定义类型一：三角函数的定义 例 1 （1）已知角的终边经过点 P（4a，3a） （a0） ，求 sin，cos，tan的值； （2）已知角的终边在直线上，求 sin，cos，tan的值。3yx 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知角的终边上一点，且，求的值.(3,)Pm 2 sin 4 m cos ,tan 【变式 2】已知角的终边落在 y=|2x|上，求值。cos 类型二：三角函数的符号类型二：三角函数的符号 例 2 （1）若 sin=2cos，确定 tan的符号； （2）若 sin0，cos0，则是第几象限角？ （3）若 sin20，且 cos0，试确定终边所在象限？ 【变式 1】求函数的值域。 sin|cos|tan |sin|cos| tan| xxx y xxx 类型三：诱导公式一的应用类型三：诱导公式一的应用 例 3 （1）； 1112 sincostan3cos 654 （2）sin（1740）cos1470+cos（660）sin750+tan405。 【变式 1】已知为第三象限角， sin(4 )cos(6)tan(2) ( ) tan(2 )sin(8 ) k f （1）化简； （2）若，求的值( )f 1 cos() 24 ( )f 三角函数的概念三角函数的概念 要点一：三角函数定义要点一：三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：( , )P x y (1)叫做的正弦，记做，即；ysinsiny (2)叫做的余弦，记做，即；xcoscosx (3)叫做的正切，记做，即. y x tantan(0) y x x 要点诠释：要点诠释： 三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离P ，那么，。 22 rxy 22 sin y xy 22 cos x xy tan y x 要点二：三角函数在各象限的符号要点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 要点三：诱导公式一要点三：诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 ，其中sin(2 )sinkkZ ，其中cos(2 )coskkZ ，其中tan(2 )tankkZ 要点四：单位圆中的三角函数线要点四：单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于 1 的圆为单位圆设角的顶点在圆心 O，始边与轴正半轴重合，终边x 交单位圆于 P，过 P 作 PM 垂直轴于 M，以 A 为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向x y y 延长线)相交于点，则有向线段 0M、PM、AT 分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角T 函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段. 类型一：三角函数的定义类型一：三角函数的定义 例 1 （1）已知角的终边经过点 P（4a，3a） （a0） ，求 sin，cos，tan的值； （2）已知角的终边在直线上，求 sin，cos，tan的值。3yx 【解析】 （1）， 22 ( 4 )(3 )5|raaa 若 a0，则 r=5a，角在第二象限，则： ，。 33 sin 55 ya ra 44 cos 55 xa ra 33 tan 44 ya xa 若 a0，则 r=5a，角在第四象限，则：， 3 sin 5 4 cos 5 3 tan 4 （2）因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点。3yx( , 3 )(0)P aa a 则（a0） 。 22 ( 3 )2|raaa 若 a0，则为第一象限角，r=2a，所以： ，。 33 sin 22 a a 1 cos 22 a a 3 tan3 a a 若 a0，则为第三象限角，r=2a，所以： ，。 33 sin 22 a a 1 cos 22 a a 3 tan3 a a 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知角的终边上一点，且，求的值.(3,)Pm 2 sin 4 m cos ,tan 【解析】由题设知，所以，得，3x ym 2222 |(3)rOPm 2 3rm 从而，解得或. 2 sin 4 m 2 3 mm r m 0m 2 16625mm 当时， ；0m 3,3rx cos1,tan0 xy rx 当时， ；5m 2 2,3rx 615 cos,tan 43 xy rx 当时， .5m 2 2,3rx 615 cos,tan 43 xy rx 【变式 2】已知角的终边落在 y=|2x|上，求值。cos 【解析】 y=|2x|，取点 P（1，2） ，2yx ( 1,2) P | |5rOPOP 或 15 cos 55 x r 5 5 类型二：三角函数的符号类型二：三角函数的符号 例 2 （1）若 sin=2cos，确定 tan的符号； （2）若 sin0，cos0，则是第几象限角？ （3）若 sin20，且 cos0，试确定终边所在象限？ 【解析】 （1）由 sin=2cos，知 sin与 cos异号，故是第二或第四象限角； 当是第二象限角时，tan0；当是第四象限角时，tan0。综上知，tan0。 （2）因为 sin0，cos0，所以为第四象限角。 （3）因为 sin20，所以 2k22k+（kZ） ，所以（kZ） 。 2 kk 当 k 为偶数时，是第一象限；当 k 为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。 又因为 cos0，所以为第二或第三象限角，或终边在 x 轴的非正半轴上。 综上知，角终边在第三象限。 【变式 1】求函数的值域。 sin|cos|tan |sin|cos| tan| xxx y xxx 【解析】 由题意知，角 x 的终边不在坐标轴上。 当 x 是第一象限角时，； sincostan 3 sincostan xxx y xxx 当 x 是第二象限角时，； sincostan 1 sincostan xxx y xxx 当 x 是第三象限角时，； sincostan 1 sincostan xxx y xxx 当 x 是第四象限角时， sincostan 1 sincostan xxx y xxx 故函数的值域为1，3。 sin|cos|tan |sin|cos| tan| xxx y xxx 类型三：诱导公式一的应用类型三：诱导公式一的应用 例 3 （1）； 1112 sincostan3cos 654 （2）sin（1740）cos1470+cos（660）sin750+tan405。 【解析】 （1）原式 12 sin2costan(2)cos 654 。 12 sincostancos 654 1212 222 （2）原式=sin(10180+60)cos(8180+30)+cos(4180+60)sin(4180+30)+tan(2180+45) =sin60cos30+cos60sin30+tan45=. 3311 12 2222 【变式 1】已知为第三象限角， sin(4 )cos(6)tan(2) ( ) tan(2 )sin(8 ) k f （1）化简； （2）若，求的值( )f 1 cos() 24 ( )f 【解析】 （1）为第三象限角， sin(4 )cos(6)tan(2)sincos( tan) ( )cos tan(2 )sin(8 )tansin k f （2）若， 1 cos()sin 24 2 15 cos1 sin 4 15 ( )cos 4 f