2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 第三章函数的概念与性质 单元测试.docx

1、章末质量评估章末质量评估( (三三) ) (时间时间:120 分钟分钟分值分值:150 分分) 一一、单项选择题单项选择题(本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题在每小题 所给的四个选项中所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的只有一个选项是符合题目要求的) 1.函数函数 f(x)= ?-? ?-? 的定义域为的定义域为() A.(1,+)B.1,+) C.1,2)D.1,2)(2,+) 解析解析:根据题意根据题意,得得 ?-? ? ?, ?-? ? ?,解得 解得 x1,且且 x2. 答案答案: :D 2.已知已知 f ? ?-1 =2x+3

2、,则 则 f(6)的值为的值为 () A.15B.7C.31D.17 解析解析: :令令? ?-1=t,则 则 x=2t+2. 将将 x=2t+2 代入代入 f(? ?-1)=2x+3, 得得 f(t)=2(2t+2)+3=4t+7. 所以所以 f(x)=4x+7,所以所以 f(6)=46+7=31. 答案答案: :C 3.下列各组函数表示同一函数的是下列各组函数表示同一函数的是() A.f(x)= ?,g(x)=( ?)2 B.f(x)=1,g(x)=x0 C.f(x)= ? ?,g(x)=(?)2 D.f(x)=x+1,g(x)=? ?-? ?-? 解析解析: :选项选项 A、B、D 中函

3、数的定义域不同中函数的定义域不同,不是同一函数不是同一函数. 答案答案: :C 4.已知已知 f(x),g(x)分别是定义在分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数上的偶函数和奇函数,且且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则则 f(1)+g(1)= () A.-3B.-1C.1D.3 解析解析: :在在 f(x)-g(x)=x3+x2+1 中中,令令 x=-1,得得 f(-1)-g(-1)=1,即即 f(1)+g(1)=1. 答案答案: :C 5.函数函数 y=x|x|的图象大致是的图象大致是() ABCD 解析解析: :y=x|x|= ?,? ? ?, -?,? ? ?,故选 故选 A. 答

4、案答案: :A 6.某学校要召开学生代表大会某学校要召开学生代表大会,规定各班每规定各班每 10 人推选一名代表人推选一名代表, 当各班人数除当各班人数除以以10的余数大的余数大于于6时再增选一名代表时再增选一名代表.那么那么,各班可推选各班可推选 代表人代表人数数y与该班人与该班人数数x之间的函数关系用取整函之间的函数关系用取整函数数y=x(x表示不表示不 大于大于 x 的最大整数的最大整数)可以表示为可以表示为() A.y= ? ? B.y=? ? C.y=? ? D.y=?t ? 解析解析: :当当 x 除除以以 10 的余数的余数为为 0,1,2,3,4,5,6 时时,由题设由题设知知

5、 y= ? ?,且易 且易 验证此时验证此时 ? ?= ? ? . 当当 x 除以除以 10 的余数为的余数为 7,8,9 时时,由题设知由题设知 y= ? ?+1,且易验证此时 且易验证此时 ? ?+1= ? ? . 综上可知综上可知,必有必有 y=? ? .故选故选 B. 答案答案: :B 7.已知函数已知函数 f(x)= ?,? ? ?, ?,? ? ?, -?,? ? ?, 设设 F(x)=x2f(x),则对则对 F(x)描述正确的描述正确的 是是 () A.F(x)是奇函数是奇函数,在区间在区间(-,+)上递减上递减 B.F(x)是奇函数是奇函数,在区间在区间(-,+)上递增上递增

6、C.F(x)是偶函数是偶函数,在区间在区间(-,0)上递减上递减,在区间在区间(0,+)上递增上递增 D.F(x)是偶函数是偶函数,在区间在区间(-,0)上递增上递增,在区间在区间(0,+)上递减上递减 解析解析: :因为因为 f(-x)= -?,? ? ?, ?,? ? ?, ?,? ? ? =-f(x), 所以所以 f(x)为奇函数为奇函数. 又因为又因为 F(x)=x2f(x), 所以所以 F(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-F(x), 所以所以 F(x)是奇函数是奇函数,可排除选项可排除选项 C,D. 又因为又因为 F(x)=x2f(x)= ?,? ? ?, ?,? ?

7、 ?, -?,? ? ?, 所以所以 F(x)在区间在区间(-,+)上单调递增上单调递增,可排除可排除 A 项项,故选故选 B. 答案答案: :B 8.如图如图,四边形四边形 ABCD 为直角梯形为直角梯形,动点动点 P 沿折线沿折线 BCDA 由由点点 B(起点起点)向向点点A(终点终点)运动运动,设设点点P运动的路程运动的路程为为x, ABP的面积的面积为为f(x). 若函数若函数 y=f(x)的图象如图的图象如图所示所示,连接连接 AC,则则 ABC 的面积为的面积为() A.10B.16C.18D.32 解析解析: :当点当点 P 在线段在线段 DC 上运动时上运动时,f(x)的值不变

8、的值不变,故故 BC=4,CD=5,AD=5,易得易得 AB=8,所以所以 S ABC=? ?84=16. 答案答案: :B 二二、多项选择题多项选择题( (本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.在每小题在每小题 给出的四个选项中给出的四个选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对的全部选对的得得5分分,部分选对部分选对 的得的得 3 分分,有选错的得有选错的得 0 分分) 9.已知已知 f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是则下列结论正确的是 () A.f(3)=9 B.f(-3)=4 C.f(x)=x2D.f(x)=(x+1)2 答案答案

9、: :BD 10.关于函数关于函数 f(x)= ? ?-?,下列结论正确的是 下列结论正确的是 () A.f(x)的图象过原点的图象过原点 B.f(x)是奇函数是奇函数 C.f(x)在区间在区间(1,+)上单调递减上单调递减 D.f(x)是定义域上的增函数是定义域上的增函数 答案答案: :AC 11.已知函数已知函数 f(x)=x的图象经过点的图象经过点(4,2),则则() A.函数函数 f(x)为增函数为增函数 B.函数函数 f(x)为偶函数为偶函数 C.当当 x1 时时,f(x)1 D.函数函数 f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数 答案答案: :ACD 12.已知函数已知函数 f(x)=

10、? ? ? (xR)的值域为的值域为m,+),则实数则实数 a 与实与实 数数 m 的取值可能为的取值可能为 () A.a=0,m=0B.a=1,m=1 C.a=3,m=3D.a= ?,m= ? 答案答案: :ABD 三三、填空题填空题( (本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分,将答案填在题将答案填在题 中的横线上中的横线上) 13.已知函数已知函数 f(x)= ? ?,? ? ?, ? ?,? ? ?为奇函数 为奇函数,则则 a+b=0. 解析解析: :由由 f(x)为奇函数为奇函数,得得 f(-x)=-f(x).当当 x0 时时,-x0,f(-x)=x2

11、-x,-f(x)=-ax2-bx,故故 x2-x=-ax2-bx,所以所以-a=1,-b=-1,即即 a=-1,b=1,故故 a+b=0. 14.若函数若函数 f(x)=? ?(?)? ? 为奇函数为奇函数,则实数则实数 a=-1. 解析解析: :由题意由题意,知知 f(-x)=-f(x), 即即? ?-(?)? -? =-? ?(?)? ? , 所以所以(a+1)x=0 对对 x0 恒成立恒成立, 所以所以 a+1=0,所以所以 a=-1. 15.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示如图所示),现有总现有总 长为长为 1 的围墙材料的围墙材料,则

12、每个矩形的长则每个矩形的长、 宽之比为宽之比为 3 2 时时,围出的饲养场围出的饲养场 的总面积最大的总面积最大. 解析解析: :如图所示如图所示,设一个矩形饲养场的长为设一个矩形饲养场的长为 AB=x,宽为宽为 AD=y, 则则 4x+6y=1,所以所以 y=? ?(1-4x), 则饲养场的总面积则饲养场的总面积 S=3xy=? ?x(1-4x)=-2(x- ? ?) 2+ ? ?,故当 故当 x=? ?,y= ? ?,即 即 长、宽之比为长、宽之比为? ? ? ?=3 2 时时,饲养场的总面积最大饲养场的总面积最大. 16.(本题第一空本题第一空 2 分分,第二空第二空 3 分分)设设 f

13、(x)为奇函数为奇函数,g(x)为偶函数为偶函数, 又又 f(x)+g(x)= ? ?-?,则 则 f(x)= ? ?-?,g(x)= ? ?-?. 解析解析: :因因为为 f(x)为奇函数为奇函数,g(x)为偶函数为偶函数,所所以以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). 又因为又因为 f(x)+g(x)= ? ?-?, 所以所以 f(-x)+g(-x)= ? -?-?, 即即-f(x)+g(x)= ? -(?), +,得得 2g(x)= ? ?-?- ? ?= ? ?-?, 所以所以 g(x)= ? ?-?. -,得得 2f(x)= ? ?-?+ ? ?= ? ?-?, 所以所以

14、f(x)= ? ?-?. 四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 小题小题,共共 70 分分,解答应写出文字说明、证解答应写出文字说明、证 明过程或演算过程明过程或演算过程) 17.(10 分分)已知函数已知函数 f(x)= ? ? ?,? ? -?, ?,-? ? ? ? ?, ?,? ? ?. (1)求求 f(f( ?)的值的值; (2)若若 f(a)=3,求求 a 的值的值. 解解: :(1)因为因为-1 ?2,所以所以 f( ?)=( ?)2=3. 又因为又因为 32,所以所以 f(f( ?)=f(3)=23=6. (2)当当 a-1 时时,f(a)=a+2. 又因为又因为 f(a

15、)=3, 所以所以 a=1(舍去舍去). 当当-1a2 时时,f(a)=a2. 又因为又因为 f(a)=3, 所以所以 a= ?,其中负值舍去其中负值舍去,所以所以 a= ?. 当当 a2 时时,f(a)=2a. 又因为又因为 f(a)=3,所以所以 a=? ?(舍去 舍去). 综上所述综上所述,a= ?. 18.(12 分分)如图如图,幂函幂函数数 y=x3m-7(mN)的图象关的图象关于于 y 轴对称轴对称,且且与与 x 轴、轴、y 轴均无交点轴均无交点. (1)求此函数的解析式求此函数的解析式; (2)求不等式求不等式 f(x+2)16 的解集的解集. 解解: :(1)由题意由题意,得得

16、 3m-70,所以所以 m? ?. 因为因为 mN,所以所以 m=0 或或 1 或或 2. 因为幂函数的图象关于因为幂函数的图象关于 y 轴对称轴对称, 所以所以 3m-7 为偶数为偶数. 所以当所以当 m=0 时时,3m-7=-7,不合题意不合题意,舍去舍去. 当当 m=1 时时,3m-7=-4,符合题意符合题意. 当当 m=2 时时,3m-7=-1,不合题意不合题意,舍去舍去. 故故 m=1,y=x-4. (2)由由(1),得得 f(? ?)=16. 由题图可知函数在区间由题图可知函数在区间(-,0)上递增上递增,在区间在区间(0,+)上递减上递减. 由由 f(x+2)16,得得 f(x+

17、2)? ?或 或 x+2-? ?或 或 x-t ?, 故不等式的解集是故不等式的解集是(-,-t ?) (-? ?,+). 19.(12 分分)已知函数已知函数 f(x)=? ? . (1)判断函数判断函数 f(x)在区间在区间1,+)上的单调性上的单调性,并用定义证明你的结并用定义证明你的结 论论; (2)求该函数在区间求该函数在区间1,4上的最大值与最小值上的最大值与最小值. 解解: :(1)函数函数 f(x)在区间在区间1,+)上单调递增上单调递增. 证明证明:任取任取 x1,x21,+),且且 x1x2, 则则 f(x1)-f(x2)=? ? -? ? = ?-? (?)(?). 由由

18、 1x1x2,得得 x1-x20, 所以所以 f(x1)-f(x2)0,即即 f(x1)f(x2), 所以函数所以函数 f(x)在区间在区间1,+)上单调递增上单调递增. (2)由由(1),知函数知函数 f(x)在区间在区间1,4上单调递增上单调递增,则函数则函数 f(x)的最大值的最大值 为为 f(4)=? t,最小值为 最小值为 f(1)=? ?. 20.(12 分分)已知函数已知函数 f(x)是定义在是定义在 R 上的奇函数上的奇函数,且当且当 x0 时时,则则-x0 在区间在区间1,+)上恒成立上恒成立,求实数求实数 a 的取值范的取值范 围围. 解解: :(1)因为因为 f(4)=3

19、,所以所以 4m-? ?=3,所以 所以 m=1. (2)由由(1),得得 f(x)=x-? ?,定义域为 定义域为x|xR,x0,关于原点对关于原点对 称称,f(-x)=-x- ? -?=-(x- ? ?)=-f(x),所以 所以 f(x)是奇函数是奇函数. (3)因为因为 y=x,y=-? ?在区间 在区间1,+)上均为增函数上均为增函数, 所以所以 f(x)在区间在区间1,+)上为增函数上为增函数,所以所以 f(x)f(1)=-3.不等不等式式 f(x)-a0 在区间在区间1,+)上恒成立上恒成立,即不等式即不等式 af(x)在区间在区间1,+)上恒成上恒成 立立,所以所以 a6,且且-40 x+7600,得得 6x19, 所以所以 P(x)关于关于 x 的函数解析式为的函数解析式为 P(x)=-40 x+760(6x19). (2)设日均销售利润为设日均销售利润为 y 元元,可得可得 y=(-40 x+760)(x-6)-300 =-40 x2+1 000 x-4 860 =-40(x-?t ? )2+1 390, 当当 x=12.5 时时,y 有最大值有最大值,最大值为最大值为 1 390 元元. 故销售单价定故销售单价定为为12.5元时元时,就可使日均销售利润最大就可使日均销售利润最大,最大销售利最大销售利 润为润为 1 390 元元.