（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.5.3函数模型的应用举例讲义（学生版+教师版）.zip

函数模型的应用实例函数模型的应用实例 【典型例题典型例题】 类型一、已建立函数模型的应用题类型一、已建立函数模型的应用题 例 1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知 总收益满足函数： ，其中 x 是仪器的月产量。 2 1 400, (0400) ( )2 80000, (400) xxx R x x （1）将利润表示为月产量的函数 f (x)。 （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润） 举一反三：举一反三： 【变式 1】 设在海拔 x m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函数关系式是 y=cekx，其中 c，k 为 常量，已知某地某天海平面上的大气压为 1.01105 Pa，1000 m 高空的大气压为 0.90105 Pa，求 600 m 高空的大气压强（结果保留 3 位有效数字） 。 类型二、自建函数模型的应用问题类型二、自建函数模型的应用问题 例 2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为 8 m，最大装水量为 72 ，池底和池 3 m 壁的造价分别为 2a 元、a 元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价 2 /m 2 /m 最低？最低造价是多少？ 举一反三：举一反三： 【变式 1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商 订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元， 但实际出厂单价不能低于 51 元。 （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？ （2）设一次订购量为 x 个时，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数 P=f (x)的表达式； （3）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个时，利润又 是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本） 例 3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速 度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到 200 辆/千vx 米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研 究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数20200 xvx （）当时，求函数的表达式；20200 x( )v x （）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）( )( )f xxv x 举一反三：举一反三： 【变式 1】有一块铁皮零件，其形状是由边长为 40 cm 的正方形截去一个三角形 ABF 所得的五边 形 ABCDE，其中 AF=12 cm，BF=10 cm，如图所示现在需要用这块材料截取矩形铁皮 DMPN，使得 矩形相邻两边分别落在 CD，DE 上，另一顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上设 DM=x cm，矩形 DMPN 的 面积为 y 2 cm （1）试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域 （2）试问如何截取（即 x 取何值时） ，可使得到的矩形 DMPN 的面积最大？ 函数模型的应用实例函数模型的应用实例 【典型例题典型例题】 类型一、已建立函数模型的应用题类型一、已建立函数模型的应用题 例 1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知 总收益满足函数： ，其中 x 是仪器的月产量。 2 1 400, (0400) ( )2 80000, (400) xxx R x x （1）将利润表示为月产量的函数 f (x)。 （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润） 【解析】 （1）设每月产量为 x 台，则总成本为 20000+100 x， 从而。 2 1 30020000, (0400) ( )2 60000 100 , (400) xxx f x xx （2）当 0 x400 时， ， 2 1 ( )(300)25000 2 f xx 当 x=300 时，有最大值 25000； 当 x400 时，f (x)=60000100 x 是减函数， f (x)6000010040025000。 当 x=300 时，f (x)的最大值为 25000。 每月生产 300 台仪器时，利润最大。 最大利润为 25000 元。 举一反三：举一反三： 【变式 1】 设在海拔 x m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函数关系式是 y=cekx，其中 c，k 为 常量，已知某地某天海平面上的大气压为 1.01105 Pa，1000 m 高空的大气压为 0.90105 Pa，求 600 m 高空的大气压强（结果保留 3 位有效数字） 。 【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数 c、k，由 x=0 时 y=1.01105 Pa 和 x=1000 m 时 y=0.90105 Pa 可求。 将 x=0，y=1.01105，x=1000，y=0.90105分别代入函数关系式 y=cekx中，得 ，。 50 51000 1.01 10 0.90 10 k k ce ce 5 51000 1.01 10 0.90 10 k c ce 将 c=1.01105代入 0.90105=ce1000k中得 0.90105=1.01105e1000k， 。 10.90 ln 10001.01 k 由计算器算得 k=1.15104， 。 4 51.15 10 1.01 10 x ye 将 x=600 代入上述函数关系式得， 4 51.15 10600 1.01 10ye 由计算器算得 y=0.943105 Pa。 答：600 m 高空的大气压强约为 0.943105 Pa。 类型二、自建函数模型的应用问题类型二、自建函数模型的应用问题 例 2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为 8 m，最大装水量为 72 ，池底和池 3 m 壁的造价分别为 2a 元、a 元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价 2 /m 2 /m 最低？最低造价是多少？ 【解析】设池底一边长为 x，水池的高为 y，总造价为 z， 由最大装水量知 8xy=72， 9 y x 2 93 181616 ()114zaa xaxa xx 0 x 当且仅当即时，总造价最低， 3 x x 9 3,3xy x min 114za 答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为 3m 时，总造价最低，最低造价为 114a 元 举一反三：举一反三： 【变式 1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商 订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元， 但实际出厂单价不能低于 51 元。 （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？ （2）设一次订购量为 x 个时，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数 P=f (x)的表达式； （3）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个时，利润又 是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本） 【解析】 （1）设零件的实际出厂单价恰好降为 51 元时，一次订购量为 x0个，则 。 0 6051 100550 0.02 x 因此，当一次订购量为 550 个时，零件的实际出厂单价恰好降为 51 元。 （2）当 0 x100 时，P=60。 当 100 x550 时，。600.02(100)62 50 x Px 当 x550 时，P=51。 60 (0100,) ( )62 (100550,) 50 51 (550,) xx x Pf xxx xx N N N （3）设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的利润为 L 元，则 2 20 (0100,) (40)22 (100550,) 50 11 (550,) xxx x LPxxx xxx N N N 当 x=500 时，L=6000；当 x=1000 时，L=11000。 因此，当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是 6000 元；如果订购 1000 个时，利润 是 11000 元。 例 3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速 度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到 200 辆/千vx 米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研 究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数20200 xvx （）当时，求函数的表达式；20200 x( )v x （）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）( )( )f xxv x 【解析】 （）由题意：当；当020( )60 xv x时，20200,( )xv xaxb时设 再由已知得 1 2000, 3 2060,200 3 a ab ab b 解得 故函数的表达式为 ( )v x 60,020, ( ) 1 (200),20200 3 x v x xx （）依题意并由（）可得 60 ,020, ( ) 1 (200),20200 3 xx f x xxx 当为增函数，故当时，其最大值为 6020=1200；020( )xf x时， 当，20200 x时 2 1110000 ( )(200)(100) 333 f xxxx 所以，当时，在区间20，200上取得最大值100 x ( )f x 10000 3 综上，当时，在区间0，200上取得最大值100 x ( )f x 10000 3333 3 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时 举一反三：举一反三： 【变式 1】有一块铁皮零件，其形状是由边长为 40 cm 的正方形截去一个三角形 ABF 所得的五边 形 ABCDE，其中 AF=12 cm，BF=10 cm，如图所示现在需要用这块材料截取矩形铁皮 DMPN，使得 矩形相邻两边分别落在 CD，DE 上，另一顶点 P 落在边 CB 或 BA 边上设 DM=x cm，矩形 DMPN 的 面积为 y 2 cm （1）试求出矩形铁皮 DMPN 的面积 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域 （2）试问如何截取（即 x 取何值时） ，可使得到的矩形 DMPN 的面积最大？ 【解析】 （1）依据题意并结合图形，可知：10当点 P 在线段 CB 上，即 0 x30 时，y=40 x；20当 点 P 在线段 BA 上，即 30 x40 时，由，得 PQBF QAFA 6 48 5 QAx 于是， 2 6 76 5 yDM PMDM EQxx 所以，定义域 D=（0，40 2 40 ,030 6 76.3040 5 xx y xxx （2）由（1）知，当 0 x30 时，0y1200； 当 30 x40 时， 22 669536103610 76() 55333 yxxx 当且仅当时，等号成立 95 3 x 因此，y 的最大值为 3610 3 答：先在 DE 上截取线段，然后过点 M 作 DE 垂线交 BA 于点 P，再过点 P 作 DE 的 95 cm 3 DM 平行线交 DC 于点 N，最后沿 MP 与 PN 截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为 2 3610 3 cm