2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 第二章　一元二次函数、方程和不等式 单元测试.docx

1、章末质量评估章末质量评估(二二) (时间:120 分钟分值:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题 所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.不等式 x2+5x-60 的解集是 () A.x|x3B.x|-2x3 C.x|x1D.x|-6x0,所以(x-1)(x+6)0,所以 x1 或 x0,则 a2+4b2+ 1 ?的最小值为( ) A.8B.6 C.4D.2 解析解析:实数 a,b 满足 ab0, 则 a2+4b2+ 1 ?4ab+ 1 ?4,当且仅当 a2=1,b2=1 4时等号成立. 答案答案:C 3.某产品的总成本 y(单

2、位:万元)与产量 x(单位:台)之间的函数解 析式为 y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN),若每台产品的售价为 25 万 元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 () A.100 台B.120 台 C.150 台D.180 台 解析解析:由题意,得 3 000+20 x-0.1x225x,即 x2+50 x-30 0000,解得 x150 或 x-200(舍去).故选 C. 答案答案:C 4.若集合 A=x|x2-10 x+210,B=x|-75-2x4,则 AB= () A. x 1 2x3 B.x|3x6 C.x|-2x7D.x|6x7 解析解析:因

3、为 A=x|3x7,B= ? 1 2 ? 6,所以 AB=x|3x6. 答案答案:B 5.若 a,b 都为正实数,2a+b=1,则 ab 的最大值是() A.2 9 B.1 8 C.1 4 D.1 2 解析解析:因为 a,b 都为正实数,2a+b=1, 所以 ab=2? 2 1 2 2?+? 2 2=1 8, 当且仅当 2a=b,即 a=1 4,b= 1 2时,ab 取得最大值 1 8. 答案答案:B 6.若关于x的不等式x2+x+m20的解集不是空集,则实数m的取值 范围为() A.m1 2 B.-1 2m 1 2 C.-1 2m 1 2 D.m1 2 解析解析:因为关于 x 的不等式 x2

4、+x+m20, 即 1-4m20,所以-1 2m 1 2. 答案答案:B 7.如图所示,在锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300 m2的 内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是() A.15x20B.12x25 C.10 x30D.20 x30 解析解析:设矩形花园的宽为 y m,由三角形相似,得 ? 40= 40-? 40 ,且 0 x40,0y40,xy300. 整理,得 y+x=40,将 y=40-x 代入 xy300 整理,得 x2-40 x+3000, 解得 10 x30. 答案答案:C 8.若两个正实数 x,y 满足2 ?+ 1 ?=1,且不等式 x+

5、2y-m 2-2m0 恒成立,则 实数 m 的取值范围为() A.m4B.m2 C.-2m4D.-4m2 解析解析:由题意,得 x+2y8, 解得 m2. 答案答案:B 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题 给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对 的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.若关于 x 的一元二次方程(x-2)(x-3)=m 有实数根 x1,x2,且 x1-1 4 C.当 m0 时,2x1x20 时,x1230,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立 的是() A.ab1B. ?+ ? 2

6、C.a2+b22D.1 ?+ 1 ?2 答案答案:ACD 11.若关于 x 的一元二次不等式 x2-6x+a0(aZ)的解集中有且仅 有 3 个整数,则 a 的取值可以是 () A.6B.7 C.8D.9 答案答案:ABC 12.对于给定的实数 a,关于实数 x 的一元二次不等式 a (x-a)(x+1)0 的解集可能为() A.B.(-1,a) C.(a,-1)D.R 答案答案:ABC 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题 中的横线上) 13.设 xR,使不等式 3x2+x-20 成立的 x 的取值范围为-1x2 3. 解析解析:由 3x2+x-20,得

7、(x+1)(3x-2)0, 所以-1x0,y0,x+2y=4,则(?+1)(2?+1) ? 的最小值为9 2. 解析解析:由 x+2y=4,得 x+2y=42 2?, 所以 xy2. 所以(?+1)(2?+1) ? =2?+?+2?+1 ? =2?+5 ? = 2+ 5 ?2+ 5 2= 9 2, 当且仅当 x=2y,即 x=2,y=1 时等号成立. 故所求的最小值为9 2. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算过程) 17.(10 分)已知不等式 x2-3x-40 的解集为 A,不等式 x2-x-60 的解 集为 B. (1)求 AB; (2)若

8、关于 x 的不等式 x2+ax+b0 的解集为 AB,求 a,b 的值. 解解:(1)由 x2-3x-40,得(x-4)(x+1)0, 解得-1x4,所以 A=x|-1x4. 由 x2-x-60,得(x-3)(x+2)0, 解得-2x3,所以 B=x|-2x3. 所以 AB=x|-1x3. (2)因为关于 x 的不等式 x2+ax+b0 的解集为x|-1x0,b0. (1)若1 ?+ 4 ?=1,求证:a+b9; (2)求证:a+b+1 ?+ ?+ ?. 证明证明:(1)因为 a0,b0,且1 ?+ 4 ?=1, 所以 a+b=(a+b)（1 ?+ 4 ?）=1+4+ ? ?+ 4? ? 5+

9、 2 ? ? 4? ? =9, 当且仅当 2a=b=6 时取等号,所以 a+b9. (2)因为 a+b2 ?,a+12 ?,b+12 ?, 上面三式相加,得 2(a+b+1)2 ?+2 ?+2 ?, 所以 a+b+1 ?+ ?+ ?(当 a=b=1 时取等号). 19.(12分)某地区上年度电价为0.8元/(kWh),年用电量为a kWh, 本年度计划将电价降低到 0.55 元/(kWh)至 0.75 元/(kWh),而用户期 望电价为 0.4 元/(kWh),经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价 和用户期望电价的差成反比(比例系数为 k),即新增用电量 = ? 实际电价-期望电价,该地区

10、电力的成本价为 0.3 元/(kWh). (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益 y(单位:元)与实际电 价 x(单位:元/(kWh)的函数解析式. (2)设 k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比 上年度至少增长 20%? 解解:(1)由题知,下调后的实际电价为 x 元/(kWh). 用电量增至 ? ?-0.4+a,电力部门的收益为 y=（ ? ?-0.4+a）(x-0.3)(0.55x0.75). (2)由已知,得 ( 0.2? ?-0.4 + ?)(?-0.3) ? (0.8-0.3)(1 + 20%), 0.55 ? 0.75, 解得 0.60 x0.75,

11、所以当电价最低定为 0.60 元/(kWh)时仍可保证电力部门的收益 比上年度至少增长 20%. 20.(12 分)已知 a0,b0,且 a2+? 2 2 =1,求 a 1 + ?2的最大值. 解解:因为 a0,b0,a2+? 2 2 =1, 所以 a 1 + ?2= ?2(1 + ?2)= 2?2 1+?2 2 = 2 ?2 1+?2 2 2 ?2+1 2+ ?2 2 2 2 = 2 1+1 2 2 2 =3 2 4 , 当且仅当正数 a,b 满足 a2=1+? 2 2 ,且 a2+? 2 2 =1,即 a= 3 2 ,b= 2 2 时等号成 立. 所以 a 1 + ?2的最大值为3 2 4

12、 . 21.(12 分)已知关于 x 的不等式 x2+2x+1-a20. (1)当 a=2 时,求不等式的解集; (2)当 a 为常数时,求不等式的解集. 解解:(1)当 a=2 时,不等式为 x2+2x-30, 即(x-1)(x+3)0,解得-3x1. 所以不等式的解集为x|-3x1. (2)当 a 为常数时,由题意,得原不等式为 x+(1-a)x+(1+a)0, 不等式对应的方程的两根为 x1=-a-1,x2=a-1. 当 a0 时,则-a-1a-1,解得-a-1xa-1; 当 a=0 时,不等式为 x2+2x+1=(x+1)20,解得 x=-1; 当 a0 时,则 a-10 时,不等式的

13、解集为x|-a-1xa-1; 当 a=0 时,不等式的解集为-1; 当 a0 时,不等式的解集为x|a-1x-a-1. 22.(12分)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的 水底作业.潜水员用氧量包含 3 个方面:下潜时,平均速度为 v(米/单 位时间),单位时间内用氧量为5 2v 2;在水底作业需 5 个单位时间,每个 单位时间用氧量为 0.4;返回水面时,平均速度为? 2(米/单位时间),每个 单位时间用氧量为 0.2.记该潜水员此次考古活动中总用氧量为 y. (1)将 y 表示为 v 的函数; (2)设 00). (2)由(1)可知y=75v+2+12 ? 2+2 75? 12 ? =62,当且仅当75v=12 ? ,即v=2 5 时,等号成立. 故当下潜速度 v=0.4(米/单位时间)时,总的用氧量最小,最小值为 62.