高三复习讲义之初等函数.pdf

1、高三复习讲义专题：初等函数 本专题复习到初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦 函数、正切函数、以及由上述函数经过有限次四则运算得到的函数）和一类特殊函数数列的一些知识点. 一、 一次函数/二次函数/反比例函数： 题 1、 二次函数( )f x满足12()( ),f xf xx且01( )f. （1） 求( )f x解析式；（2） 若对 12 ,xRx xR， 都有 12 2 ( ) xx f xf，比较 12 xx与1大小； （3）函数( )f x在2 , xm上的值域是 3 3 4 ,，求m的范围. 题 2、已知 2 ( )1f xxax=+.

2、（1）若( )yf x=值域为0,)+，求a的范围； （2）( )f x在区间0,2上最大值 为1,求a的范围； （3）( )0f x 在2,3上有解，求a的范围； （4）( )0f x 在2,3上恒成立，求a的范围. 二、 幂函数： 题 3、已知一个幂函数为 23 ( )(1) m f xmmx =，另一个幂函数( )g x的图像过点(2,2)，求(1)(2)fg+的值. 三、 指数函数 1、 指数运算 题 4、计算( ) 1 11 1 2 0 11 623 0.250.2534 34 1673 2342 8(0.0081)381310 0.027 . 4988 + 2、 指数函数： 题 5

3、、已知函数 2 ( )2 (0,1) x f xaa aa =的图像恒过定点 0 1 , 3 x ，函数1 2 2 () x c yc恒过定点 11 (,)x y，又指 数函数 2 ( )(33) x g xmmm=+，求 011 axxym+的值. 题 6、求 11 1 42 xx y值域；求 11 1 42 xx ya在3 0, x上最大值；如果函数 2 2101(,) xx yaaaa在区间1 1, 上的最大值是 14，求a的值. 题 7、若方程21| x a有两个不同的解，求a的范围；讨论方程 11 22 | | x a解的情况. 题 8、已知实数, a b满足等式 11 23 ab

4、，判断, a b的大小关系；已知 212 333 222 335 ,abc，比较, ,a b c的大小. 题 9、求函数 2 34 1 ( ) 2 xx f x + = 的值域和单调减区间；求函数 1 ( ) 1 x x e f x e = + 奇偶性和单调性. 四、 对数函数 1、 对数定义：如果00(,) b aN aa，则定义b为以a为底N的对数，符号记为logabN. 2、 对数运算公式（以下公式都是使公式有意义的） ： logaN aN；10loga；1logaa；loglog n m a a m bb n ； (log) (log)log aba bcc；log ()loglog

5、aaa MNMN；logloglog aaa M MN N ；loglog n aa MnM； log log log x a x N N a . 题 10、计算： （1） 9 62 42 7 25502500237 lnln log ln lglglg lg(lg ); （2） 1 2 302 3948 1 22335391 3 lg lg logloglogloglglg. 题 11、已知 147 145log, b a那么 3528 log用, a b可如何表示？ 3、 对数函数： 题 12、画函数 1 ( )lg |1| f x x = + 草图. 已知函数 | |( 0,1) x y

6、aaa值域为1,)，画log | a yx草图. 题 13、已知函数( ) |lg|,f xx=若0ab且有( )( )f af b=，求2ab+的范围. 题 14、不等式logaxx在 1 0, 4 恒成立，求a范围；方程logaxx=在 1 0, 4 上有解，求a范围. 题 15、解不等式() 2 13 3 log32log 6xx+ . 题 16、比较, ,a b c大小： 1 2 5 ln ,log 2,;abce = 若1,01,abc 则下面命题正确的是_:. cc Aab. cc Babba; .loglog ba Cacbc;.loglog ab Dcc. 题 17、已知函数

7、22 1 2 ( )log(1)(1)1f xmxmx=+ .（1）( )f x的定义域为 R，求m范围； （2）若0m=， 求( )f x单调增区间； （3）( )f x的值域为 R，求m范围； （4）若( )f x在 1,) +上有意义，求m范围； （5）( )f x 的定义域为 3 3 , 4 2 ，求m范围. 五、 三角函数 1、任意角：角的概念的推广角是一条射线绕其端点旋转形成的图形. 按旋转方向不同分为_、_、 _.按终边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终 边落在第几象限，则称为第几象限角终边与角相同的角的集合为_. 2、 角的度量： 弧

8、度制1 弧度的角： _叫做 1 弧度的角弧度与角度的换算： _. 3、扇形弧长公式和面积公式：半径为r、圆心角为rad的扇形弧长是_,面积是_. 题 1、已知角是第三象限的角，判断 3 所在的象限. 题 2、已知角的终边在直线0 xy上，所有构成集合,A集合 24 |, k Bx xkZ ，判断,A B关系. 题 3、已知扇形OAB的半径为r，周长为C，求扇形面积的最大值及此时的圆心角弧度数. 4、任意角的三角函数定义 单位圆定义_ 终边点定义_ 三角函数值的正负_诱导公式： _. 题 4、已知角的终边与单位圆的交点为 10 3 10 , 1010 P ，求sincos. 题 5、已知角的终边

9、经过点()6, 8P，求2sincos. 题 6、已知角的终边经过点() 6 ,8 (0)Pttt 求sincos. 题 7、求（1）cos210； （2） 17 sin() 6 ； （3）sin()1050； （4）sin()10020. 题 8、化简： 3 sin(2)cos(3)cos() 2 sin()sin(3)cos() + . sin()sin(3)sin()sin(2 ) sin(4)sin(5) + + 题 9、已知 2 43 sin, 求 4 cos. 已知 1 33 sin, 求 5 6 cos. 已知 2 63 cos, 求 5 6 cos. 5、三角函数图像与性质 （

10、1）正弦函数（sinyx=） 、余弦函数（cosyx=） 、正切函数（tanyx=）图像及性质 sinyx= cosyx= tanyx= 图像 函 数 性 质 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称性 （2）三角型函数：( )sin()f xAx；=+( )cos()f xAx；=+( )tan().f xAx=+ 题 10、已知函数 222 2 322 26 ( )cossincoscossinsinf xxxxxxx . （1）化简函数( )f x解析式并求( )f x的周期、单调减区间和对称性. （2）用描点法画出( )f x在一个周期内的简图，并写出把cosyx的图像变换得到

11、( )f x图像的过程. （3）将( )f x图像上的所有点向左平移0() 个单位长度得到偶函数，求 min. （4） 将( )f x图像上的所有点向左平移0() 个单位长度得到的函数图像的一个对称中心为 5 0 12 , ， 求 min. （5）求函数( )f x在0 2 , 上的值域和单调性. （6）求函数23( )yf x的定义域. （7）( )f x在0 , 上的值域是 3 3 2 ,，求范围. （8）讨论方程210( )f xm在0 2 , 上根的情况. （9）若函数0 12 ()yfx 在 4 3 , 是单调递增的，求范围. （10）若函数0 12 ()yfx 在0,恰有 50 次

12、最大值，求范围. 题 11、已知函数(),(),sin00 0 2 yAxn A的最大值为 4，最小值为 0，周期为 2 ， 直线 3 x是图像上的一条对称轴，求函数解析式. 题 12、已知函数( )tan()(0,|) 2 f xAx 部分图像如右，求( )f x解析式. 6、三角恒等变形 (1)(1)、()_;()_;()_;()_;()_;()_; (2)(2)、辅辅助助角角公公式式:_;:_; (3)(3)、二二倍倍角角公公式式:_;_:_;_;_;_;_; cossintan sincos sin2cos2tan2 axbx (4)(4)、半半角角公公式式:_;_;_:_;_;_._

13、.sincostan 222 题型一：sin ,cos ,tan知一求二. 题 13、若 3 cos 5 ，求sin ,tan . 题 14、已知tan5，求值： 22 sincos (1);(2)sinsincos3cos. 2sincos 题型二： sin sincos ,sincos ,sincos , cos 知一求三. 题 15、已知 1 sincos,(0, ), 5 求 22 sincos的值. 题型三：给角求值. 题 16、已知15，求sin ,cos ,tan. 题 17、求值： 2 3sin703tan15 (1);(2);(3)tan23tan373 tan23 tan3

14、7 . 2cos 1013 tan15 o o 题 18、求值： 2 2sin50sin10 (13 tan10 )2sin 80 . oo 题型四：给值求角. 题 19、 510 sinsin 510 A BABAB已知 , 均为钝角且,求. 题型五：三角函数综合题. 题 20、函数 2 ( )2sin ()3cos2 ,. 442 f xxx x（1）求( )f x的值域； （2）若不等式|( )|2f xm在, 4 2 x上恒成立，求实数m的取值范围. 六、 数列：一类特殊的函数 1、数列相关概念（1）定义：按照一定次序排列的一列数叫做数列.（2）数列的每一项与该项序号之间有紧密联系，

15、故数列可以表示为： 12 , n a aa，也可简写为 n a，其中 1 a称为首项， n a是数列的第n项，也叫数列的通项. （3）项数有限的数列称有穷数列，反之称无穷数列.（4）数列 n a可以看作是从正整数集N到另一个数集B的 函数.（5）如果数列 n a中的每一项与该项序号n之间的关系可以用一个式子表示成( ) n af n，那么这个式子叫 这个数列的通项公式通项公式.（6）一个数列 n a，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即 1nn aa，那么这 个数列叫递增数列；如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即 1nn aa，那么这个数列叫递减数列；如 果数列 n a的各项都

16、相等，称这个数列为常数列；如果数列 n a的各项大小不定，称为摆动数列. 题 1、写出下列数列的通项公式：3,5,7,9,11, 1 3 7 15 , 2 4 8 16 2,2,2,2,2,2, , , , , , ,a b a b a b 2,22,222,2222, 31 31 1 1, 23 45 2 题 2、已知数列 n a的通项 * * ,(),() 2 n anknnN且 n a是单调递增数列，则k的取值范围. 题 3、已知数列 n a的通项=()()(),=()()(), * 10 1 11 n n annN则该数列 n a有没有最大项？如果有求出最大项 练习：已知 k a是数列

17、()()()() 2 4 3 n n an n的的最大项，求k的值. 2、两个特殊数列模型：等差数列和等比数列 （1）等差数列定义：_;等差中项：_; 通项公 式：_前n项求和公式：_. (2)等差数列的判定：定义法；通项公式法：数列 n a中，任意 * nN有_,则此数列是等 差数列；等差中项法：数列 n a中，任意 * nN有_则此数列是等差数列；求和 公式法：数列 n a的前n项和_,则此数列是等差数列。 (3)等差数列项的性质：_;等差数列前n项和公式的性质 _. 题 4、已知数列 n a中， 1 3 5 a =， 1 1 2(2) n n an a =，数列 n b满足 1 1 n

18、n b a = ，(1)求证 n b是等差数列；(2) 求 n a通项公式；(3) 求 n a中的最大项和最小项. 练习：数列 n a中， * 21 5 lg() 3 n n anN，该数列是否为等差数列？ 数列 n a中， 2 11 1,(1)22 nn ananann，判断数列 n a n 是否为等差数列并求 n a通项公式. 题 5、等差数列基本量计算：在等差数列 n a中： 1 105994,7, n aad=，求 n S； 1 37,629 3 n ndS=，求 1 . n aa、 =, nm am an=， 求 m n a + . 53 655,SS求 4. a ,(), nm S

19、m Sn nm=求. n m S + 510 30,100,SS=求 15. S （4）等比数列定义：_;等比中项：_; 通项公 式：_前n项求和公式：_. (5)等比数列的判定：定义法；等比中项法：数列 n a中，任意 * nN有_则此数 列是等比数列； （6）公比不为 1 的等比数列 n a的前n项和形式：_. (7)等比数列项的性质：_;等比数列前n项和公式的性质_. 题 6、等比数列 n a中， 3 12,a前 3 项和 3 9,S求公比. q 1346 5 10, 4 aaaa求 5. S 题 7、已知 n a是等比数列，前n项和是2, n n Sr求. r 练习：已知 n a是等比

20、数列，前n项和是 2 2, n n Sr求. r 3 3、 数列递推公式：如果已知数列 n a的第 1 项（或前几项）且从第 2 项（或某一项）开始的任一项 n a与它 的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫此数列的递推公式. 专题总结：由数列的递推公式求通项公式 第一类：已知相邻两项关系式的，包括相邻两项加减乘除的和相邻两项的代数式的. （1）相邻两项加减乘除的，方法如下：相邻两项减，用累加法；相邻两项除，用累乘法；相邻两项加 和乘的用奇偶项分析法. 题 8、我们把 3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可 以排成一个正三角形，如右图所示，则第 1

21、00 个三角形数是_ 题 9、已知数列 n a中， 11 2,(2)(1)0, nn anana求数列 n a的通项公式. 题 10、已知数列 21 ,2,3 . nnn aaaan求 24681012 aaaaaa的值. 求 n a的通项公式. （2）相邻两项代数式的，方法如下： （1）直接构造 题 11、在数列 n a中 1 1 11 22 11 , nn a aa + = 求 n a的通项公式. （2）同除构造 题 12、在数列 n a中， 2 11 4,(1)22 , nn ananann求 n a的通项公式. （3）加常量构造 题 13、在数列 n a中， 11 1,31, nn a

22、aa求 n a的通项公式. （4）加变量构造 题 14、在数列 n a中， 11 1,32 , nn aaan求 n a的通项公式. （5）求倒数构造 题 15、在数列 n a中， 1 1,a 1 2 21 , n n n a a a + = + 求 n a的通项公式. （6）求对数构造 题 16、在数列 n a中 ， 2 11 93, nn aaa + =求 n a的通项公式. 第二类：已知相邻三项关系式的，方法有利用中项公式法；加项构造. 第三类：已知前n项关系式 n S的，方法是： 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn . 题 17、数列 n a满足 21 123 333, 3 n n n aaaa求数列的通项公式. 4、 求数列的前n项和 （1）公式法； （2）分组求和法； （3）错位相减法； （4）裂项相消法. 题 18、已知数列的前 n 项和为，且（1）求数列的通项公式； 2若，设数列的前 n 项和为，证明： 3 . 4 n T 题 19、设等差数列的前 n 项和为，若，（1）求数列的通项公式；设 ，若的前 n 项和为，证明： 1 . 2 n T 题 20、 已知数列满足：，（1） 求数列的通项公式；（2） 设， 求数列的前 n 项和的取值范围