2020年江苏省高考数学试卷（杨洋老师审校）.doc

1、2020 年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本题共本题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. . 1已知集合 1A ，0，1，2，0B ，2，3，则AB 2已知i是虚数单位，则复数(1)(2)zii的实部是 3已知一组数据 4，2a，3a，5，6 的平均数为 4，则a的值是 4将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率 是 5如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是 6在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 22 2 1(0) 5 xy a

2、 a 的一条渐近线方程为 5 2 yx， 则该双曲线的离心率是 7已知( )yf x是奇函数，当0 x时， 2 3 ( )f xx，则( 8)f 的值是 8已知 2 2 sin () 43 ，则sin2的值是 9如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边 形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 3 cm 10将函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近 的对称轴的方程是 11 设 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为q的等比数列 已知数列 nn ab的前n项 和 2 21(

3、*) n n SnnnN，则dq的值是 12已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是 13在ABC中，4AB ，3AC ，90BAC，D在边BC上，延长AD到P，使得 9AP 若 3 ()( 2 PAmPBm PC m 为常数） ，则CD的长度是 14在平面直角坐标系xOy中，已知 3 ( 2 P，0)，A、B是圆 22 1 :()36 2 C xy上的两 个动点，满足PAPB，则PAB面积的最大值是 二、解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共计共计 9090 分分. .请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字解答时应写出文字 说明

4、、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. . 15 （14 分）在三棱柱 111 ABCA BC中，ABAC， 1 BC 平面ABC，E，F分别是AC， 1 B C的中点 （1）求证：/ /EF平面 11 ABC； （2）求证：平面 1 ABC 平面 1 ABB 16（14 分） 在ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c 已知3a ，2c ，45B （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC的值 17 （14 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在 水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线(

5、O在AB上） 经测量，左侧曲线AO上 任一点D到MN的距离 1 h（米)与D到OO的距离a（米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha；右侧 曲线BO上任一点F到MN的距离 2 h（米)与F到OO的距离b（米)之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb 已知点B到OO的距离为 40 米 （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为 80 米，其中C，E在AB 上（不包括端点） 桥墩EF每米造价k（万元） ，桥墩CD每米造价 3 2 k（万元）(0)k ，问 O E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 18（16 分） 在平面直角坐标系xOy中，

6、已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 点A在椭圆E上且在第一象限内， 212 AFF F，直线 1 AF与椭圆E相交于另一点B （1）求 12 AFF的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP QP 的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记OAB与MAB的面积分别为 1 S， 2 S，若 21 3SS，求点M的 坐标 19 （16 分）已知关于x的函数( )yf x，( )yg x与( )(h xkxb k，)bR在区间D上恒 有( )( )( )f xh xg x （1）若 2 ( )2f xxx， 2 ( )2g x

7、xx ，(,)D ，求( )h x的表达式； （2）若 2 ( )1f xxx，( )lng xkx，( )h xkxk，(0,)D ，求k的取值范围； （3）若 42 ( )2f xxx， 2 ( )48g xx， 342 ( )4()32 (0 | |2)h xtt xttt，Dm， 2n ，2，求证：7nm 20 （16 分）已知数列(*) n anN的首项 1 1a ，前n项和为 n S设和k为常数，若对一 切正整数n，均有 111 11 kkk nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列 n a是“1”数列，求的值； （2）若数列 n a是“ 3 2 3 ”数列，

8、且0 n a ，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三个不同的数列 n a为“3”数列，且0 n a ？若存在， 求出的取值范围；若不存在，说明理由 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 21 （10 分）平面上的点A (2, 1)在矩阵 1 1 a M b 对应的变换作用下得到点B (3, 4) （1）求实数a，b的值； （2）求矩阵M的逆矩阵 1 M B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分

9、10 分） 22 （10 分）在极坐标系中，已知 1 (A，) 3 在直线:cos2l上，点 2 (B，) 6 在圆 :4sinC上（其中0，02 ) （1）求 1 ， 2 的值； （2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标 C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分） 23设xR，解不等式2|1| 4xx 【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24 （10 分）在三棱锥ABCD中，已知5CBCD，2BD ，O为BD的中点，AO 平面BCD，2AO ，E为AC中点 （1）求直线AB与DE所

10、成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足 1 4 BFBC，设二面角FDEC的大小为，求sin的值 25 （10 分）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两 口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 n X， 恰有 2 个黑球的概率为 n p，恰有 1 个黑球的概率为 n q （1）求 1 p， 1 q和 2 p， 2 q； （2）求2 nn pq与 11 2 nn pq 的递推关系式和 n X的数学期望() n E X（用n表示） 2020 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本题

11、共本题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. . 1已知集合 1A ，0，1，2，0B ，2，3，则AB 0，2 【思路分析】运用集合的交集运算，可得所求集合 【解析】 ：集合0B ，2，3， 1A ，0，1，2，则0AB ，2，故答案为：0， 2 【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题 2已知i是虚数单位，则复数(1)(2)zii的实部是3 【思路分析】利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可 【解析】 ：复数(1)(2)3ziii，所以复数(1)(2)zii的实部

12、是：3故答案为：3 【总结与归纳】 本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用， 是基本知识的 考查 3已知一组数据 4，2a，3a，5，6 的平均数为 4，则a的值是2 【思路分析】运用平均数的定义，解方程可得a的值 【解析】 ：一组数据 4，2a，3a，5，6 的平均数为 4， 则42(3)5645aa，解得2a 故答案为：2 【总结与归纳】本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 4将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 1 9 【思路分析】分别求得基本事件的总数和点数和为 5 的事件数，由古典概率的计算公式可

13、 得所求值 【解析】 ：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，可得基本事件的总数为6636种， 而点数和为 5 的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种， 则点数和为 5 的概率为 41 369 P 故答案为： 1 9 【总结与归纳】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题 5如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是3 【思路分析】 由已知中的程序语句可知： 该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计 算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解析】 ：由题意可得程序框图表达式为分段函数 2 ,0 1

14、,0 x x y xx ， 若输出y值为2时，由于20 x ，所以解12x ，即3x ，故答案为：3， 【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便 得出正确的结论，是基础题 6在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 22 2 1(0) 5 xy a a 的一条渐近线方程为 5 2 yx， 则该双曲线的离心率是 3 2 【思路分析】利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的离心率即可 【解析】 ： 双曲线 22 2 1(0) 5 xy a a 的一条渐近线方程为 5 2 yx， 可得 55 2a ， 所以2a ， 所以双曲线的离心率为： 453 22 c

15、e a ，故答案为： 3 2 【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7已知( )yf x是奇函数，当0 x时， 2 3 ( )f xx，则( 8)f 的值是4 【思路分析】由奇函数的定义可得()( )fxf x ，由已知可得f（8） ，进而得到( 8)f 【解析】 ：( )yf x是奇函数，可得()( )fxf x ， 当0 x时， 2 3 ( )f xx，可得f（8） 2 3 84，则( 8)ff （8）4 ，故答案为：4 【总结与归纳】 本题考查函数的奇偶性的定义和运用： 求函数值， 考查转化思想和运算能力， 属于基础题 8已知 2 2 sin () 43 ，则s

16、in2的值是 1 3 【思路分析】根据二倍角公式即可求出 【解析】 ：因为 2 2 sin () 43 ，则 2 1cos(2 ) 1sin22 2 sin () 4223 ， 解得 1 sin2 3 ，故答案为： 1 3 【总结与归纳】本题考查了二倍角公式，属于基础题 9如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边 形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是12 3 2 3 cm 【思路分析】通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果 【解析】 ：六棱柱的体积为： 1 622sin60212 3 2 ， 圆柱的体积为： 2 (0.

17、5)2 2 ，所以此六角螺帽毛坯的体积是： 3 (12 3) 2 cm ， 故答案为：12 3 2 【总结与归纳】 本题考查柱体体积公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于基本知识的考查 10将函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近 的对称轴的方程是 5 24 x 【思路分析】利用三角函数的平移可得新函数( )() 6 g xf x ，求( )g x的所有对称轴 7 242 k x ，kZ，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程， 【解析】 ：因为函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6 个单位长度可得 ( )()3sin(2

18、)3sin(2) 63412 g xf xxx ， 则( )yg x的对称轴为2 122 xk ，kZ，即 7 242 k x ，kZ， 当0k 时， 7 24 x ，当1k 时， 5 24 x ， 所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 5 24 x ，故答案为： 5 24 x ， 【总结与归纳】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题 11 设 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为q的等比数列 已知数列 nn ab的前n项 和 2 21(*) n n SnnnN，则dq的值是4 【思路分析】由 nn ab的前n项和 2 21(*) n n SnnnN，由 n a是公

19、差为d的等差数 列，设首项为 1 a；求出等差数列的前n项和的表达式； n b是公比为q的等比数列，设首项 为 1 b，讨论当q为 1 和不为 1 时的前n项和的表达式，由题意可得1q ，由对应项的系数相 等可得d，q的值，进而求出dq的值 【解析】 ：因为 nn ab的前n项和 2 21(*) n n SnnnN， 因为 n a是公差为d的等差数列，设首项为 1 a； n b是公比为q的等比数列，设首项为 1 b， 所以 n a的通项公式 1 (1) n aand，所以其前n项和 211 1 (1) () 222 n a n aanddd Snan ， 当 n b中，当公比1q 时，其前n项

20、和 1 n b Snb， 所以 nn ab的前n项和 22 11 ()21(*) 22 nn n nab dd SSSnannbnnnN，显然 没有出现2n，所以1q ， 则 n b的前n项和为 111 (1) 111 n nn b b qbqb S qqq ， 所以 2211 1 ()21(*) 2211 nn n n nab bqbdd SSSnannnnN qq ， 由两边对应项相等可得： 1 1 1 2 1 2 2 1 1 d d a q b q 解得：2d ， 1 0a ，2q ， 1 1b ， 所以4dq，故答案为：4 【总结与归纳】本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n项和求通

21、项的性质，属于中档 题 12已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是 4 5 【思路分析】方法一、由已知求得 2 x，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求 最小值； 方法二、由 222 4(5) 4xyy，运用基本不等式，计算可得所求最小值 【解析】 ：方法一、由 224 51x yy，可得 4 2 2 1 5 y x y ， 由 2 0 x ，可得 2 (0y ，1， 则 44 2222 222 11411 (4) 555 yy xyyy yyy 2 2 114 2 4 55 y y ，当且仅当 2 1 2 y ， 2 3 10 x ， 可得 22 xy的

22、最小值为 4 5 ； 方法二、 222 2222222 5425 4(5) 4()() 24 xyy xyyxy ， 故 22 4 5 xy， 当且仅当 222 542xyy，即 2 1 2 y ， 2 3 10 x 时取得等号， 可得 22 xy的最小值为 4 5 故答案为： 4 5 【总结与归纳】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于 中档题 13在ABC中，4AB ，3AC ，90BAC，D在边BC上，延长AD到P，使得 9AP 若 3 ()( 2 PAmPBm PC m 为常数） ，则CD的长度是0 或 18 5 【思路分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC

23、所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 求得B与C的坐标， 再把PA 的坐标用m表示 由9AP 列式求得m值， 然后分类求得D的 坐标，则CD的长度可求 【解析】 ：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标 系， 则(4,0)B，(0,3)C， 由 3 () 2 PAmPBm PC ，得 3 ()()() 2 PAm PAABm PAAC ， 整理得：2(23)PAmABmAC 2 (4m ，0)(23)(0m，3)( 8m ，69)m 由9AP ，得 22 64(69)81mm，解得 27 25 m 或0m 当0m 时，(0, 9)PA ，此时C与D重合，|

24、0CD ； 当 27 25 m 时，直线PA的方程为 96 8 m yx m ，直线BC的方程为1 43 xy ， 联立两直线方程可得 8 3 xm，32ym即 72 (25D， 21) 25 ， 22 722118 |()(3) 25255 CDCD的长度是 0 或 18 5 故答案为：0 或 18 5 【总结与归纳】本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关 键，是中档题 14在平面直角坐标系xOy中，已知 3 ( 2 P，0)，A、B是圆 22 1 :()36 2 C xy上的两 个动点，满足PAPB，则PAB面积的最大值是10 5 【思路分析】求得圆的圆心C和半

25、径，作PC所在直径EF，交AB于点D，运用垂径定理 和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算 可得所求最大值 【解析】 ：圆 22 1 :()36 2 C xy的圆心 1 (0, ) 2 C，半径为 6， 如图，作PC所在直径EF，交AB于点D， 因为PAPB，6CACBR，所以PCAB，EF为垂径， 要使面积 PAB S最大，则P，D位于C的两侧， 并设CDx，可得 13 1 44 PC ，故1PDx ， 2 22 36ABBDx， 可令6cosx， 2 1 | | (1) 36(16cos ) 6sin6sin18sin2 2 PAB SABPDxx

26、 ，0 2 ， 设函数( )6sin18sin2f，0 2 ， 2 ( )6cos36cos26(12coscos6)f， 由 2 ( )6(12coscos6)0f，解得 23 cos(cos0 34 舍去） ， 显然，当 2 0cos 3 ，( )0f，( )f递减；当 2 cos1 3 时，( )0f，( )f递增， 结合cos在(0,) 2 递减，故 2 cos 3 时，( )f最大，此时 2 5 sin1cos 3 ， 故 552 ( )63610 5 333 max f， 则PAB面积的最大值为10 5故答案为：10 5 【总结与归纳】本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角

27、形的面积公式的运用， 考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题 二、解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共计共计 9090 分分. .请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤. . 15 （14 分）在三棱柱 111 ABCA BC中，ABAC， 1 BC 平面ABC，E，F分别是AC， 1 B C的中点 （1）求证：/ /EF平面 11 ABC； （2）求证：平面 1 ABC 平面 1 ABB 【思路分析】 （1）证明 1 / /EFAB，然后利用直线与平面平行的判断定理证明/ /E

28、F平面 11 ABC； （2）证明 1 BCAB，结合ABAC，证明AB 平面 1 ABC，然后证明平面 1 ABC 平面 1 ABB 【解答】证明： （1）E，F分别是AC， 1 B C的中点 所以 1 / /EFAB，因为EF 平面 11 ABC， 1 AB 平面 11 ABC， 所以/ /EF平面 11 ABC； （2）因为 1 BC 平面ABC，AB 平面 1 ABB， 所以 1 BCAB， 又因为ABAC， 1 ACBCC ，AC 平面 1 ABC， 1 BC 平面 1 ABC， 所以AB 平面 1 ABC， 因为AB 平面 1 ABB， 所以平面 1 ABC 平面 1 ABB 【总

29、结与归纳】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应 用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题 16（14 分） 在ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c 已知3a ，2c ，45B （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC的值 【思路分析】 （1）由题意及余弦定理求出b边，再由正弦定理求出sinC的值； （2）三角形的内角和为180， 4 cos 5 ADC ，可得ADC为钝角，可得DAC与 ADCC 互为补角， 所以sinsin()DACADCC 展开可得sinDAC及cosDAC， 进而求出tanD

30、AC的值 【 解 析 】：（ 1 ） 因 为3a ，2c ，45B ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： 22 2 2cos922325 2 bacacB ， 由正弦定理可得 sinsin cb CB ，所以 225 sinsin45 255 c C b ， 所以 5 sin 5 C ； （2）因为 4 cos 5 ADC ，所以 2 3 sin1cos 5 ADCADC， 在三角形ADC中，易知C为锐角，由（1）可得 2 2 5 cos1sin 5 CC， 所以在三角形ADC中， 2 5 sinsin()sincoscossin 25 DACADCCADCCADCC ， 因为(0,) 2 DA

31、C ，所以 2 11 5 cos1sin 25 DACDAC， 所以 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC 【总结与归纳】 本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用， 及两角和的正弦公式的应用， 属于中档题 17 （14 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在 水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上） 经测量，左侧曲线AO上 任一点D到MN的距离 1 h（米)与D到OO的距离a（米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha；右侧 曲线BO上任一点F到MN的距离 2 h（米)与F到OO的距离b（米)之间满足关系式 3 2 1 6 8

32、00 hbb 已知点B到OO的距离为 40 米 （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为 80 米，其中C，E在AB 上（不包括端点） 桥墩EF每米造价k（万元） ，桥墩CD每米造价 3 2 k（万元）(0)k ，问 O E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 【思路分析】 （1）由题意可令40b ，求得 2 h，即O O的长，再令 1 |h OO ，求得a，可 得|ABab； （2 ）可设O Ex，则80COx ，040 x，求得总 造价 23 311 160(80) 160(6) 240800 ykxkxx，化简整理，应用导数，求得单调区间，

33、可 得最小值 【解析】 ： （1） 3 2 1 6 800 hbb ， 点B到OO的距离为 40 米，可令40b ， 可得 3 2 1 40640160 800 h ， 即为| 160O O，由题意可设 1 160h ， 由 2 1 160 40 a ，解得80a ， 则| 8040120AB 米； （2）可设O Ex，则80COx ，由 040 08080 x x ，可得040 x， 总造价为 23 311 160(80) 160(6) 240800 ykxkxx 32 (30160800) 800 k xx， 2 3 (360 )(20) 800800 kk yxxx x ，由0k ，当0

34、20 x时，0y，函数y递减； 当2040 x时，0y ，函数y递增，所以当20 x 时，y取得最小值，即总造价最低 答： （1）桥|AB长为 120 米； （2）O E为 20 米时，桥墩CD与EF的总造价最低 【总结与归纳】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能 力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题 18（16 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 点A在椭圆E上且在第一象限内， 212 AFF F，直线 1 AF与椭圆E相交于另一点B （1）求 12 AFF的周长； （2）在x轴上任

35、取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP QP 的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记OAB与MAB的面积分别为 1 S， 2 S，若 21 3SS，求点M的 坐标 【思路分析】 （1）由椭圆标准方程可知a，b，c的值，根据椭圆的定义可得 12 AFF的周长 22ac，代入计算即可 （2）由椭圆方程得 3 (1, ) 2 A，设( ,0)P t，进而由点斜式写出直线AP方程，再结合椭圆的右 准线为：4x ，得点Q为 3 4 (4,) 2 1 t t ，再由向量数量积计算最小值即可 （3） 在计算OAB与MAB的面积时，AB可以最为同底， 所以若 21 3SS， 则O到直线AB 距离

36、 1 d与M到直线AB距离 2 d， 之间的关系为 21 3dd， 根据点到直线距离公式可得 1 3 5 d ， 2 9 5 d ，所以题意可以转化为M点应为与直线AB平行且距离为 9 5 的直线与椭圆的交点，设 平行于AB的直线l为340 xym，与直线AB的距离为 9 5 ，根据两平行直线距离公式可 得，6m 或 12，然后在分两种情况算出M点的坐标即可 【解析】 ： （1）由椭圆的标准方程可知， 2 4a ， 2 3b ， 222 1cab， 所以 12 AFF的周长226ac （2）由椭圆方程得 3 (1, ) 2 A，设( ,0)P t，则直线AP方程为 3 2 () 1 yxt t

37、 ， 椭圆的右准线为： 2 4 a x c ， 所以直线AP与右准线的交点为 3 4 (4,) 2 1 t Q t ， (OP QPt ，0) (4t ， 22 3 4 0)4(2)44 2 1 t ttt t ， 当2t 时，()4 min OP QP （ 3 ） 若 21 3SS， 设O到 直 线AB距 离 1 d，M到 直 线AB距 离 2 d， 则 21 11 |3| 22 ABdABd，即 21 3dd， 3 (1, ) 2 A， 1( 1,0) F ， 可得直线AB方程为 3 (1) 4 yx， 即3430 xy， 所以 1 3 5 d ， 2 9 5 d ， 由题意得，M点应为与

38、直线AB平行且距离为 9 5 的直线与椭圆的交点， 设平行于AB的直线l为340 xym，与直线AB的距离为 9 5 ， 所以 |3|9 5916 m ，即6m 或 12， 当6m 时，直线l为3460 xy，即 3 (2) 4 yx， 联立 22 3 (2) 4 1 43 yx xy ，可得(2)(72)0 xx，即 2 0 M N x y 或 2 7 12 7 M M x y ， 所以(2,0)M或 2 ( 7 ， 12) 7 当12m 时，直线l为34120 xy，即 3 (4) 4 yx， 联立 22 3 (4) 4 1 43 yx xy ，可得 2 21 18240 4 xx，9(3

39、656)0，所以无解， 综上所述，M点坐标为(2,0)或 2 ( 7 ， 12) 7 【总结与归纳】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注 意转化思想的应用，属于中档题 19 （16 分）已知关于x的函数( )yf x，( )yg x与( )(h xkxb k，)bR在区间D上恒 有( )( )( )f xh xg x （1）若 2 ( )2f xxx， 2 ( )2g xxx ，(,)D ，求( )h x的表达式； （2）若 2 ( )1f xxx，( )lng xkx，( )h xkxk，(0,)D ，求k的取值范围； （3）若 42 ( )2f xxx， 2

40、( )48g xx， 342 ( )4()32 (0 | |2)h xtt xttt，Dm， 2n ，2，求证：7nm 【思路分析】 （1）由( )( )f xg x得0 x ，求导可得(0)(0)2fg，能推出函数( )h x的图 象为过原点，斜率为 2 的直线，进而可得( )2h xx，再进行检验即可 （2）由题可知( )( )(1)h xg xk xlnx ，设( )1xxlnx ，求导分析单调性可得， ( )10 x，那么要使的( )( ) 0h xg x，则0k；令( )( )( )p xf xh x为二次函数，则 要使得( ) 0p x ，分两种情况，当1 0 xk 时，当10k

41、时进行讨论，进而得出答案 （3）因为 42 ( )2f xxx，求导，分析( )f x单调性及图象得函数( )yf x的图象在 0 xx处 的切线为： 342 0000 (44)32yxx xxx，可推出直线( )yh x为函数( )yf x的图象在 (0 | |2)xtt处的切线进而( )( )f xh x在区间D上恒成立；在分析( )( )0g xh x，设 2342 44()3280 xtt xtt，两根为 1 x， 2 x，由韦达定理可得 12 xx， 12 x x，所以 642 12 |538nmxxttt，再求最值即可得出结论 【解析】 ： （1）由( )( )f xg x得0 x

42、 ， 又( )22fxx，( )22g xx ，所以(0)(0)2fg， 所以，函数( )h x的图象为过原点，斜率为 2 的直线，所以( )2h xx， 经检验：( )2h xx，符合任意， （2）( )( )(1ln )h xg xk xx ， 设( )1lnxxx ，设 11 ( )1 x x xx ， 在(1,)上，( )0 x，( )x单调递增， 在(0,1)上，( )0 x，( )x单调递减， 所以 ( )10 x， 所以当( )( ) 0h xg x时，0k， 令( )( )( )p xf xh x 所以 22 ( )1()(1)(1) 0p xxxkxkxkxk ，得， 当1

43、0 xk 时，即1k时，( )f x在(0,)上单调递增， 所以( )(0)10p xpk ，1k，所以1k ， 当10k 时，即1k 时，0，即 2 (1)4(1) 0kk ， 解得13k ，综上，0k，3 （3）因为 42 ( )2f xxx，所以 3 ( )444 (1)(1)fxxxx xx， x2 (2， 1) 1 ( 1,0)0(0,1)1(1, 2) 2 ( )fx 0 0 0 ( )f x0 1 0 1 0 所以函数( )yf x的图象在 0 xx处的切线为： 343342 000000000 (44)()(2)(44)32yxxxxxxxx xxx， 可见直线( )yh x为

44、函数( )yf x的图象在(0 | |2)xtt处的切线 由函数( )yf x的图象可知，当( )( )f xh x在区间D上恒成立时，| | 1t ，2， 又由( )( )0g xh x，得 2342 44()3280 xtt xtt， 设方程( )( )0g xh x的两根为 1 x， 2 x，则 3 12 xxtt， 42 12 328 4 tt x x ， 所以 23242642 121212 |()4()(328)538xxxxx xttttttt， 2 t，则1，2，由图象可知， 32 12 |538nmxx， 设 32 ( )538 ，则 2 ( )3103(3)(31) ， 所

45、以当1，2时，( )0 ，( ) 单调递减， 所以( )max （1）7， 故 12 ()|7 maxmax nmxx，即7nm 【总结与归纳】本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意 数形结合思想的应用，属于中档题 20 （16 分）已知数列(*) n anN的首项 1 1a ，前n项和为 n S设和k为常数，若对一 切正整数n，均有 111 11 kkk nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列 n a是“1”数列，求的值； （2）若数列 n a是“ 3 2 3 ”数列，且0 n a ，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三

46、个不同的数列 n a为“3”数列，且0 n a ？若存在， 求出的取值范围；若不存在，说明理由 【思路分析】 （1）由“1”数列可得1k ，结合数列的递推式，以及等差数列的定义， 可得的值； （2）运用“ 3 2 3 ”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通 项公式； （3）若存在三个不同的数列 n a为“3”数列，则 111 333 11nnn SSa ，由两边立方，结 合数列的递推式，以及t的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在， 并可得取值范围 【解析】 ： （1）1k 时， 111nnnn aSSa ，由n为任意正整数，且 1 1a ，0 n a

47、，可 得1； （2） 11 3 3 nnn SSa ， 则 111111 3 () ()() 3 nnnnnnnnnn aSSSSSSaSS ， 因此 11 3 nnn SSa ，即 11 2 3 3 nn Sa ， 111 44 () 33 nnnn SaSS ， 从而 1 4 nn SS ，又 11 1Sa，可得 1 4n n S ， 2 1 3 4n nnn aSS ，2n， 综上可得 2 1,1 3 4,2 nn n a n ，*nN； （3）若存在三个不同的数列 n a为“3”数列， 则 111 333 11nnn SSa ， 则 2112 33 3333 11111 33() nn

48、nnnnnnn SSSSSSaSS ， 由 1 1a ，0 n a ，且0 n S ，令 1 13 ()0 n n n S p S ， 则 3323 (1)33(1)0 nnn ppp， 1时， 2 nn pp， 由0 n p ，可得1 n p ，则 1nn SS ，即 1 0 n a ， 此时 n a唯一，不存在三个不同的数列 n a， 1时，令 3 3 1 t ，则 32 10 nnn ptptp ，则 2 (1)(1)10 nnn ppt p， 1t时， 2 (1)10 nn pt p ，则1 n p ，同上分析不存在三个不同的数列 n a； 13t 时， 2 (1)40t， 2 (1)

49、10 nn pt p 无解， 则1 n p ，同上分析不存在三个不同的数列 n a； 3t 时， 3 (1)0 n p ，则1 n p ，同上分析不存在三个不同的数列 n a 3t 时，即01时， 2 (1)40t， 2 (1)10 nn pt p 有两解， 设，12t ，10 ，则01 ， 则 对 任 意*nN， 1 1 n n S S 或 31n n S S 或 31n n S S ， 此 时1 n S ， 3 1,1 ,2 n n S n ， 3 1,1,2 ,3 n n S n 均符合条件 对应 1,1 0,2 n n a n ， 3 1,1 1,2 0,3 n n an n ， 3

50、1,1 1,3 0,2,4 n n an nn ， 则存在三个不同的数列 n a为“3”数列，且0 n a ， 综上可得01 【总结与归纳】 本题考查数列的新定义的理解和运用， 考查等差数列和等比数列的通项公式 的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是 一道难题 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 21 （10 分）平面上的点A (2, 1)在矩阵 1 1 a M b 对应的变换