高中必修二数学知识点全面总结.docx

1、- 1 - S 第 1 章空间几何体 1 1 .1 柱、锥、台、球的结构特征 1. 2 空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33 直观图：斜二测画法 44 斜二测画法的步骤： （1）. 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）. 平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变； （3）. 画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤： （1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积：

2、各个面面积之和 2 圆柱的表面积S 3 圆锥的表面积 4 圆台的表面积 2 rl Srl Srl 2 r 2 r 2 r 2 RlR 2 5 球的表面积 S4 R 2 （二）空间几何体的体积 1 柱体的体积 2 锥体的体积 VS底h 1 V 底 h 3 台体的体积 4 球体的体积 3 1 V（S上 3 V 4 R 3 3 S上S下S下)h 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 - 2 - 0 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （ 1 ）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成 45 ，且横边画成邻边的2 倍

3、长（如图） DC （ 2 ）平面通常用希腊字母 、等表示，如平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或 AB 、平面 者 相 对 的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD等。 3三个公理： （ 1 ）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面 内符号表示为 AL A BL= L A L B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （ 2 ）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 AB 符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ， C 使 A、B、C 。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （ 3 ）公理 3：如果两个不

4、重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为： P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： P L 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb =ac 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等

5、角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0 2 ， ) ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （ 1 ）直线在平面内 有无数个公共点 （ 2 ）直线与平面相交 有且

6、只有一个公共点 （ 3 ）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示 aa=Aa 2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b= a ab 2.2.2平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理： 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种： （ 1 ）用定义； （ 2 ）判定定理； 符号表示： a b ab = P a

7、b （ 3 ）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a aab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 - 3 - 符号表示： = aab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面互相

8、垂直， 记作 L ，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时 , 它们唯 一公共点 P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点：a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.

9、3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 - 4 - - 5 - 直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x轴正向与直线 l 向上方 向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x

10、轴平行或重合时 , 规定= 0 . 2、倾斜角 的取值范围：0 180. 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90. 3、直线的斜率 : 一条直线的倾斜角 ( 90)的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,=0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 ,= 90 , k不存在 . 由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 . 4、 直线的斜率公式 : 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公

11、式 : 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜 率相等，那么它们平行，即 注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并 不成立即如果k1=k2,那么一定有 L1L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜 率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k yy0k(xx0) - 6 - 2、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(

12、0,b) ykxb 3.2.2直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点P 1 (x 1 ,x 2 ),P 2 (x 2 , y 2)其中(x1 x2, y1y2) yy1 y2y1 xx1 x2x1 (x1x2, y1y2) 2、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中 a0,b0 3.2.3直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于x, 2、各种直线方程之间的互化。 y的二元一次方程AxByC0（A，B不同时为 0） 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=

13、0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3x4y20 2x2y20 得 x=-2 ，y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2） 3.3.2两点间距离 两点间的距离公式 P1P2 2 x2x2 2 y2y1 3.3.3点到直线的距离公式 1点到直线距离公式： 点P(x0,y0)到直线l : AxByC0的距离为： d Ax0By0C A 2 B 2 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10， l2：AxByC20，则l1与l2的距离为 d C1C2 A 2 B 2 - 7 - 4.1.1圆的标准方程 1、圆的标准方程： (xa

14、) 2 (yb) 2 第四章圆与方程 r 2 圆心为 A(a,b), 半径为 r 的圆的方程 2、点M (x ,y )与圆(xa)2(yb)2r 2 的关系的判断方法： （1）(x0 （2）(x0 （3）(x0 00 2 a) a) 2 a) 2 ( y0 ( y0 ( y0 b) 2 r 2 ，点在圆外 b) 2 = r 2 ，点在圆上 b) 2 r 2 ，点在圆内 4.1.2圆的一般方程 1、圆的一般方程：x2y 2 DxEyF 0 2、圆的一般方程的特点： (1) x2 和 y2 的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项 (2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要

15、求出这三个系数，圆的方程就 确定了 (3) 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准 方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线l：axbyc0，圆C：x2y 2 DxEyF 0，圆的半径为r，圆心( D , 2 E )到 2 直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （ 1 ） 当d （ 2 ） 当d r时，直线l与圆C相离； r时，直线l与圆C相切； （ 3 ）当dr时，直线l与圆C相交； 4.2.2圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为

16、l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： - 8 - （ 1 ） 当l r1r2时，圆C1与圆C2相离； - 9 - （ 2 ） 当l r1r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当 |r 1 r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交； （ 4 ） 当l |r 1 r2|时，圆C1与圆C2内切； （ 5 ） 当l |r 1 r2|时，圆C1与圆C2内含； 4.2.3直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何 问题转化为代数问题； 第二步：通过代数

17、运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论 4.3.1 空间直角坐标系 R M O Qy P M x 1、点 M对应着唯一确定的有序实数组 坐标 (x, y, z)，x、 y 、z分别是 P、Q 、R 在x、 y 、z轴上的 2、有序实数组(x, y, z)，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x, y,z)来表示，该数组叫做点 M在此空间直角 坐标系中的坐标，记 M(x, y,z) 标。 4.3.2 空间两点间的距离公式 ，x叫做点 M的横坐标， y 叫做点 M的纵坐标，z叫做点 M的竖坐 1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2( x2, y2, z2)之间的距离公式 - 10 z P2 P1 O H M1M M2N2y N1N x PP 222 12 (x1x ) 2 (y1y ) 2 (z1z ) 2