专题13 头痛问题之立体几何中的截面（原卷版）.docx

1、备战 2020 高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高 专题 13头痛问题之立体几何中的截面 【基本知识】 1截面定义截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱 锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总 共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得 到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面：、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯 形、正五边形。 【基本技能】 技能技能

2、 1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能技能 2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能技能 3.猜想法求最值问题： 要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征， “动中找静”： 如正三角形、 正六边形、 正三棱锥等； 技能技能 4.建立函数模型求最值问题：设元建立二次函数模型求最值。 例例 1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 是（） AC B D 例例 2如图，在透明的塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地 面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： A B

3、C H A1 B1 C1 D1 E F G D A B C D A1 B1 C1 D1 E F G H 图（2） 图（1） 1水的部分始终呈棱柱状； 2水面 EFGH 的面积不改变； 3棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行； 4当容器倾斜到如图 5（2）时，BEBF 是定值； 其中正确的命题序号是_ 例例 3有一容积为 1 立方单位的正方体容器 ABCD-A1B1C1D1，在棱 AB、BB1及对角线 B1C 的中点各有一 小孔 E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（） C1 AB C D A1 D1 B1 E G F 图（1） A 2 1 B 8 7 C 12 11

4、D 48 47 例例 4正四棱锥PABCD的底面正方形边长是 3，O是P在底面上的射影，6, POQ是AC上的一点， 过Q且与, PA BD都平行的截面为五边形EFGHL，求该截面面积的最大值. 基本方法介绍 公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； 侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究； 例例 5能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？ 例例 6已知一个平面截一个棱长为 1 的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示） ，证明：此六边形的周 长3 2. 【针对训练】 一、单选题 1 【江西省吉安市 2019-2020 学年高二上学期期末数学】 在正

5、方体 1111 ABCDABC D中，F为AD的中点，E为棱 1 DD上的动点(不包括端点)，过点,B E F的平 面截正方体所得的截面的形状不可能是（） A四边形B等腰梯形C五边形D六边形 2 【2020 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 如图圆锥 PO，轴截面 PAB 是边长为 2 的等边三角形，过底面圆心 O 作平行于母线 PA 的平面，与圆锥侧面 的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点 E 的距离为() A1B 1 2 C 1 3 D 1 4 3一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图

6、，则该截面的面积是（） A 6 B 10 C 15 D 7 4如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E，F，G 分别是棱AB，BC， 1 BB的中点，过 E，F，G 三 点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（） A在平面 11 BDD B内存在直线与平面EFG平行 B在平面 11 BDD B内存在直线与平面EFG垂直 C平面 1 /ABC平面EFG D直线 1 AB与EF所成角为45 5 【云南省昆明市 2019-2020 学年高三下学期 1 月月考数学】 某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个 棱长为4 3的正方体的六个面所截

7、后剩余的部分（球心与正方体的中心重合） ，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是（） A2B4C2 6D4 6 6美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明 暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学 2018 级某同学在画“切面圆柱 体” （用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱， 底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体） 的过程中， 发现“切面” 是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成45角，则该椭圆的离心率为（） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 1 3 7如图，已知三棱锥VABC，点P是VA的中点，且2AC

8、，4VB ，过点P作一个截面，使截面 平行于VB和AC，则截面的周长为（） A12B10C8D6 8 【2020 届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】 已知球O是正四面体ABCD的外接球，2BC ，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作球O的 截面，则所得截面圆面积的最小值是（） A 8 9 B 11 18 C 5 12 D 4 9 9 【2020 届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】 在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，,6,8ABAC ABAC，D是线段AC上一点，且3ADDC. 三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最

9、 小值之差为16，则球O的表面积为（） A72B86 C112D128 10 【2020 届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】 正三棱锥PABC，Q为BC中点， 2PA ，2AB ，过Q的平面截三棱锥PABC的外接球所得 截面的面积范围为（） A 13 , 45 B 12 , 23 C,2 D 3 , 2 11一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部， 且球与三棱锥的各面只有一个交点） ，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的 （） A B C D 12 【2020 届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试

10、卷理科试题】 如图，已知四面体 ABCD 的各条棱长均等于 4，E，F 分别是棱 AD、BC 的中点.若用一个与直线 EF 垂直， 且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最 大值为（） A3 2B4 C4 2D6 13 【2020 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面如图， 底面半径为 1 的圆柱内两个内切球球心距离为 4， 现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一 椭圆，则该椭圆的离心率为(

11、) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 14已知正方体 1111 ABCDABC D的边长为 2，边AB的中点为M，过M且垂直 1 BD的平面被正方体所 截的截面面积为（） A 3 2 B 3 C2 3D3 3 15在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，P，Q，R分别是AB，AD， 11 BC的中点，设过P，Q， R的截面与面 11 ADD A，以及面 11 ABB A的交线分别为l，m，则l，m所成的角为（） A90B30 C45D60 16在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E、F 分别

12、是棱 B1B、B1C 中点，点 G 是棱 CC1的中点，则过线段 AG 且平行于平面 A1EF 的截面图 形为（） A矩形B三角形C正方形D等腰梯形 17 【2020 届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】 如图四面体ABCD中，2,ADBCADBC，截面四边形EFGH满足/ /EFBC；/ /FGAD，则 下列结论正确的个数为（） 四边形EFGH的周长为定值 四边形EFGH的面积为定值 四边形EFGH为矩形 四边形EFGH的面积有最大值 1 A0B1C2D3 18 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)】 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与

13、平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大 值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 19 【四川省内江市 2019-2020 学年高二上学期期末数学（文)试题】 已知正三棱锥ABCD的外接球是球 O，正三棱锥底边3BC ，侧棱 2 3AB ，点 E 在线段BD上，且 BEDE，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（） A 9 ,3 4 B2 ,3C 11 ,4 4 D 9 ,4 4 20 【云南省曲靖市 2019-2020 学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】 在四面体ABCD中，3ABBDADCD，4ACBC，用平行于AB，CD的平面

14、截此四面体， 得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为（） A 4 3 B 9 4 C 9 2 D3 二、填空题 21 【山东省烟台市 2019-2020 学年高三上学期期末考试数学试题】 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA 平面ABC，6PA， 2 3AB ，2AC ， 4BC ，则： （1）球O的表面积为_； （2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面 面积的最小值是_ 22 【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市 2019-2020 学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E、F、G 分别为 11 ,A

15、BADBC的中点，给出下列命 题： 异面直线 EF 与 AG 所成的角的余弦值为 2 6 ； 过点 E、F、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是4 3； 1 AC 平面EFG 三棱锥CEFG的体积为 1 其中正确的命题是_（填写所有正确的序号） 23如图所示，在长方体 1111 ABCDABC D中，点 E 是棱 1 CC上的一个动点，若平面 1 BED交棱 1 AA于点 F，给出下列命题： 四棱锥 11 BBED F的体积恒为定值； 对于棱 1 CC上任意一点 E，在棱AD上均有相应的点 G，使得/CG平面 1 EBD； O 为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱 1 DD上存在点 H

16、，使/OH平面 1 EBD； 存在唯一的点 E，使得截面四边形 1 BED F的周长取得最小值. 其中为真命题的是_.（填写所有正确答案的序号） 24 【2020 届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E是正方形 11 BBC C的中心，M为 11 C D的中点，过 1 AM的平 面与直线DE垂直，则平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面面积为_. 三、解答题 25 【2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标带解析)】 如图，长方体 1111 ABCDABC D中, 1 16,10,8ABBCAA，点,E F分别在 1111 ,AB DC上， 11 4AED F，过点,E F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由） ； （2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值