（2021新教材）人教A版高中数学必修第二册6.4.3第2课时(正弦定理)ppt课件.ppt

1、第二课时第二课时 (正弦定理正弦定理) 一、知识回顾一、知识回顾 1.1.余弦定理及其推论余弦定理及其推论 c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB-2cacosB 2 22 22 2 b b + +c c - -a a c co os sA A = = 2 2b bc c 2 22 22 2 c c + +a a - -b b c co os sB B = = 2 2c ca a 2 22 22 2 a a + +b b - -c

2、 c c co os sC C = = 2 2a ab b 变形变形 余余 弦弦 定定 理理 余余 弦弦 定定 理理 的的 推推 论论 2.2.余弦定理及其推论可解决哪几类解三角形的问题？余弦定理及其推论可解决哪几类解三角形的问题？ 已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边和其它两个角；已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边和其它两个角； 已知三角形的三条边，求三个角已知三角形的三条边，求三个角. . 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接 解三角形的公式解三角形的公式. . 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角如

3、果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角 形的公式呢？先看下面实例形的公式呢？先看下面实例. . 二、探究新知二、探究新知 由于由于C C= =9090 ，因此，因此可利用初中的锐角三角可利用初中的锐角三角 函数函数. .设设角角A A、B B、C C所对的边分别是所对的边分别是a a、b b、c.c. A AB B A AC C sinBsinB= =， s si in nB B A AC C A AB B 如果如果C C= =105105 , ,你还能求你还能求A A、B B两点的两点的 距离吗距离吗? ? A A、B B两点的距离肯定是确定的两点的距离肯定是确定的, , 那又如何求那又

4、如何求? ? 探险队为了测定帐篷探险队为了测定帐篷A A到山峰到山峰B B的距离，在帐的距离，在帐 篷旁边选定篷旁边选定100100米长的基线米长的基线A AC C，并测得，并测得C C= =9090 ， B B= =1515 ，怎样求，怎样求A A、B B两点的距离？两点的距离？ A A C C B B a a c c b b s si in nB B b b 即即c c 二、探究新知二、探究新知 A A C C B B a a c c b b 我们以我们以C C= =9090 来探究解决办法来探究解决办法. .当当C C= =9090 时时, ,在所求在所求 A A、B B两点的距离两点的

5、距离 中，没含有已知条件中，没含有已知条件C C= =9090 ，如，如 果把已知条件果把已知条件C C= =9090 加进去，你加进去，你会有什么发现会有什么发现? ?如何加？如何加？ s si in nB B b b c c 由于由于sinC=sinsinC=sin9090 =1=1，因此，因此 s si in nB B b b s si in nC C c c 同理同理 s si in nA A a a . s si in nC C c c 这样在直角三角形中就有这样在直角三角形中就有 s si in nC C c c s si in nA A a a s si in nB B b b

6、如果上式在锐角三角形和钝角三角形中也如果上式在锐角三角形和钝角三角形中也 成立，那上面问题就解决了成立，那上面问题就解决了. . 由于上式含有长由于上式含有长 度和角，因此可用向量的数量积先研究锐角三度和角，因此可用向量的数量积先研究锐角三 角形的情形角形的情形. . 向量的数量积中出现的是角的余弦向量的数量积中出现的是角的余弦, ,而上式而上式 是正弦，如何转化？是正弦，如何转化？ cos(90cos(90 -)=sin-)=sin 如右图，在锐角三角形如右图，在锐角三角形ABCABC中，过点中，过点A A作与作与 垂直的单位向量垂直的单位向量 ，则，则 与与 的夹角为的夹角为 ， 与与 的

7、夹角为的夹角为 . . A AC C j jj j j j A AB B C CB B 二、探究新知二、探究新知 A A B B C C j j m m A A 2 2 C C 2 2 由由 得得A AB BC CB BA AC C ?A AB Bj j) )C CB BA AC C( (j j 所以所以 ， A AB Bj jC CB Bj jA AC Cj j 即即A)A) 2 2 cos(cos(| |ABAB|j j| |C)C) 2 2 cos(cos(| |CBCB|j j| | 2 2 coscos| |ACAC|j j| | 也即也即asinC=csinAasinC=csinA

8、， s si in nC C c c s si in nA A a a 所以所以 再过点再过点C C作与作与 垂直的单位向量垂直的单位向量 ，可得，可得 C CB Bm m s si in nC C c c s si in nB B b b s si in nC C c c s si in nA A a a s si in nB B b b 因此因此 当当ABCABC是钝角三角形时是钝角三角形时( (如右图如右图) )，同理可得，同理可得 A A B B C C j j s si in nC C c c s si in nA A a a s si in nB B b b 三、正弦定理三、正弦定

9、理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即即 正弦定理：正弦定理： 你能用其他方法你能用其他方法 证明正弦定理吗？课证明正弦定理吗？课 外完成外完成. . 利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？ 可以解决可以解决已知两角和一边，解三角形已知两角和一边，解三角形问题；问题； a ab bc c = = = s si in nA As si in nB Bs si in nC C 可以解决可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形问题问题. 这个公式表达形式的这个公式表达

10、形式的 统一性、对称性，不仅使统一性、对称性，不仅使 结果更加和谐优美，而且结果更加和谐优美，而且 更突显了三角形边角关系更突显了三角形边角关系 的本质的本质. . 由正弦定理得由正弦定理得， s si in n1 15 5 1 10 00 0 s si in n1 10 05 5 A AB B s si in n1 15 5 1 10 00 0s si in n1 10 05 5 A AB B所以所以 ) )3 32 25 50 0( (4 4 四、典型例题四、典型例题 A A C C B B a a c c b b 例例1 1 探险队为了测定帐篷探险队为了测定帐篷A A到山峰到山峰B B的

11、距离，在帐篷旁边选定的距离，在帐篷旁边选定100100米米 长的基线长的基线A AC C，并测得，并测得C C= =105105 ，B B= =1515 ，求，求A A、B B两点的距离？两点的距离？ 解：解： 即即A A、B B两点的距离为两点的距离为 米米. .5 50 0( (4 4 + + 2 2 3 3) ) 4 4 4 4 1 10 00 0 2-6 26 解：解：(1)(1)由正弦定理，得由正弦定理，得 (2)(2)由正弦定理，得由正弦定理，得 四、典型例题四、典型例题 例例2 2 (1)(1)在在ABCABC中，已知中，已知a=16 a=16 ，b=16b=16，A=120A=

12、120 ，求角，求角B B； (2) (2)在在ABCABC中，已知中，已知A=15A=15 ，B=45B=45 ，c=3+ c=3+ ，解这个三角形解这个三角形. . 3 3 3 3 a a b bs si in nA A s si in nB B 所以所以B=30B=30 . . 3 31616 16sin12016sin120 2 2 1 1 因为因为A=120A=120 ， 由三角形内角和定理得由三角形内角和定理得C=C=120120 . . s si in nC C c cs si in nA A a a s si in n1 12 20 0 ) )s si in n1 15 53

13、3( (3 3 2 2 3 3 4 4 2 2- -6 6 ) )3 3( (3 3 2 2 s si in nC C c cs si in nB B b b s si in n1 12 20 0 ) )s si in n4 45 53 3( (3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 ) )3 3( (3 3 6 6 + +2 2 五、课堂小结五、课堂小结 1.1.正弦定理：正弦定理： 2.2.正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？ a ab bc c = = = s si in nA As si in nB Bs si in nC C 可以解决可以解决已知两角和一边，解三角形已知两角和一边，解三角形问题；问题； 可以解决可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形问题问题. 课堂练习课堂练习: : 第第4848页练习第页练习第1 1题题 课堂作业课堂作业: : 第第5252页页习题习题6.46.4第第7 7、1010、1717题题 六、巩固提升六、巩固提升