（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.5.2 复合函数的零点问题 中等讲义（学生版+教师版）.zip

复合函数的零点问题复合函数的零点问题 中等中等 1复合函数定义：设，且函数的值域为定义域的子集，那么通过 yf t tg x g x f ty 的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为txyx yfg x 2复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值 ygf x 例如：已知，计算 2 2 , x f xg xxx 2gf 【解析】， 2 224f 2412gfg 3已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到x 求出的值例如：已知，若，求x 2xf x 2 2g xxx 0gf x x 4函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一 f xD 0 xD 0 0f x 0 xx f x 个零点 5复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两x 0gf x 层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一 f x f x 层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数 f x f xxx 0gf x 题型攻略题型攻略深度挖掘深度挖掘 【技能方法】：求解复合函数零点问题的技巧： ygf x （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 ,f xg x （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再 f x 0gf x f x 根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围， f x i fxx i fx 进而决定参数的范围 【易错指导】 1函数零点忽视单调性的存在例如：若函数 f(x)在区间2，2上的图象是连续不断的曲线，且 f(x)在(2，2)内有一个零点，则 f(2)f（2）的值 () A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定 【典型例题典型例题】 类型一：类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题关于函数的零点与方程根的关系问题 例 1若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）)(xfy , a b A若，不存在实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cf B若，存在且只存在一个实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cf C若，有可能存在实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cf D若，有可能不存在实数使得0)()(bfaf),(bac0)(cf 举一反三：举一反三： 【变式 1】函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是 () A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 例 2求函数 f(x)lnx2x6 的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ) 【变式 1】已知函数，当时，( )log(0,1) a f xxxb aa且234ab 函数的零点,则 ( )f x * 0 ( ,1),xn nnNn 例 3.已知函数有三个零点，则实数 a 的取值范围是 . 2 2 +1, 20 3,0 axxx f x axx 举一反三：举一反三： 【变式 1】函数且函数只有一个零点， 2 2 ,0 log,0 x x f x x x g xf xxa 则实数 a 的取值范围是 . 【变式 2】若方程在（0，1）恰好有一解，求 a 的取值范围 2 210axx 【变式 3】.已知函数 2 1,f xxaxaR (1)若 a=-2，且存在互不相同的实数满足求实数 m 的取值范围; 1234 ,x x x x 1,2,3,4 i f xm i (2)若函数在上单调递增，求实数 a 的取值范围. f x1,2 【解析】(1)若 a=-2 则 2 2 2 1 21, 2 221 1 21, 2 xxx f xxx xxx 当时，当时， 1 2 x min 12f xf 1 2 x min 10f xf 11 24 f 此时的图象如图所示：要使函数 y=m 与的图象有 4 个不同的交点， f x yf x 的取值范围是.m 1 0, 4 (2)若 a=0,则在上单调递增，满足条件； 2 1f xx1,2 若 a0 则，只需考虑的情况， 2 2 1 1, 1 1, xaxx a f x xaxx a 1 x a 此时的图象的对称轴为，因此只需即 f x 2 a x 1 2 a 02a 若 a0 时，则 结合函数图象有以下情况： 2 2 1 1, 1 1, xaxx a f x xaxx a 当即时，此时在内单调递增， 1 2 a a 20a f x, 2 a 因此在内也单调递增，满足条件；1,2 当即时，在和内均单调递增， 1 2 a a 2a f x 1 , 2 a a , 2 a 只需或解得，即有 a 的取值范围是 1 2 a 1 2 a 22a 20a 由得，实数 a 的取值范围为 22a 一、选择题 1设 ln2f xxx，则函数 f x的零点所在的区间为（ ） A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 2已知a是函数 1 2 log2xxf x 的零点，若 0 0 xa，则 0 f x的值满足（ ） A 0 0f x B 0 0f x C 0 0f x D 0 f x的符号不确定 3函数 2 ( )2f xxa x 的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是（ ） A1,3 B1,2 C0,3 D0,2 4若abc，则函数 ()()()()()()f xxa xbxb xcxc xa的两个零点分别位于区间（ ） A(), a b和(), b c内 B(, )a和(), a b内 C(), b c和(), c 内 D(, )a和(), c 内 5设函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， e3 x f xx，则 f x的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 6函数 2 20 1ln0 xxx xx f x 的零点个数为（ ） A3 B2 C7 D0 7已知函数 10 1 0 x x x f x ，则使方程 xf xm有解的实数m的取值范围是（ ） A1,2 B(, 2 C()(),12, D(),12, 8若函数 312f xaxa 在区间()1,1内存在一个零点，则a的取值范围是（ ） A 1 , 5 B 1 , 1, 5 C 1 1, 5 D(), 1 9已知函数 00 e0 x x x f x ，则使函数 g xf xxm有零点的实数m的取值范围是（ ） A0,1 B(1), C(),12, D(),01, 10已知 f x是奇函数且是R上的单调函数，若函数 2 21()()yfxfx只有一个零点， 则实数的值是（ ） A 1 4 B 1 8 C 7 8 D 3 8 11已知当0,1x时，函数 2 1()ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数 m的取值范围是（ ） A(0,12 3,+ ) B0,13), C(0, 22 3,+ ) D(0, 23,+ ) 12已知函数 yf x和 yg x在2,2的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程 0fg x 有且只有 6 个根 （2）方程 0gf x 有且只有 3 个根 （3）方程 0ff x 有且只有 5 个根 （4）方程 0g g x 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题 13函数 0 5 2log| x f xx 的零点个数为_ 14设函数 3 1 yx与 2 2 1 2 x y 的图象的交点为 00 (,)xy，若 0 ,1()xn n，n， 则 0 x所在的区间是_ 15函数 2 20 26ln0 f x xx xxx 的零点个数是_ 16已知函数 2 3|f xxx，Rx，若方程 1|0|f xa x 恰有 4 个互异的实数根，则实数a的 取值范围是_ 17.(2018石家庄质检)已知函数 f(x)则 ff(x)2 的解集是_. 2ex1，x 1， x3x，x 1，) 三、解答题 18.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.有且只有一个实数 x0，使得 f(x0)=x0，求函 数 f(x)的解析式. 19设函数 1 ( )1(0)f xx x （1）作出函数 f x的图象； （2）当0ab且 f af b时，求 11 ab 的值； （3）若方程 f xm有两个不相等的正根，求m的取值范围 20.已知函数 2 43f xxx，若方程 2 0f xbf xc 恰有七个不相同的实根， 则实数b的取值范围是（ ） A2,0 B2, 1 C0,1 D0,2 21.已知函数是定义域为的偶函数.当时，若关于的方( )yf xR0 x 2 5 (02) 16 ( ) 1 ( )1(2) 2 x xx f x x x 程有且仅有 6 个不同实数根，求实数的取值范围 2 ( )( )0, ,f xaf xba bRa 复合函数的零点问题复合函数的零点问题 中等中等 1复合函数定义：设，且函数的值域为定义域的子集，那么通过 yf t tg x g x f ty 的联系而得到自变量的函数，称是的复合函数，记为txyx yfg x 2复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值 ygf x 例如：已知，计算 2 2 , x f xg xxx 2gf 【解析】， 2 224f 2412gfg 3已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到x 求出的值例如：已知，若，求x 2xf x 2 2g xxx 0gf x x 4函数的零点：设的定义域为，若存在，使得，则称为的一 f xD 0 xD 0 0f x 0 xx f x 个零点 5复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两x 0gf x 层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一 f x f x 层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数 f x f xxx 0gf x 题型攻略题型攻略深度挖掘深度挖掘 【技能方法】：求解复合函数零点问题的技巧： ygf x （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 ,f xg x （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再 f x 0gf x f x 根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围， f x i fxx i fx 进而决定参数的范围 【易错指导】 1函数零点忽视单调性的存在例如：若函数 f(x)在区间2，2上的图象是连续不断的曲线，且 f(x)在(2，2)内有一个零点，则 f(2)f（2）的值 () A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定 解答：若函数 f(x)在(2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则 f(2)f（2）0，因此选 D 【典型例题典型例题】 类型一：类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题关于函数的零点与方程根的关系问题 例 1若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）)(xfy , a b A若，不存在实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cf B若，存在且只存在一个实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cf C若，有可能存在实数使得；0)()(bfaf),(bac0)(cf D若，有可能不存在实数使得0)()(bfaf),(bac0)(cf 【答案】 C 【解析】对于 A 选项：可能存在；对于 B 选项：必存在但不一定唯一 举一反三：举一反三： 【变式 1】函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是 () A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 【答案】B 【解析】f(0)10，f(1)0 则，只需考虑的情况， 2 2 1 1, 1 1, xaxx a f x xaxx a 1 x a 此时的图象的对称轴为，因此只需即 f x 2 a x 1 2 a 02a 若 a0 时，则 结合函数图象有以下情况： 2 2 1 1, 1 1, xaxx a f x xaxx a 当即时，此时在内单调递增， 1 2 a a 20a f x, 2 a 因此在内也单调递增，满足条件；1,2 当即时，在和内均单调递增， 1 2 a a 2a f x 1 , 2 a a , 2 a 只需或解得，即有 a 的取值范围是 1 2 a 1 2 a 22a 20a 由得，实数 a 的取值范围为 22a 一、选择题 1设 ln2f xxx，则函数 f x的零点所在的区间为（ ） A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 【答案】B 【解析】 1ln1 1210f ， 2ln20f， 120ff， 函数 ln2f xxx的图象是连续的，且为增函数， f x的零点所在的区间是1,2故选 B 2已知a是函数 1 2 log2xxf x 的零点，若 0 0 xa，则 0 f x的值满足（ ） A 0 0f x B 0 0f x C 0 0f x D 0 f x的符号不确定 【答案】C 【解析】 f x在(0,)上是增函数，若 0 0 xa，则 0 0f xf a 3函数 2 ( )2f xxa x 的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是（ ） A1,3 B1,2 C0,3 D0,2 【答案】C 【解析】因为 f x在(0,)上是增函数，则由题意得 ()()12030ffaa，解得03a 4若abc，则函数 ()()()()()()f xxa xbxb xcxc xa的两个零点分别位于区间（ ） A(), a b和(), b c内 B(, )a和(), a b内 C(), b c和(), c 内 D(, )a和(), c 内 【答案】A 【解析】abc， ()()0f aab ac， ()()0f bbc ba， ()()0f cca cb， 由函数零点存在性定理可知，在区间(), a b，(), b c内分别存在零点，又函数 f x是二次函数， 最多有两个零点因此函数 f x的两个零点分别位于区间(), a b，(), b c内，故选 A 5设函数 f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， e3 x f xx，则 f x的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】因为函数 f x是定义域为R的奇函数，所以 00f，即 0 是函数 f x的 一个零点，当0 x 时，令 3e0 x f xx，则e3 x x ，分别画出函数 1 exy 和 2 3yx 的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数 f x有一个零点， 根据对称性知，当0 x 时函数 f x也有一个零点综上， f x的零点个数为 3故选 C 6函数 2 20 1ln0 xxx xx f x 的零点个数为（ ） A3 B2 C7 D0 【答案】B 【解析】方法一：由 0f x 得 2 0 20 x xx 或 2 0 20 x xx ，解得2x 或ex ， 因此函数 f x共有 2 个零点 方法二：函数 f x的图象如图所示，由图象知函数 f x共有 2 个零点 7已知函数 10 1 0 x x x f x ，则使方程 xf xm有解的实数m的取值范围是（ ） A1,2 B(, 2 C()(),12, D(),12, 【答案】D 【解析】当0 x 时， xf xm，即1xm ，解得1m ；当0 x 时， xf xm， 即 1 xm x ，解得2m ，即实数m的取值范围是(),12, 8若函数 312f xaxa 在区间()1,1内存在一个零点，则a的取值范围是（ ） A 1 , 5 B 1 , 1, 5 C 1 1, 5 D(), 1 【答案】B 【解析】当0a 时， 1f x 与x轴无交点，不合题意，所以0a ；函数 312f xaxa 在区间()1,1内是单调函数，所以 0( 11)ff，即()(10)51aa，解得 1a 或 1 5 a 9已知函数 00 e0 x x x f x ，则使函数 g xf xxm有零点的实数m的取值范围是（ ） A0,1 B(1), C(),12, D(),01, 【答案】D 【解析】函数 g xf xxm的零点就是方程 f xxm的根，画出 0 e0 x xx h xf xx xx 的大致图象（图略） 观察它与直线ym的交点，得知当0m 或 1m 时，有交点，即函数 g xf xxm有零点故选 D 10已知 f x是奇函数且是R上的单调函数，若函数 2 21()()yfxfx只有一个零点， 则实数的值是（ ） A 1 4 B 1 8 C 7 8 D 3 8 【答案】C 【解析】令 2 ()21(0)yfxfx，则 2 ()()21(fxfxf x，因为 f x是R上的单调 函数，所以 2 21xx ，只有一个实根，即 2 210 xx 只有一个实根，则18 10() ， 解得 7 8 11已知当0,1x时，函数 2 1()ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数 m的取值范围是（ ） A(0,12 3,+ ) B0,13), C(0, 22 3,+ ) D(0, 23,+ ) 【答案】B 【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数 2 22 1 ( )(1)f xmxmx m 与( )g xxm的大致图 象分两种情形： （1）当01m时， 1 1 m ，如图，当0,1x时， f x与 g x的图象有一个交点，符合题意 （2）当1m 时， 1 01 m ，如图，要使 f x与 g x的图象在0,1上只有一个交点， 只需 11gf，即 2 11()mm，解得3m 或0m （舍去） 综上所述，0,13),m故选 B 12已知函数 yf x和 yg x在2,2的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程 0fg x 有且只有 6 个根 （2）方程 0gf x 有且只有 3 个根 （3）方程 0ff x 有且只有 5 个根 （4）方程 0g g x 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 （1）中可得 1 2, 1gx ， 2 0gx ， 3 1,2gx ，进而 1 gx有 2 个对应的 x， 2 gx有 2 个， 3 gx有 2 个，总计 6 个， （1）正确； （2）中可得 1 2, 1fx ， 2 0,1fx ，进而 1 fx有 1 个对应的x， 2 fx有 3 个，总计 4 个， （2）错误； （3）中可得 1 2, 1fx ， 2 0fx ， 3 1,2fx ，进而 1 fx有 1 个对应的x， 2 fx有 3 个， 3 fx有 1 个，总计 5 个， （3）正确； （4）中可得： 1 2, 1gx ， 2 0,1gx ，进而 1 gx有 2 个对应的x， 2 gx有 2 个，共计 4 个， （4）正确 则综上所述，正确的命题共有 3 个 二、填空题 13函数 0 5 2log| x f xx 的零点个数为_ 【答案】2 【解析】由 0f x ，得 0.5 1 |log| 2 x x ，作出函数 10 5 log|yx 和 2 1 2 x y 的图象， 由上图知两函数图象有 2 个交点，故函数 f x有 2 个零点 14设函数 3 1 yx与 2 2 1 2 x y 的图象的交点为 00 (,)xy，若 0 ,1()xn n，n， 则 0 x所在的区间是_ 【答案】1,2 【解析】令 2 3 1 2 x f xx ，则 0 0f x，易知 f x为增函数，且 10f， 20f， 0 x所在 的区间是1,2 15函数 2 20 26ln0 f x xx xxx 的零点个数是_ 【答案】2 【解析】当0 x 时，令 2 20 x ，解得2x （正根舍去） ，所以在(0,上有一个零点； 当0 x 时， 1 ( )20fx x 恒成立，所以 f x在(0,)上是增函数又因为 22ln20f， 3ln30f，所以 f x在(0,)上有一个零点，综上，函数 f x的零点个数为 2 16已知函数 2 3|f xxx，Rx，若方程 1|0|f xa x 恰有 4 个互异的实数根，则实数a的 取值范围是_ 【答案】0,19(), 【解析】设 2 1 |3 |yf xxx， 2 |1|ya x， 在同一直角坐标系中作出 2 1 |3yxx， 2 |1|ya x的图象如图所示 由图可知 1|0|f xa x 有 4 个互异的实数根等价于 2 1 |3yxx与 2 |1|ya x的图象有 4 个不同 的交点且 4 个交点的横坐标都小于 1，所以 2 3 1 yxx yax 有两组不同解， 消去y得 2 )0(3xa xa有两个不等实根，所以 2 ()340aa ，即 2 1090aa ， 解得1a 或9a 又由图象得0a ，01a或9a 17.(2018石家庄质检)已知函数 f(x)则 ff(x)2 的解集是_. 2ex1，x 1， x3x，x 1，) 解析当 x1 时，f(x)x3x2，则 ff(x)2 解集为. 当 x1 时，f(x)2ex12.所以 ff(x)2 等价于 f(x)1，则 2ex11，得 x1ln 2. 故 ff(x)2 的解集为(，1ln 2). 三、解答题 18.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.有且只有一个实数 x0，使得 f(x0)=x0，求函 数 f(x)的解析式. 令 t=f(x)-x2+x，由题意知，方程 f(t)=t 只有一解 x0，x0=f(x)-x2+x，即 f(x)=x2-x+x0，又因为 f(x0)=x0，所 以 x0=x02-x0+x0，解得 x0=0，1. 当 x0=0 时，f(x)=x2-x，此时方程 f(x)=x 为 x2-x=x 有两解，不符合题意，故舍去； 当 x0=1 时，f(x)=x2-x+1，此时方程 f(x)=x 为 x2-2x+1=0 只有一解，符合题意. 综合所述，f(x)=x2-x+1. 19设函数 1 ( )1(0)f xx x （1）作出函数 f x的图象； （2）当0ab且 f af b时，求 11 ab 的值； （3）若方程 f xm有两个不相等的正根，求m的取值范围 【解析】 （1）如图所示 （2） 1 10,1 1 ( )1 1 11, x x f x x x x 故 f x在0,1上是减函数，而在(1,)上是增函数 由0ab且 f af b，得01ab 且 11 11 ab ， 11 2 ab （3）由函数 f x的图象可知，当01m时，方程 f xm有两个不相等的正根 20.已知函数 2 43f xxx，若方程 2 0f xbf xc 恰有七个不相同的实根， 则实数b的取值范围是（ ） A2,0 B2, 1 C0,1 D0,2 【答案】B 【解析】考虑通过图像变换作出 f x的图像（如图） ， 因为 2 0f xbf xc 最多只能解出 2 个 f x， 若要出七个根，则 1 1fx ， 2 0,1fx ， 所以 12 1,2bfxfx ，解得：2, 1b 21.已知函数是定义域为的偶函数.当时，若关于的方( )yf xR0 x 2 5 (02) 16 ( ) 1 ( )1(2) 2 x xx f x x x 程有且仅有 6 个不同实数根，求实数的取值范围 2 ( )( )0, ,f xaf xba bRa