椭圆的92条性质及其证明 32页.doc

1、椭圆的椭圆的 9292 条性质及其证明条性质及其证明 一、性质一、性质 1. 12 2PFPFa. 2.标准方程 22 22 1 xy ab . 3. 1 1 1 PF e d . 4点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角. 5PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切. 8设 A1、A2为椭圆的左、右顶点，则PF1F2在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2所在的直 线切于 A2

2、（或 A1）. 9椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 10若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 11若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是椭圆 22 22

3、1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a . 13若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15 若PQ是 椭 圆 22 22 1 xy ab （ a b 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则 12 2222 12 1111 (|,|)rOP rOQ rr

4、ab . 16 若椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为1AxBy(0)AB ,则(1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 a Ab B L a Ab B . 17给定椭圆 1 C： 222222 b xa ya b（ab0）, 2 C： 22 22222 22 () ab b xa yab ab ,则(i)对 1 C上 任意给定的点 00 (,)P xy,它的任一直角弦必须经过 2 C上一定点 M 2222 00 2222 (,) abab xy abab . (ii)对 2 C上任一点 00 (,)P xy在 1 C

5、上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 P点. 18设 00 (,)P xy为椭圆（或圆）C: 22 22 1 xy ab (a0,. b0)上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2斜 率 存 在 ， 记 为 k1, k2, 则 直 线 P1P2通 过 定 点 00 (,)M mxmy(1)m 的 充 要 条 件 是 2 12 2 1 1 m b kk m a . 19过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b0)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常

6、数）. 20椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点 12 FPF， 则椭圆的焦点三角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb ， 2 222 (tan,tan) 22 ab Pcb cc . 21若 P 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点, 12 PFF, 21 PF F，则tantan 22 ac ac . 22椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的焦半径公式： 10 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c， 00 (,)M

7、 xy). 23若椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 211e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 24P 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 212 2| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当 2 ,A F P三点共线时，等号成立. 25椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上存在两点关于直线l： 0 ()yk xx对称的充要条件是 222 2 0 222 ()ab x ab k . 26过椭圆焦半径的端点作

8、椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 28P 是椭圆 cos sin xa yb （ab0）上一点，则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是 2 2 1 1 sin e . 29设 A,B 为椭圆 22 22 (0,1) xy k kk ab 上两点，其直线 AB 与椭圆 22 22 1 xy ab 相交于,P Q, 则APBQ. 30 在 椭 圆 22 22 1 xy ab 中 ， 定 长 为 2m （ o ma ） 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 22

9、 22222 22 1 ()cossin xy mab ab ,其中tan bx ay ,当0y 时,90 . 31 设 S 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） 的通径， 定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移动， 记|AB|=l， 00 (,)M xy是 AB 中点，则当lS 时，有 2 0max () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS 时，有 22 0 max ()4 2 a xbl b , 0 min ()0 x. 32椭圆 22 22 1 xy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 A aB bC. 33椭圆 22 00

10、 22 ()() 1 xxyy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34设椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，记 12 FPF, 12 PFF, 12 FF P，则有 sin sinsin c e a . 35经过椭圆 222222 b xa ya b（ab0）的长轴的两端点 A1和 A2的切线，与椭圆上任一点的 切线相 交于 P1和 P2，则 2 1122 | |PAP Ab. 36已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） ，O 为坐标原点

11、，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 22 22 4a b ab ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 37MN 是经过椭圆 222222 b xa ya b（ab0）焦点的任一弦，若 AB 是经过椭圆中心 O 且平 行于 MN 的弦，则 2 |2 |ABa MN. 38MN 是经过椭圆 222222 b xa ya b（ab0）焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半弦 OPMN，则 222 2111 |a MNOPab . 39设椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）,M(m,

12、o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直 线l： 2 a x m (或 2 b y m )上. 40设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分 别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF. 41过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于 点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42 设椭圆方程 22 22 1

13、xy ab ,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线 yk x 上,而且 2 2 b kk a . 43设 A、B、C、D 为椭圆 22 22 1 xy ab 上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为, ，直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则 2222 2222 cossin cossin PAPBba PCPDba . 44已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）,点 P 为其上一点 F1, F2为椭圆的焦点， 12 FPF的外（内） 角平分线为l，作 F1、F2分别垂直l于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成的轨迹方程是 22

14、2 xya( 2 222 22 2 222 a yb x xc c y a ybxc ). 45设ABC 内接于椭圆，且 AB 为的直径，l为 AB 的共轭直径所在的直线，l分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为l上一点，则 CD 与椭圆相切的充要条件是 D 为 EF 的中点. 46过椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平 分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 47设 A（x1,y1）是椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上任一点，过 A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y

15、的直线 L， 又设 d 是原点到直线 L 的距离, 12 , r r分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则 1 2 rr dab. 48已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）和 22 22 xy ab （01） ，一直线顺次与它们相交于 A、 B、C、D 四点，则AB=|CD. 49已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 交于点 0 (,0)P x, 则 2222 0 abab x aa . 50 设 P 点是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） 上异于长轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记 12

16、FPF， 则(1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 tan 2 PF F Sb . 51设过椭圆的长轴上一点 B（m,o）作直线与椭圆相交于 P、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连 结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 H 点 的 直 线 MN ：xn于 M ， N 两 点 , 则 2 2 22 90 () anmam MBN amb na . 52L 是经过椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线，E、F 是椭圆两个焦 点，e 是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且sine或sinarce（当且仅当 |PHb

17、时取等号）. 53L 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的准线，A、B 是椭圆的长轴两顶点,点PL，e 是离心率， EPF，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则是锐角且sine或sinarce（当且仅 当| ab PH c 时取等号）. 54L 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的准线，E、F 是两个焦点，H 是 L 与 x 轴的交点，点PL， EPF,离心率为 e，半焦距为 c，则为锐角且 2 sine或 2 sinarce（当且仅当 22 | b PHac c 时取等号）. 55已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） ，直线 L 通过其右焦

18、点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点，将 A、 B 与椭圆左焦点 F1连结起来，则 222 2 11 2 (2) | | ab bF AFB a （当且仅当 ABx 轴时右边不等式 取等号，当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号）. 56设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co .(2) 2 tantan1e .(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 57设 A、B 是椭圆 22

19、 22 1 xy ab （ ab0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点） 、外部的两点， 且 A x、 B x的横坐标 2 AB xxa，（1） 若过A点引直线与这椭圆相交于P、 Q两点， 则PBAQBA ； （2）若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则180PABQAB . 58设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点） ，外部的两点， （1） 若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点， （若 B P 交椭圆于两点，则 P、Q 不关于 x 轴对称） ， 且PBAQBA ，则点 A、B 的横坐标 A x、 B x满足 2 AB xx

20、a； （2）若过 B 点引直线与这椭圆 相交于 P、Q 两点，且180PABQAB ,则点 A、B 的横坐标满足 2 AB xxa. 59设 ,A A是椭圆 22 22 1 xy ab 的长轴的两个端点， QQ是与 AA垂直的弦，则直线AQ与 AQ的 交点 P 的轨迹是双曲线 22 22 1 xy ab . 60 过 椭 圆 22 22 1 xy ab （a b 0 ） 的 左 焦 点F作 互 相 垂 直 的 两 条 弦 AB 、 CD 则 222 22 82() | abab ABCD aba . 61到椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）两焦点的距离之比等于 ac b （c 为半

21、焦距）的动点 M 的轨迹 是姊妹圆 222 ()xayb. 62到椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的长轴两端点的距离之比等于 ac b （c 为半焦距）的动点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ()( ) ab xy ee . 63到椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 ac b （c 为半焦距）的 动点的轨迹是姊妹圆 222 22 ()() ab xy ee （e 为离心率）. 64已知 P 是椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上一个动点， , A A是它长轴的两个端点,且 AQAP, AQAP，则 Q 点的轨迹方程是 222

22、24 1 xb y aa . 65 椭圆的一条直径(过中心的弦)的长， 为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中 项. 66 设椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） 长轴的端点为 ,A A, 11 ( ,)P x y是椭圆上的点过 P 作斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线l，过 ,A A分别作垂直于长轴的直线交l于 ,M M,则（1） 2 |AMAMb.（2）四边形 MAAM面积的最小值是2ab. 67已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭 圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且/ /B

23、Cx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 68OA、OB 是椭圆 22 22 () 1 xay ab （ a0,b0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1） 直线 AB 必经过一个定点 2 22 2 (,0) ab ab .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22 222 2222 ()() abab xy abab (0)x. 69( , )P m n是椭圆 22 22 () 1 xay ab （ab0）上一个定点，PA、P B 是互相垂直的弦，则（1） 直线 AB 必经过一个定点 22222 2222 2()() (,) abm abn ba

24、 abab .（2）以 PA、P B 为直径的两圆的另一个 交点 Q 的轨迹方程是 22224222 22 2222222 () ()() () aba mb na bn ab xy ababab (xm且yn). 70如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线L的距离分别为 d1、d2，那么（1） 2 12 d db， 且 F1、F2在L同侧直线 L 和椭圆相切.（2） 2 12 d db，且 F1、F2在 L 同侧直线L和椭圆相 离， （3） 2 12 d db，或 F1、F2在 L 异侧直线 L 和椭圆相交. 71AB 是椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的长轴，N是椭

25、圆上的动点，过N的切线与过 A、B 的切 线交于C、D两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 22 22 4 1(0) xy y ab . 72设点 00 (,)P xy为椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的内部一定点，AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 过定点 00 (,)P xy的 任 一 弦 ， 当 弦 AB 平 行 （ 或 重 合 ） 于 椭 圆 长 轴 所 在 直 线 时 222222 00 max 2 () (| |) a ba yb x PAPB b . 当 弦AB垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 , 222222 00 min 2 ()

26、 (| |) a ba yb x PAPB a . 73椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在 椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心

27、的比例中项. 80椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的 距离成比例. 81椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连 线段成比例. 82 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦 半径所在直线平行. 83 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长 半轴的长. 84 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的 圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85椭圆焦三角形中,非焦顶点的外

28、角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e. 86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88 椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过 两焦点. 89. 已知椭圆 22 22 1(0,0) xy ab ab (包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线 b yx a 及 b yx a 的平行线， 与x轴于,M N， 与y轴交于,R Q.,O为原点， 则：（1） 222 |2OMONa； （2） 222 |2OQORb. 90. 过平面上的P点作直线 1: b

29、lyx a 及 2: b lyx a 的平行线，分别交x轴于,M N，交y轴于 ,R Q. （ 1 ） 若 222 |2OMONa， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab .(2) 若 222 |2OQORb，则P的轨迹方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab . 91. 点P为椭圆 22 22 1(0,0) xy ab ab (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点， 过P引x轴、y 轴的平行线，交y轴、x轴于,M N，交直线 b yx a 于,Q R，记OMQ与ONR的面积为 12 ,S S，则： 12 2 ab SS. 92. 点P为第一象限内一

30、点， 过P引x轴、y轴的平行线， 交y轴、x轴于,M N， 交直线 b yx a 于,Q R，记OMQ与ONR的面积为 12 ,S S，已知 12 2 ab SS，则P的轨迹方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab . 二、证明：二、证明： 1.椭圆第一定义。 2.由定义即可得椭圆标准方程。 3.椭圆第二定义。 4. 如图，设 00 (,)P xy，切线 PT（即l）的斜率为 k， 1 PF所在直线 1 l斜率为 1 k， 2 PF所在直线 2 l斜 率为 2 k。 4 图 5 图 由两直线夹角公式 12 12 tan 1 kk k k 得： 2 00 22 2222222222 0

31、 0000001 222222 2 001000000000 00 2 00 tan 1 1 b xy bacx a yxcb xa yb x ca bb cxkkb b xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacx a yxc 2 00 22 2222222222 0 0000002 222222 2 002000000000 00 2 00 tan 1 1 b xy bacx a yxcb xa yb x ca bb cxkkb b xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacx a yxc ,0, 2 同理可证其它情况。故切线 PT 平分

32、点 P 处的外角。 5.如图， 延长F1P至A， 使PA=PF2， 则 2 PAF是等腰三角形， AF2中点即为射影H2。 则 1 2 2 F A OHa， 同理可得 1 OHa，所以射影 H1，H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。 6.设 P，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为 12 ,d d，以 PQ 中点到准线的距离为d，以 PQ 为 直径的圆的半径为 r，则 12 22 ddPFFQr dr ee ，故以 PQ 为直径的圆与对应准线相离。 7 图8 图 7.如图，两圆圆心距为 122 2 222 PFaPFPF dOMaar ，故两圆内切。 8.如图，由切线长定理： 11121

33、2 22FSFTPFPFFFac， 11 FSFTac 而 112 FTacF A，T与 2 A重合，故旁切圆与 x 轴切于右顶点，同理可证 P 在其他位置情况。 9. 22 00 12100200 22 ,0,0,1 xy AaAaP xyP xy ab 易知,设,则 00 1 122 00 :,: yy APyxaA Pyxa axax 2222222222222 000 222222222 000000 ,11 PP P aya ya ba yxyaaaxy xPP xxxabxb xb xab 则点的轨迹方程为 10. 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上 22

34、 00 22 1 xy ab ，对 22 22 1 xy ab 求导得： 22 22 0 xyy ab 2 0 2 0 b x y a y 切线方程为 2 0 00 2 0 b x yyxx a y 即 22 0000 2222 1 x xy yxy abab 11.设 111222 ,P x yP xy，由 10 得： 01010202 2222 1,1 x xy yx xy y abab ，因为点 12 ,P P在直线 12 PP 上，且同时满足方程 00 22 1 x xy y ab ，所以 00 2 12 2 1:P xy a P xy b 12. 112200 ,A x yB xyM

35、 xy设 2222 1122 2222 1,1 xyxy abab 则有作差得： 2222 1212 22 0 xxyy ab 12121212 22 0 xxxxyyyy ab 2 222 12 012 2222 12120 ABABOM OM bxxb xyybb kkk xxayya ya ka 13.由 12 可得： 2 0 2 00 0 b x xx a y y y 222222 0000 0a y ya yb x xb x 222222 0000 b x xa y yb xa y 22 0000 2222 x xy yxy abab 14. .由 12 可得： 2 2 0 0 b

36、xx yyy xa 222222 00 0a ya y yb xb x x 222222 00 b xa yb x xa y y 22 00 2222 x xy yxy abab 15.设 cos , sin,cos , sinP at btQ at bt，则 sinsin 1 coscos OPOQ btbt kk at at 2 2 tantan a tt b 222222 22 12 2222 22222222 1212 22 22 2222222 2222 222222 coscossinsin 11 cossincossin 11tantan 2tantantantan2tan co

37、scoscoscos tantan attbtt rr rrr ratbtatbt tt ab attbttb tttt abtabt 22 42222422 tan tantantantan tt aa bttbtt 2 22 22 22222 222 2 222 42222 22 2 11 tantan2 tantan2 11 2tantan 2tantan a ab tt abtta abb b aabaa btt tt b 16.将直线 AB 代入椭圆方程中得： 222222222 210A aB bxAa xaB b 2222222 41a B bA aB b ， 22 2222 2

38、222 2 1 ab AB ABA aB b A aB b 设 1122 ,A x yB xy则 2 12 2222 2Aa xx A aB b ， 222 12 2222 1aB b x x A aB b ， 222 12 2222 1bA a y y A aB b OAOB 22222222 1212 22 11 0 x xy yaba bABAB ab 222222 22 2222 22222222 2424222222 2424 22222222 21 2 1 2 2 abA aB b ab AB ABA aB b A aB bA aB b A aB ba bABab A aB b A

39、 aB bA aB b 17. 设椭圆内直角弦 AB 的方程为：yxmkn即ykxmkn。 当斜率 k 存在时， 代入椭圆 C1方程中得： 2 2222222 20a kbxa k mkn xamknb 设 1122 ,A x yB xy得 12 2 222 2a k m xx kn a kb ， 2 2 12 2 222 amknb a kb x x 则 01020102 PA PBxxxxyyyy 2 222 12001200 10kx xk nkyxmkxmxkxyn 2 22222 2 222 0000 2222 2222 22 222222222222 2 2222222 2 22

40、00 2 0 2 00 2 2 22220 10 11 1 amknba k mkna kba kbmkn am kk nkyxm knaba kba kba kbmkn mkn kxy a kbamkna kmkna kmkn amkna kkx ykxy ka y b 22 0000 222 2 222222222 2 2222222 000 2 0 2 20 20 2 1 kba kbbmknmkn ba kmkn a xyyx xykkbabmkna bmkna kbxy 22222222 0000 00 2222222222222 2 0 2222 0 2 22220 a kbaba

41、bkmn abxyxyma ba b ma kmbk nakn k nk xyxyb 2222222 0 22 2222 22 222 222 00 22 0 2 0 00 222 000 20 20 2 xnxx xy ym aabbnaba my ab manbmn ab ab nx babamb ab yy 即直线 AB 过定点 2222 00 2222 , abba xy abab ，此点在 C2上。当直线斜率不存在时，直线 AB 也过 C2 上的定点。 由上可知 C1和 C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。 18.必要性：设 P1P2： 00 k xmmyyx。k 存在时，代

42、入椭圆方程中得： 2 222222222 0000 20a kbxa km ykxxa mykxa b 设 111222 ,P x yP xy得 2 0 22 2 2 1 0 2a km ykx b x a x k ， 2 2222 00 12 222 a mykxa b a kb x x 2 2 01021212 12 2 0102120120 0000 2222 2 0000 2 2222 0000 00 1211 1 11211 yyyyk x xk mxxm kk xxxxx xxxxx bmkmx yk xmym bm amamkmx yk x ymk my xyxy m ymk k

43、 不存在时，P1P2：x=mx0则 222 0 b yam x a ， 2 222222 2222 222 2 0000 00 2 0 12222 2 2222 000 + 1 1 1 111 bb b yam xyam x yam x b xm bm aa a kk am xmxma xm 必要性得证。 充分性：设 P1P2过定点, q p，则 P1P2：ykxpkq。代入椭圆方程得： 2 22222222 20a kbxa k pkq xapkqa b 设 111222 ,P x yP xy得 12 2 222 2a k p xx kq a kb ， 2 22 2 2 1 2 22 apk

44、qa x b ab x k 则 2 2 1020120120 12 2 1020120120 yyyyk x xk pkqyxxpkqy kk xxxxx xxxxx 2 22222222 2 22222 2 22 00 2 00 2 2222 2 000 2 2 2222 000 22 2 1 1 2 2 2 kkpkqypkqy xx b apkqa ba kpkqa kb pkqypkqy apkqa ba kp k x mb ma apkqkxpkqk xy kqa kb 2 222 000 2 222 000 22222 0000000000 22 00 000 0000 22 00

45、0 2 1 1 2 20 01 0 20 0 pkqypkqyk x m m pkqkxpkqk xy kmxqmqxqxk mpxpxmqyqypqmpypypmy qxqmx mxqmqxqx mpxpxmqyqypq mpypypmy 00 00 1122 03 pxmqympq pymyp 注意到 m1，解（1） （3）得 00 ,pmy qmx ，代入（2）式，成立。 验证 k 不存在的情况，也得到此结论。故l过定点 00 ,1mxmym，充分性得证。 19. 设 AB： 00 kyxyx即 00 ykxykx 00 2 2222222 22 0000 22 20 1 ykxykx

46、a kbxa k ykxxaykxb xy ab 2 222222222222 00 000000000 0 222222222222 2222 , BB a k kxya k xa kyb xa k xa kyb xb ya k yb kx xxxB a kba kba kba kb 2222222222 00000000 22222222 00 224 , 4 BC a k xa kyb xb ya k yb kxb kxb x Ck a kba kba kya y 同理 20.由余弦定理： 2 222 2 12121212 2cos242cos1PFPFPF PFcPFPFcPF PF

47、22 22 1212 2 2 442cos1 cos1 cos 2 bb acPF PFPF PF 12 2 2 2 12 2 2222 22222222 2 2sincos 1sin 22 sintan 2cos12 2cos 2 tan,tantantan,tan 22222 F PFP PP b b SPF PFbc y ba baab yxacbPcb ccccc 21.由 34： sinsinsin1sinsinsin 1sinsinsinsinsinsin ace ace 22 22 sin1 cossin1 cossinsinsincossincos sinsinsincossi

48、ncossin1 cossin1 cos sinsincossinc 2sincos2sin2sincos2sin 2222 222222 2sincos2cos2sincos2cos 222222 ossin 22 coscossincossincos 222222 sinsin 22 tantan 22 coscos 22 22.由第二定义得： 22 100200 , aa MFe xaexMFexaex cc 23. 12 21000 2 1 1PFPFe ePFe PFaexe aexxa dPFee 2 0 2 1 0,121021120,121,1 e xaeeeeee ee 或

49、24. 22222 APFPFAFPAPFAF在中,有 1122211222 2 2,2PFPAPFPFAFaAF PFPAPFPFAFaAF APF 都当且仅当 、 、三点共线时取等号。 25.设椭圆上的点 1122 ,A x yB xy关于: l ykxm对称， 00 ,M xy。 由 12 得： 2 2222 0 00 00 22222 000 1 , AB akxm b xa ya mb m kkxy a ykb xb xc kc 又M在椭圆内， 2222 222242 2 42442222 1 ab km a mb mc k m c kcc kab k 若 0 mkx ，则 2 22

50、 4 2 0 222222 ab c x ab kab k 26.由 5 即可得证。 27.设 Pcos , sinab，则切线 cossin :1lxy ab ，A 2 cos ,1 sin aba cc 27 图30 图 222 22 coscoscos cos, sin,10 sin bbaabab FP FAac bbbFPFA cccc 28. 22222 cos , sin,:sincoscoscosP abbcacaca设由射影定理有 2222222222 22222 2 cossincos1sin 1 1 sinsincos1 1 sin caacee ee 29.设 2222