初中八年级数学上册最短路径问题课件PPT模板人教版.pptx

1、儿童/卡通/幼儿园/小学/课件/ PPT模板 0212 最短路径问题最短路径问题 第三单元第三单元 轴对称轴对称 2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）（重点） 1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）（难点） 学习目标学习目标 1.1.如图，连接A A、B B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 最短，因为两点之间，线段最短 2.2.如图，点P P是直线l l外一点，点P P与该直线l l上各点连接的所有线段中，哪条最 短？为什么？ PC PC 最短，因为垂线段最短 新课导入新课导入 A B A B C D P 3.3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线

2、段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. . 4.4.如图，如何做点A A 关于直线l l的对称点？ A A l l A A 1 1、牧马人饮马问题、牧马人饮马问题 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名 的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”. 知识讲解知识讲解 A B A B C D P 如图，牧马人从点 A A 地出发，到一条笔直的河边l l 饮马，然后到B B 地，牧马人到 河边的什么地方饮马，可使

3、所走的路径最短？ 抽象成 C C A A B B l l 数学问题 作图问题：在直线l l 上求作一点C C , ,使AC AC + +BC BC 最短问题. 实际问题 问题1 1 现在假设点A,B A,B 分别是直线l l 异侧的两个点，如何在l l 上 找到一个点，使得这个点到点A A，点B B 的距离的和最短？ A A l l B B C C 根据是“两点之间，线段最短”， 可知这个交点即为所求. 连接ABAB, ,与直线 l l 相交于一点C C. . 问题问题2 2 如果点A,B A,B 分别是直线l l 同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2 2，如何将点B B“移”到

4、l l 的另一侧B B处，满足直线l l 上的任意一点C C， 都保持CB CB 与CBCB的长度相等？ 利用轴对称，作出点B B关于直线l l 的对称点B B. A A l l B B B B 作法：作法： （1 1）作点B B 关于直线l l 的对称点B B； （2 2）连接ABAB，与直线l l 相交于点C C 则点C C 即为所求 A B l B C 问题问题3 3你能用所学的知识证明AC +BCAC +BC最短吗？ 证明：证明：如图，在直线l l 上任取一点C C (与点C C 不重合)，连接ACAC，BCBC， BCBC由轴对称的性质知， BC =BCBC =BC，BC=BCBC=

5、BC AC +BCAC +BC= = AC +BC = ABAC +BC = AB， AC+BC= AC+BCAC+BC= AC+BC 在 ABCABC中， ABABAC+BCAC+BC， AC +BCAC +BCAC+BCAC+BC 即 AC +BCAC +BC 最短 A B l B C C 例例1 1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD 边上的动点，则BF+EF的最小值为（B） A7.5 B5 C4 D不能确定 解析： ABC 为等边三角形，点D 是BC 边的中点，即点B 与点C 关于直线AD对称. 点F 在AD上，故BF=CF.即BF+E

6、F的最小值可转化为求CF+EF 的最小值，故连接CE 即可， 线段CE的长即为BF+EF 的最小值. A FE BDC 总结：总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键， 而 后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知 条 件求解. 例例2 2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是 y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是 （A） A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0） 解析：作B点关于y 轴对称点B，连接AB，交y 轴 于点C，此时ABC的周长最小，然后依据点A与点B 的坐标可得

7、到BE、AE的长，然后证明BCO为等腰 直角三角形即可 B C E 总结：总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和 固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点， 而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即 为三角形周长最小时动点的位置. 解决问题解决问题 B B A A A A1 1 M M N N 如图，平移A A 到A A1 1 ，使AA AA1 1等于河宽，连接A A1 1B B 交河岸 于N N作桥MNMN，此时路径AMAM+ +MNMN+ +BN BN 最短. 理由理由: :另任作桥M M1 1N N ，连接AM AM ， ，BNBN ， ，A A N N

8、. . 由平移性质可知，AMAMA A N N， ，AAAA MNMNM M N N， ，AMAM A A N N. . AM+MN+BNAM+MN+BN 转化为AAAA A A B B，而A M A M M M N N BNBN 转化为AA AA A A N N BNBN . . 在A A N NB B 中，因为A A1 1N N1 1+ +BN BN1 1A A1 1B.B. 因此AMAM M M N N BNBN AM+MN+BNAM+MN+BN. A A B B M M N N E E C C D D 证明：证明：由平移的性质，得 BNEMBNEM 且且BN=EM, MN=CDBN=E

9、M, MN=CD, , BDCE, BD=CEBDCE, BD=CE, A A 到B B 的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MNAM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, , 若桥的位置建在CD CD 处，连接ACAC,CDCD,DBDB,CECE, 则A A 到B B 的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MNAC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, , 在 ACEACE中，AC+CEAC+CEAEAE, , AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MNAE+MN, , 即AC+CD+DBAC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+

10、BN， 故桥的位置建在MN MN 处，A A 到B B 的路径最短. 总结：总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径 的选择. 1 1、如图，直线l l是一条河，P P、Q Q 是是两个村庄.欲在l l上的某处修建一个水泵站，向P P、 Q Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短 的是（D D） D DC C P P Q Q l l A A M M P P Q Q l l B B M M P P Q Q l lM M P P Q Q l l M M Q Q 随堂训练随堂训练 2 2、如图，AO

11、B=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点 R若PQR周长最小，则最小周长是（A ） A10 B15 C20 D30 A P B R O Q 3 3、如图，牧童在A A处放马，其家在B B处，A A、B B 到河岸的距离分别为AC AC 和BD BD ，且 ACAC= =BDBD,若点A A到河岸CDCD的中点的距离为500500米，则牧童从A A处把马牵到河边饮水再回家， 所走的最短距离是1000米. A A C C B B D D 河 4 4、如图，荆州古城河在CC CC 处直角转弯，河宽相同，从A A 处到B B 处，须经两座桥：DDDD , , EE EE

12、 （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ADD E EBE EB的路程最短？ A A D D D D C C CC E E EE B B 解：解：作AFAFCDCD,且AFAF=河宽，作BGBG CECE，且BGBG= =河宽，连接GFGF,与河岸相交于E E , , D D. . 作DDDD, , EEEE即为桥. 理由：由作图法可知，AFAF/DD DD ，AF=DD AF=DD ， 则四边形AFD AFD D D为平行四边形， 于是ADAD= =FD FD , 同理，BEBE= =GE GE ， 由两点之间线段最短可知， GFGF最小. A A D D C C CC E E EE B B F F G G D D 原理线段公理和垂线段最短 牧马人饮 马问题 解题方法 造桥选址 问题 关键是将固定线段“桥”平移 最短路 径问题 轴对称知识+线段公理 解题方法 课堂小结课堂小结