第十二讲 牛吃草问题精英班学生版.doc

1、没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十二讲学生版Page 1 of 5 第十二讲第十二讲牛吃草问题牛吃草问题（一）（一） 知识说明知识说明 英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题 目目，后来人们就把这类题目称为后来人们就把这类题目称为“牛顿问题牛顿问题” ，也就是我们今天要学的牛吃草问题也就是我们今天要学的牛吃草问题。牛吃草问题实际上是牛吃草问题实际上是 在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思

2、想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲 解解“牛吃草牛吃草”为的是让大家能把这块知识学透。为的是让大家能把这块知识学透。 “牛顿问题牛顿问题”是这样的是这样的： “有一牧场，已知养牛有一牧场，已知养牛 27 头，头，6 天把草吃尽；养牛天把草吃尽；养牛 23 头，头，9 天把草吃尽。天把草吃尽。 如果养牛如果养牛 21 头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 ”分析本题就给了牛分析本题就给了牛 的头数的头数，和吃草的

3、时间和吃草的时间。设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了， 所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。来求这两个量。 同一片牧场中的牛吃草问题同一片牧场中的牛吃草问题，一般的解法一般的解法可总结为可总结为： 1、草的生长速度草的生长速度（对应牛的头数对应牛的头数较多天数较多天数对应牛的头数对应牛的头数较少天数较少天数）（较多天数较多天数较少天数较少天数） 2、原来的草量原来的草量对应牛的头数对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数草的生长速

4、度吃的天数吃的天数 3、吃的吃的时间时间原来的草量原来的草量（牛的头数草的生长速度）（牛的头数草的生长速度） 4、牛的头数原来的草量牛的头数原来的草量吃的天吃的天数数的生长速度的生长速度 关于关于牛吃草牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及，行程中的追及 问题问题等等等等，所以，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解 题。才能做到举一反三。题。才能做到举一反三。 专题精讲专

5、题精讲 I.有牛的牛吃草问题有牛的牛吃草问题 思路思路：牛吃草关键是要求两个量牛吃草关键是要求两个量： （1）草的生长速度（）草的生长速度（2）原有草量）原有草量 想挑战吗？ 有一块有一块 1200 平方米的牧场平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供这块牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天，或可供天，或可供 15 头牛吃头牛吃 10 天，另有一块天，另有一块 3600 平方米的牧场，每平方平方米的牧场，每平方 米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供 75 头牛吃多少天？头牛吃多少天？ 没有一定

6、的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十二讲学生版Page 2 of 5 【例【例 1】 牧场上长满牧草牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长每天牧草都匀速生长。这片牧场可供这片牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天天，可供可供 15 头牛吃头牛吃 10 天天。 供供 25 头牛可吃几天？头牛可吃几天？ 【例【例 2 2】 （三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生不仅不生长，反而以固定的速度在减长，反而以固定的速度在减 少少. .已知某块草地上的已知某块草地上的草草可可供供 20

7、20 头头牛牛吃吃 5 5 天天， 或或可供可供 1515 头牛吃头牛吃 6 6 天天. .照此计照此计算算， 可以供多少头牛吃可以供多少头牛吃 1010 天天? ? 【例【例 3 3】 （实验中学阶段测试（实验中学阶段测试）有一牧场有一牧场，1717 头牛头牛 3030 天可将草吃完天可将草吃完1919 头牛则头牛则 2424 天可以吃完天可以吃完现有若现有若 干头干头牛吃了牛吃了 6 6 天后天后， 卖掉了卖掉了 4 4 头牛头牛， 余下余下牛牛再吃两天便将草吃完再吃两天便将草吃完 问问： 原来有多原来有多少少头牛头牛吃草吃草( (草草均匀均匀生生长长)?)? 【例【例 4 4】 （三帆中

8、学阶段测试）（三帆中学阶段测试）一块匀速生长的草地，可供一块匀速生长的草地，可供 1616 头牛吃头牛吃 2020 天或天或者者供供 100100 只羊吃只羊吃 1212 天天. .如如 果一头牛一天吃草量等于果一头牛一天吃草量等于 5 5 只羊一天的吃草只羊一天的吃草量量，那那么这块草地可供么这块草地可供 lOlO 头牛和头牛和 7575 只羊只羊一一起起吃多吃多少天少天? ? 【例【例 5】 东升牧场南面一块东升牧场南面一块 2000 平方米的牧场上长满牧草平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供这片牧场可供 18 头头 牛吃牛吃 16 天天，或者供或

9、者供 27 头牛吃头牛吃 8 天天。在在东升牧场的西侧有一块东升牧场的西侧有一块 6000 平方米的牧场平方米的牧场，6 天中可供多少头牛天中可供多少头牛 吃草吃草？ II. 牛吃草的变例牛吃草的变例 思路思路：关键是找到题中关键是找到题中“牛牛”和和“草草”分别是什么？分别是什么？ 【例【例 6】 画展画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如 果开果开 3 个入场口个入场口，9 点点 9 分就不再有人排队分就不再有人排队；如果开如果开 5 个入场口个入场口，9 点点 5

10、分就没有人排队分就没有人排队。求第一个观众求第一个观众 到达的时间？到达的时间？ 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十二讲学生版Page 3 of 5 【例【例 7 7】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 3 人淘人淘水水 4040 分钟可以淘完分钟可以淘完； 6 6 人淘水人淘水 1616 分钟可以把水淘完，那么，分钟可以把水淘完，那么，5 5 人淘水几分钟人淘水几分钟可以把水淘完可以把水淘完? ? 【例【例 8 8】 （三帆中学阶段测试）（

11、三帆中学阶段测试）自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子从扶梯上楼自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子从扶梯上楼. . 已知男孩每分钟走已知男孩每分钟走 2020 级阶梯，女孩每分钟走级阶梯，女孩每分钟走 1515 级阶梯，结果男孩用了级阶梯，结果男孩用了 5 5 分钟到达楼上，女孩用了分钟到达楼上，女孩用了 6 6 分分 钟到达楼上钟到达楼上. .问：该扶梯共有多少级问：该扶梯共有多少级? ?如果想如果想 3 3 分钟爬上楼应该每分钟走多少级？分钟爬上楼应该每分钟走多少级？ 【例【例 9 9】 小明从甲地步行去乙地小明从甲地步行去乙地， 出发一段时间后出发一段时间后

12、，小亮有事去追赶他小亮有事去追赶他， 若骑自行车若骑自行车， 每小时行每小时行 1515 千米千米， 3 3 小时可以追上小时可以追上；若骑摩托车若骑摩托车，每小时行每小时行 3535 千米千米，1 1 小时可以追上小时可以追上；若开汽车若开汽车，每小时行每小时行 4545 千米千米，多长多长 时间可以追上小明？时间可以追上小明？ 【例【例 1010】（三帆中学阶段测试（三帆中学阶段测试）经测算经测算，地球上的资源地球上的资源可供可供 100100 亿人亿人生活生活 100100 年年，或可供或可供 8080 亿人生亿人生 话话 300300 年年. .假设地球新生的资源增长的速度是一定的假设

13、地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少地球最多能养活多少 人人? ? 专题展望专题展望 欲知更多欲知更多“牛吃草问题牛吃草问题”的拓展和变例，请关注我们的下一讲牛吃草（二）的拓展和变例，请关注我们的下一讲牛吃草（二） 练习十二练习十二 1.1.有一块草地，若放养有一块草地，若放养 15 头牛，头牛，60 天刚好将草全部吃完，若放养天刚好将草全部吃完，若放养 35 头牛，则头牛，则 20 天刚好将草全部吃天刚好将草全部吃 完完。那么若放养那么若放养 45 头牛头牛。 多少天刚好将草吃完？多少天刚好将草吃完？（草地上每天生长的草量相同

14、草地上每天生长的草量相同，每头牛每天吃草量相同每头牛每天吃草量相同） 2.2.一一片青草，每天生长的速度相同，如果片青草，每天生长的速度相同，如果 2424 头牛头牛 6 6 天可把草吃完，或者天可把草吃完，或者 2020 头牛头牛 1010 天可以把草吃光天可以把草吃光. . 那么多少头牛那么多少头牛 1212 天可以把草吃尽天可以把草吃尽? ? 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十二讲学生版Page 4 of 5 3.3.（三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不

15、生不仅不生长，反而以固定的速度在减少长，反而以固定的速度在减少. . 已知某块草地上的已知某块草地上的草草可可供供 4040 头头牛牛吃吃 5 5 天天，或或可供可供 3030 头牛吃头牛吃 6 6 天天. .照此计照此计算，算，可以供多少头牛吃可以供多少头牛吃 1010 天天? ? 4.东升牧场南面一块东升牧场南面一块 15 公顷公顷的牧场上长满牧草的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供这片牧场可供 12 头牛吃头牛吃 25 天天，或者供或者供 24 头牛吃头牛吃 10 天。天。在在东升牧场的西侧有一块东升牧场的西侧有一块 60 公顷公顷的牧场的牧场，20

16、天中可供多少头牛吃草天中可供多少头牛吃草？ 5.5.（三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些 水，现在要派人将水淘出船外，如果派水，现在要派人将水淘出船外，如果派 1010 个人需要个人需要 4 4 小时淘完；如果派小时淘完；如果派 8 8 个人需要个人需要 6 6 小时淘完小时淘完. .若要求若要求 用用 2 2 小时淘完，需要派多少人小时淘完，需要派多少人? ? 6.甲甲、乙乙、丙三个仓库丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮

17、带输送机和甲仓库用一台皮带输送机和 12 个工人个工人，5 小时可小时可 将甲仓库内面粉搬完将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和乙仓库用一台皮带输送机和 28 个工人个工人，3 小时可将仓库内面粉搬完小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现丙仓库现有有 2 台皮带输送机，如果要用台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效 相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉） 数学知识

18、数学知识 合理分鱼合理分鱼 一个山清水秀的村子里有三个好朋友一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明小明、小刚和小强小刚和小强，他们常在一起合伙打鱼他们常在一起合伙打鱼。一次一次，他们忙他们忙 碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家 里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也 醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走

19、了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚 上哪去了？这么晚了上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去我得回家劈柴去。于是于是，他又把鱼分成三份他又把鱼分成三份，自己拿走一份自己拿走一份。最后还剩下最后还剩下 8 条鱼条鱼。 第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的 8 条鱼给小刚条鱼给小刚 3 条，小条，小 强强 5 条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？ 分析分析：这个问

20、题直接从文字上分析有一定难度这个问题直接从文字上分析有一定难度，为了帮助我们理解题意为了帮助我们理解题意，启发解题思路启发解题思路，可以根据题意可以根据题意， 由于最后剩的由于最后剩的 8 条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是 8 82 24 4 条。那么小刚拿走自己分的条。那么小刚拿走自己分的 一份鱼后剩下的鱼是一份鱼后剩下的鱼是 82 231212 条条，这占小刚分的三份中的两份这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是所以小刚拿走的鱼是 1226 6；同同 样可得知小明拿走的鱼是样可得知小明拿走的鱼是6329 9 条。所以打的鱼一共是条。所以打的鱼一共是 9327（条（条） 。 当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是 8 一条和第二天又拿了一条和第二天又拿了 5 条知道，每人平均拿了条知道，每人平均拿了 825 条，所以打的鱼一共是（条，所以打的鱼一共是（825）327（条（条） 。 小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十二讲学生版Page 5 of 5