2021年上海市夏季高考数学试卷.doc

1、2021 年上海市夏季高考数学试卷 一、填空题（本大题共（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 16 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 71212 题每题题每题 5 5 分）分） 1、已知 12 1i,23izz （其中i为虚数单位），则 12 zz 2、已知21 ,1,0,1 ,AxxB 则IAB 3、若 22 240 xyxy,则圆心坐标为 4、如图边长为 3 的正方形,ABCD则 uuu r uuu r AB AC 5、已知 3 ( )2,f x x 则 1(1) f 6.已知二项式 5 xa的展开式中， 2 x的系数为80，则a _ 7、已知 08

2、3 022 3 yx yx x ,目标函数yxz，则z的最大值为 8、已知无穷递缩等比数列 12 3, nn aba n a的各项和为9,则数列 n b的各项和为 9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB为上底底面的直径,点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕 着下底底面旋转一周，则ABC面积的范围 10.甲、乙两人在花博会的 A、B、C、D 不同展馆中各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同 的概率为_ 11、已知抛物线 2 2(0)ypx p,若第一象限的点、AB在抛物线上，抛物线焦点为,F 2,4,3,AFBFAB则直线AB的斜率为 12.已知 *( 1,2,9) i aiN，且对任意 *

3、 28kkN都有 1 1 kk aa 或 1 1 kk aa 中有且仅 有一个成立， 1 6a ， 9 9a ，则 91 aa的最小值为_ 二、选择题（本大题共有（本大题共有 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分） 13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（） A.( )3f xx B. 3 ( )f xxC. 3 ( )log x f x D.( )3xf x 14、已知参数方程 3 2 34 ( 1,1) 21 xtt t ytt ,以下哪个图像是该方程的图像 （） 15.已知 3sin2f xx，对于任意的 2 0, 2 x ，都存在 1 0, 2 x ，

4、使得 12 +23f xf x成立，则下列选项中，可能的值是（） . A 3 5 .B 4 5 .C 6 5 .D 7 5 16、已知两两不同的 312312 ,x y x y x y满足 112233 xyxyxy ， 且 11 xy ， 22 xy ， 33 xy ， 311223 02x yx yx y ，则下列选项中恒成立的是（） . A 213 2xxx.B 213 2xxx.C 2 213 xx x.D 2 213 xx x 三、解答题（本大题共有（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分分, ,解答下列各题必须写出必要的步骤解答下列各题必须写出必要的步骤) ) 17、如

5、图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,3ABBCAA （1)若P是边 11 AD的动点，求三棱锥PADC的体积； （2)求 1 AB与平面 11 ACC A所成的角的大小. 18、在ABC中，已知3,2abc （1)若 2 , 3 A 求ABC的面积； （2)若2sinB sinC1,求ABC 的周长. 19.已知某企业今年（2021 年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营 业额都比前一季度多0.05亿元，该企业第一季度是利润为0.16亿元，以后每一季度的利润都比前一 季度增长4%. （1）求 2021 第一季度起 20 季度的营业额总和； （2）

6、问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 20、已知 2 2 12 :1, 2 、 x yFF是其左右焦点，( ,0)(2)P mm ,直线l过点P交于、AB两点， 且A在线段BP上. （1)若B是上顶点， 11 , uuu ruuu r BFPF求m的值； （2)若 12 1 , 3 uuu r uuu r F A F A且原点O到直线l的距离为 4 15 15 ，求直线l的方程； （3)证明：证明：对于任意2,m 总存在唯一一条直线使得 12 / / uuu ruuu r F AF B. 21、如果对任意 12 ,x x 使得 12 xxS都有 12 ()()f xf xS,则

7、称( )f x是S关联的. （1)判断并证明( )21f xx是否是0,)关联？是否是0,1关联？ （2)( )f x是 3关联的，在0,3)上有 2 ( )2f xxx,解不等式2( )3f x ； （3)“( )f x是 3关联的，且是0,)关联”当且仅当“( )f x是1,2关联的” 2021 年上海市夏季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 1.已知 12 1i,23izz （其中i为虚数单位），则 12 zz 【思路分析】复数实部和虚部分别相加 【解析】：1 2 34zzi 【归纳总结

8、】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题 2、已知21 ,1,0,1 ,AxxB 则IAB 【思路分析】求出集合 A，再求出AB 【解析】： 1 21 2 Axxx x ，所以1,0IAB 【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题 3、若 22 240 xyxy,则圆心坐标为 【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标 【解析】： 22 240 xyxy可以化为 22 125xy（） （）所以圆心为(1,2) 【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题 4、如图边长为 3 的正方形,ABCD则 uuu r uuu r AB AC 【思路分析】利用向量投影转化到边上

9、. 【解析】方法一： 2 =9 uuu r uuu ruuu r AB ACAB 方法二：由已知| 3AB uuu r ，| 3 2AC uuu r ，, 4 ACAB uuu r uuu r ， 则 2 3 3 29 2 AB AC uuu r uuu r ； 【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题； 5、已知 3 ( )2,f x x 则 1(1) f 【思路分析】利用反函数定义求解. 【解析】由题意，得原函数的定义域为：(, 0)(0,)U，结合反函数的定义，得 3 12 x ， 解得3x ，所以， 1(1) 3f ； 【归纳总结】本题主要考查了反函数的定

10、义的应用，属于基础题 6.已知二项式 5 xa的展开式中， 2 x的系数为80，则a _ 【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解. 【解析】 533 155 3,80,2 rrr r TC a xrC aa 【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数 幂运算；基础题。 7、已知 083 022 3 yx yx x ,目标函数yxz，则z的最大值为 【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据 z 的几何意义求最值. 【解析】如图，可行域的三个顶点为：(3, 4)、(2, 2)，(3,1)， 结合直线方程与z的几何意义，得3x ，1y ，则=4z最大值； 当4, 1, 3 ma

11、x zyx 【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结 合思想； 8、已知无穷递缩等比数列 12 3, nn aba n a的各项和为9,则数列 n b的各项和为 【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到 n b通项公式，根据特点求 和. 【解析】 1 32 9 113 a Sq qq ， 2121 1 2110 0 24218 3 ( )2,q 4 3915 1 9 nn nnb b baaqbS q 【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的各项和的概念与公式； 同时考查了学生的数学阅读与计算能力。

12、 9、在圆柱底面半径为1,高为2,AB为上底底面的直径,点C是下底底面圆弧上的一个动点，点C绕 着下底底面旋转一周，则ABC面积的范围 【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求ABC面积的的方法； 【解析】 由题意， 当点C在下底底面圆弧上的运动时，ABC的底边2AB ， 所以，ABC面积的取值与高 21 C O相关； 当 211 C OAC时， 21 C O最大为： 22 21 125C O ，ABC面积的最 大值为： 1 255 2 ； 当 1 ABBC时， 21 C O最小为： 1 2BC ，ABC面积的最大值为： 1 2 22 2 ； 所以，ABC面积的取值范围为：2,5； 【归纳总结

13、】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等 价转化思想。 10.甲、乙两人在花博会的 A、B、C、D 不同展馆中各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同 的概率为_ 【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题； 【解析】由题意A、B、C、D四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有： 2 4 C种，则甲、乙两 个人每人选2个场馆的参观方法有： 22 44 CC种； 由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有： 111 432 CCC种； （或等价方法 1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有： 12 43 CP种）； （或等价方法 2【补集

14、法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有： 22 42 CC种； 甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有： 2 4 C种； 所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有： 222 424 1 CCC种）； 所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为： 111 432 22 44 242 363 CC C p CC ； 【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列、 组合题解之；有点“区分度”； 11、已知抛物线 2 2(0)ypx p,若第一象限的点、AB在抛物线上，抛物线焦点为,F 2,4,3,AFBFAB则直线AB的斜率为 【思路分析】注

15、意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征； 【解析】方法一：如图，设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，再由抛物线的定义结合题 设得 1 |2 2 p AFx， 2 |4 2 p BFx，则 21 2xx， 又 22 2121 |()()3ABxxyy，解得 21 5yy， 则直线AB的斜率为： 21 21 5 2 yy xx ； 方法二：过A、B分别向准线引垂线，垂足为 1 A、 1 B， 直线AB与x轴的交点为P， 由抛物线定义，得 1 2AA ， 1 4BB ， 1 AHBB于H， 则 1111 2BNBBHBBBAA，又由已知| 3AB ，则|5AH ， 结合平面几何

16、中，“内错角相等”，所以，直线AB的斜率为： 5 tantan 2 BPFABH) 方法三： ： 结合本题是填充题的特点， 数形结合并利用 “二级结论” ， 弦长公式 2 21 1| 3kxx， 即 2 123k，解得 5 2 k ，结合题设与图像0k ，所以 5 2 k ） 【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要 利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结 合与平面几何的性质，则可减少计算量； 考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出斜 率来； 12.已知 *( 1,2,9) i aiN，且对

17、任意 * 28kkN都有 1 1 kk aa 或 1 1 kk aa 中有且仅 有一个成立， 1 6a ， 9 9a ，则 91 aa的最小值为_ 【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系； 【答案】31； 【解析】方法一：由题设，知：1 i a ； 21 1aa或 23 1aa中恰有一个成立； 32 1aa或 34 1aa中恰有一个成立； 87 1aa或 89 1aa中恰有一个成立； 则 21 17aa ， 34 1aa， 56 1aa， 78 1aa， 则 129 aaa 357 252(aaa），当 357 aaa=1时， 129 aaa的和为最小值为： H 31； 23 1aa，

18、 45 1aa， 67 1aa， 89 1aa， 则 129 aaa 468 262(aaa），当 468 aaa=1时， 129 aaa的和为最小值为： 32； 因此， 129 aaa的最小值为：31）； 方法二： 21 1aa或 23 1aa中恰有一个成立；等价为： 21 1aa或 32 1aa中恰有一个 成立； 32 1aa或 34 1aa中恰有一个成立；等价为： 32 1aa或 43 1aa中恰有一个成立； 87 1aa或 89 1aa中恰有一个成立；等价为： 32 1aa或 98 1aa中恰有一个成立； 又要求 129 aaa的和为最小，所以，希望尽量出现 1 和 2， 则有数列：6

19、，1，2，1，2，1，2，8，9 或 6，7，1，2，1，2，1，2，9； 因此， 129 aaa的最小值为：31；） 方法三：设 1kkk baa ， k b或 1k b 恰好只有一个为 1； 1357 1,bbbb 12343565787 6,7,1,12,1,12,1,12,aaaaaaaaaaa 123456789 6712 12 12931aaaaaaaaa 2468 1,bbbb 8232454776 8,1,12,1,12,1,12,aaaaaaaaaa 123456789 6 12 12 128932aaaaaaaaa 129 aaa的最小值为31） 方法四：由题设，知：1 i

20、 a ；由题设，得： 21 32 43 54 65 76 87 98 1 1 1 1 1 1 1 1 aa aa aa aa aa aa aa aa 再结合题设，要使 129 aaa的和为最小， 考虑按： 129 aaa 13792468 ()()aaaaaaaa 3571357 69()(4)aaaaaaa 357 252()252 331aaa 当且仅当 357 1aaa时，等号成立； 考虑按： 129 aaa 13792468 ()()aaaaaaaa 3571357 69()(4)aaaaaaa 357 202()aaa 246 202(3)aaa 246 262()262 33231

21、aaa 当且仅当 246 1aaa时，等号成立；） 【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解与等价转化，然后， 结合题设要求“和最小” ； 进行枚举或递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻辑推理 核心素养，根据题设推理出 1，2 连续造型值最小，从而判断出整体的最小值，虽然较为简单但容易 出错； 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 5 分，满分 20 分） 13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（） A.( )3f xx B. 3 ( )f xxC. 3 ( )log x f x D.( )3xf x 【思路分析】注意研究函数性质的方法； 【解析】排

22、除法：B、C、D 涉及函数都是增函数； 【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题； 14、已知参数方程 3 2 34 ( 1,1) 21 xtt t ytt ,以下哪个图像是该方程的图像 （） 【思路分析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法； 【解析】 方法一 （特值法） ： 令 2 210ytt， 解得1, 0,1t ， 代入参数方程， 得1, 0,1x ， 所以，方程对应的曲线一定过( 1, 0)、(0, 0)、(1, 0)，故选 B； 方法二：在方程对应的曲线上任取一点 11 (,)P xy，对应的参数为： 1 t， 由题意，得 3 111 2 111 34 21 xtt

23、 ytt ； 当 1 tt 时，代入已知的参数方程 ，得 3 2111 2 2111 3()4() 2()1 () xttx ytty ， 所以，点 2211 (,)(,)Q xyxy 也在方程对应的曲线上， 所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称； 取 1 2 t ，代入参数方程，则1x ， 3 2 y ，即点 3 (1,) 2 R在曲线上； ） 验证点 3 (1,) 2 S、 3 ( 1,) 2 T 都不在曲线上； 因为，当 3 341xtt时，1t 或 1 2 t ， 当 2 3 21 2 ytt 时， 1 2 t 或 3 2 t ，所以，点 3 (1,) 2 S不在方程对应的曲 线上；

24、 故，方程对应的曲线不关于x轴成对称； 因为，当 3 341xtt 时，1t 或 1 2 t ， 当 2 3 21 2 ytt时， 1 2 t 或 3 2 t ，所以，点 3 ( 1,) 2 T 不在方程对应的曲线上； 故，方程对应的曲线不关于y轴成对称；故选 B； 【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法与过程；方法 1： 结合选择题的特点，使用了“特值法”；方法 2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。 15.已知 3sin2f xx，对于任意的 2 0, 2 x ，都存在 1 0, 2 x ，使得 12 +23f xf x成立，则下列选项中，可能的值是（）

25、. A 3 5 .B 4 5 .C 6 5 .D 7 5 【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”； 【解析】方法一：由题设 12 ()2 ()3f xf x，变形得 12 ()32 ()f xf x， 又由题设“( )3sin2f xx对任意的 1 0, 2 x ，都存在 2 0, 2 x 使得 12 ()+2 ()=3f xf x成 立”， 若设函数( )3sin2f xx对任意的 1 0, 2 x 的值域为A， 设函数 22 32 ()16sin()yf xx ， 2 0, 2 x 的值域为B，则AB， 又 因 为 1 ()2,5f x ； 而 22 32 ()16si

26、n()yf xx ， 当 7 = 5 时 ， 2 719 , 510 x ， 22 19 32 ()16sin()16sin,5 10 yf xx ，而 19 16sin0.852 10 符合题意； 方法二：由题意，得 12 3sin223()23xsin x，解得 1 2 sin1 () 2 x sin x ， 又对于任意的 1 0, 2 x 时， 1 2 sin11 () 1, 22 x sin x ， 原问题，等价为：当 2 0, 2 x 时，即 2 , 2 x 时， 2 ()sin x取遍 1 1, 2 能所有 的数； 所以，一定存在整数k， 使得： 73 2, 2 , 622 kk

27、或者 311 2, 2 , 262 kk ， 解得 67 2, 2 66 kk 或者 89 2, 2 66 kk ，所以选 D；） 方法三： 112212 ()3sin2,2 (+ )6sin+4,()+2 (+ )=3（）f xxf xxf xf x 1212 1 sin2sin()1,sin0,1,sin() 1, 2 xxxx 743 2,22,2,kz 632 或kkkk 122 61959 ,0,0,2 2,0, 530302 上有 解，舍去xxx 的可能值是 7 5 ， 选 D 【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“任意”、“存在”与方程，构建了以 集合间关系为解题

28、的“切入点”，同时考查了：函数与方程、数形结合、等价转化思想；主要考查 了学生数学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。 16、已知两两不同的 312312 ,x y x y x y满足 112233 xyxyxy ， 且 11 xy ， 22 xy ， 33 xy ， 311223 02x yx yx y ，则下列选项中恒成立的是（） . A 213 2xxx.B 213 2xxx.C 2 213 xx x.D 2 213 xx x 【思路分析】注意通过审题与理解，进行合理的转化 【解析】方法一：0,2 0, 0, 0, 22222 33 22 11 bsbca ccsycsx bb

29、sybsx aasyasx 222222222 ()2()()22()4acacacacacacb 132 , ,022a b cacbxxx 方法二：举特例去选择， 112233 4,5,2,7,1,8,xyxyxy代入 方法三：令 112233 2xyxyxya，则由已知 123 ,xa xa xa， 又由 113322 (2)(2)2(2)xaxxaxxax（*），构造函数( )(2)f xxax， （*） 即为 132 ()()2 ()f xf xf x，结合函数图像， 1313 2 ()() ()() 22 xxf xf x ff x ，又函数在(, )a递增，所以 13 2 2 x

30、x x ） 【归纳总结】本题主要考察了考学生数学数据处理与数学建模核心素养，通过换元、引入参数或根 据条件结构转化为二次函数问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大； 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17、如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,3ABBCAA （1)若P是边 11 AD的动点，求三棱锥PADC的体积；（2)求 1 AB与平面 11 ACC A所成的角的大小. 【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明 111 OBACC A 平面，找到线面角度，再计算 【解析】（1)如图 1， 111 22 32

31、 332 P ADCADC VSh ； （2）如图 2， 1111111111 ,平面Q OBAC OBOOOBACC AB AO 1 为AB与平面 11 ACC A 所成的角；在 11 Rt B AO中 11 111 1 22626 2,AB13,sin,sin AB131313 BO BOarc 图 1图 2 【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的空间立体感、 逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 18、在ABC中，已知3,2abc （1)若 2 , 3 A 求ABC的面积；（2)若2sinB sinC1,求ABC的周长. 【思路分析】（1）由已知利用余弦

32、定理即可求解bc，的值；再利用面积公式求ABC的面积 （2）根据2bc与2sinB sinC1建立关于角度的三角方程，求解sin,sinCB的值，在求sin A， 则根据正弦定理以及3a ，则三边可求 【解析】（1) 222222 (2 )313 76 7 cosA, 22 (2 )277 bcacc cb bcc c ； 22 11213 739 3 sin2sin2 () 22327214 ABC SbcAc （2） 12 2sin2sinC22sinC sinC1sin,sin 33 bcBCB 4 25 sinsin(B)sinBcosC cosBsinC 99 AC sinC4 25

33、 ,+334 25 sin3 三角形周长 a clabcac A 【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于中档题 19.已知某企业今年（2021 年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营 业额都比前一季度多0.05亿元，该企业第一季度是利润为0.16亿元，以后每一季度的利润都比前一 季度增长4%. （1）求 2021 第一季度起 20 季度的营业额总和； （2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加0.05亿元可以知道数列为一个等

34、差数列， 求解 20 季度营业收入总额为即为等差数列前 20 项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式， 利用计算器计算求解不等式即可。 【解析】（1）设 n a为第n季度的营业额， n b为利润，由题意得， n a的首项为1.1亿元， 公差为0.05亿元,所以2021 到 2025 年， 20 季度营业收入总额为： 201 20 19 2031.5 2 Sad （亿元） （2）由已知得， 1 (1)1.10.5(1) n aandn 由已知的， n b的首项为0.16亿元，公比为1.04,即 11 1 0.16 1.04 n n n bb q 所以18% nn ab，利用计算器 991

35、可得， min 26n 所以 2027 年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的18% 【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，考查了阅读理解能 力、计算能力，属于中档题 20、已知 2 2 12 :1, 2 、 x yFF是其左右焦点，( ,0)(2)P mm ,直线l过 点P交于、AB两点，且A在线段BP上. （1)若B是上顶点， 11 , uuu ruuu r BFPF求m的值； （2)若 12 1 , 3 uuu r uuu r F A F A且原点O到直线l的距离为 4 15 15 ，求直线l的方程； （3)证明：对于任意2,m 总存在唯一一条

36、直线使得 12 / / uuu ruuu r F AF B. 【思路分析】（1）根据椭圆的定义以及 11 BFPF uuu ruuu r 建立关于m的方程；（2）通过原点O到直线l 的距离建立关于直线斜率的方程，求解斜率；（3）找到直线斜率与 m 的函数关系，结合函数关系 式判断2m 是否是唯一解使得 12 / / uuu ruuu r F AF B； 【解析】（1) 2 2 1211 :1,1,02,1 2 (-1,0)、 （）， x yFFBFPFm ； 11 , 1m2,12 uuu ruuu r BFPFm （2）设 11111211 ( ,),(1,),(1,), uuu ruuu

37、r A x yF AxyF Axy； 2222 121111 14 1, 33 uuu r uuu r F A F Axyxy 22 11 2 21 1 4 , 663 (,) 33 1 2 xy A x y 设 666 :()(1) 333 l yk xkxk ，原点O到直线l的距离为 4 15 15 2 2 66 33 4 151 3103033 153 1 或 k dkkkk k （A在线段BP上， 3,舍去）k :394 60lxy （3）设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，直线: l xhym 12 / /F AF B ，则 2 1 11 11 ymm ymm ， 21

38、 1 1 m yy m 联立直线与椭圆得 2 2 1 2 xhym x y 222 2220.hymhym 即 2 1212 22 22 , 22 mhm yyy y hh 所以 2 2 11 22 1212 1, 1212 mmhmm yy mhmh 代入 1 2 (21) 2 hn y h ， 222 22 2 1(1)2 12 2 mh mm mh h 所以 2222 122mhmh ， 2222222 224m hhm hhm 0h 222 2 1 2424 24 hmhmk m ， 即对于任意 2m ，使得 12 / /F AF B 的直线有且仅有一条； 【归纳总结】本题主要考查直线

39、与椭圆的位置关系以及根与系数的关系的应用，属于难题 21、如果对任意 12 ,x x 使得 12 xxS都有 12 ()()f xf xS,则称( )f x是S关联的. （1)判断并证明( )21f xx是否是0,)关联？是否是0,1关联？ （2)( )f x是 3关联的，在0,3)上有 2 ( )2f xxx,解不等式2( )3f x ； （3)“( )f x是 3关联的，且是0,)关联”当且仅当“( )f x是1,2关联的” 【思路分析】（1）根据“关联”定义进行判断； （2）根据“( )f x是 3关联”有：(3)( )3f xf x；以及函数解析式作出函数图像，利用图 像解不等式； （

40、3）分为充分性、必要性两个方面证明； 【解析】 12121212 (1)0,),()()(21)(21)0,),xxf xf xxxxx( )21f xx是 0,)关联； 12121212 0,1,()()(21)(21)2()0,2,xxf xf xxxxx( )21f xx不是0,1关联； （2) 2 ( )3f xxxx是以 3 为周期的函数，然后就是要在2,3xx里面， 可以看出只有0,3),3,6)两个周期中可以找到解,答案是13,5 （3）充分性：(1)( )1f xf x，且( )f x递增，所以对于12xyx ( )1(1)( )(2)( )2f xf xf yf xf x 成

41、立。 必要性：(1)( )1f xf x，(2)(1)1f xf x，(2)( )2f xf x 可以得到(1)( )1f xf x 故对1xyx，我们对,1x y 用1,2关联的条件得到( )1(1)( )1f xf yf y 于是( )( )f xf y.对于正整数n，1xnyxn 则有( )()( )( )f yf ynnf xnf x.也成立. 方法二：（1）设 12 0,xx， 12 1xx且为0,， 1212 ()()21 21f xf xxx 12 =2()2xx且满足0,，( )21f xx是0,关联的. 设 12 0,1xx， 121212 ()()2121=2()0,2f

42、xf xxxxx ， 故( )21f xx不是0,1关联的. （2）因为( )f x是 3关联的，所以当任意的xR时，(3)( )3f xf x， 又0,3x时， 2 ( )2f xxx，函数图像如下图： 易知，13a ，原不等式的解为,5a即为13,5 . （3）证明：( )f x是 1关联，可知对任意的xR有(1)( )1f xf x， ( )f x是0,关联，可知对任意的 12 ,0,x x 有 12 12 0 ()()0 xx f xf x ，为不减函数； 可以设()()( )gxf xxf x ， 当1x 时，(1)(1)( )1gf xf x， 当2x 时，(2)(2)( )(1)

43、 1( )2gf xf xf xf x ， 因为当x确定时，()gx是关于x的不减函数，所以12x ，12gx ， 有( )f x是1,2关联. 当( )f x是1,2关联，有1,2x ，()()( )1,2gxf xxf x， 当(1)(1)( )1,2gf xf x，(2)(2)( )1,2gf xf x时， 假设(1)1g，有(1)( )1f xf x.(2)( ) (1) 1( )2f xf xf xf x ， 又(2)(2)( )1,2gf xf x，矛盾. 故只有(1)1g，易得(2)2g. 利用(1)( )1f xf x ，得 ( )f x是 1关联， 依次可得( )g nn，n Z， 即当,1xn n ，有(),1gxn n， 当在n 时，0,x ，0,gx. 【归纳总结】本题主要考查了新定义以及函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，同时 考查了学生分析理解能力、推理能力、计算能力，属于难题