第九讲 抽屉原理 基础班学生版.doc

1、没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第九讲学生版Page 1 of 5 第九讲第九讲抽屉原理抽屉原理 知识说明知识说明 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论 中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解 决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来

2、相当复杂，甚至无从下手的问决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问 题题，在利用抽屉原则后在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决能很快使问题得到解决.在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以 填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。那么，那么，这一讲我就来巩固这一讲我就来巩固 学习学习抽屉原则抽屉原则以及它的典型应用。以及它的典型应用。 抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。抽屉原理推广到一

3、般情形有以下两种表现形式。 抽屉原理抽屉原理 1：将多于：将多于 n 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。件。 例：有例：有 5 只鸽子飞进只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽子。只鸽子。 抽屉原理抽屉原理 2：将多于：将多于 mn 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于于 m+1。 例例：如果将如果将 13 只鸽子放进只鸽子放进 6 只鸽笼

4、里只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放那么至少有一只笼子要放 3 只或更多的鸽子只或更多的鸽子。道理很简道理很简 单。如果每只鸽笼里只放单。如果每只鸽笼里只放 2 只鸽子，只鸽子，6 只鸽笼共放只鸽笼共放 12 只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪 只鸽笼里，总有一只鸽笼放了只鸽笼里，总有一只鸽笼放了 3 只鸽子。只鸽子。 专题精讲专题精讲 、抽屉原理的典型应用、抽屉原理的典型应用 解题思路：解题思路：做抽屉问题关键是确定做抽屉问题关键是确定 “抽屉抽屉”和和“苹果苹果” ，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者 为为“苹果苹果”

5、 ，数量较少者为数量较少者为“抽屉抽屉” 。苹果苹果抽屉商抽屉商余数余数，得到的结论为得到的结论为：至少有一个至少有一个 抽屉里有（商抽屉里有（商1 1）个苹果。）个苹果。 想挑战吗？ 用红用红、 蓝两种颜色将一个蓝两种颜色将一个 2 25 5 方格图中的小方格随意涂方格图中的小方格随意涂 色色（见右图见右图），每个小方格涂一种颜色每个小方格涂一种颜色。是否存在两列是否存在两列， 它们的小方格中涂的颜色完全相同？它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第九讲学生版Page 2 of 5 【例【例 1】 （

6、）下面的题看看谁解释的最清楚：）下面的题看看谁解释的最清楚： （1）奥数网对所有五年级的同学进行出生年份统计奥数网对所有五年级的同学进行出生年份统计，发现有发现有 367 名名 1996 年出生的同学年出生的同学，试说明试说明： 这些同学中至少有这些同学中至少有 2 名同学是在同一天出生的。名同学是在同一天出生的。 （2）某班某班 32 名名同学同学是在是在 5 月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？ 【例【例 2】 （） （1）证明：任意）证明：任意 28 个人中，至少有个人中，至少有 3 个人的属相相同个人的属相相同。 （2）要想保

7、证至少）要想保证至少 4 个人个人 的属相相同，至少有几个人？的属相相同，至少有几个人？ 、最不利原则、最不利原则 解题思路解题思路：有些题目中没有明显的有些题目中没有明显的“苹果苹果”与与“抽屉抽屉” ，在解决问题时在解决问题时，需要要从问题的最差状态着手需要要从问题的最差状态着手， 才能满足题目的要求。才能满足题目的要求。 【例【例 3 3】 （）一副扑克牌，共一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证 （1 1）至少有）至少有 5 张牌的花色相同；（张牌的花色相同；（2 2）四种花色的牌都有；（）四种花色的牌都有；（3 3）至少有）至少

8、有 3 张牌是红桃。张牌是红桃。 【例【例 4 4】 （）把把 125125 本书分给五（本书分给五（2 2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少 4 4 本书，那么本书，那么， 这个班最多有多少人？这个班最多有多少人？ 【例【例 5 5】 （）有一个布袋中有有一个布袋中有 4040 个相同的小球个相同的小球，其中编上号码其中编上号码 1 1、2 2、3 3、4 4 的各有的各有 1010 个个，问问：一一 次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有 3 3 个小球的号码相同？个小球的号码相同？ 没有一定的目标

9、，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第九讲学生版Page 3 of 5 【例【例 6 6】 （）要把要把 6161 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中每个盒子最多可以装个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中每个盒子最多可以装 5 5 个乒乓球，问个乒乓球，问： 至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？ 、构造抽屉解决问题、构造抽屉解决问题 解题思路解题思路：有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图 形计数的知识构造

10、出抽屉来解决问题形计数的知识构造出抽屉来解决问题，这是一类比较综合性的问题这是一类比较综合性的问题，需要大家细心的来构造需要大家细心的来构造 抽屉。抽屉。 【例【例 7 7】 证明：证明：在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除整除。 【例【例 8 8】 （）新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给 人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五

11、色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有 3 3 个个 人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有几人？人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有几人？ 【例【例 9 9】 （）在长度是在长度是 10 厘米的线段上任意取厘米的线段上任意取 11 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大 于于 1 厘米？厘米？ 【例【例 1010】（）用数字用数字 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6 填满一个填满一个 6 66 6 的方格表的方格表，如如 右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个 2 22 2 正

12、方格内的四个正方格内的四个 数字的和称为这个数字的和称为这个 2 22 2 正方格的正方格的“标示数标示数”，问：能否给出一种填法，问：能否给出一种填法， 使得任意两个使得任意两个“标示数标示数”均不相同？如果能均不相同？如果能，请举出一例请举出一例；如果不能如果不能，请请 说明理由。说明理由。 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级基础班第九讲学生版Page 4 of 5 专题展望专题展望 抽屉原理的结论虽然简单抽屉原理的结论虽然简单，但这一类题目与数学中数论问题但这一类题目与数学中数论问题、图形计数图形计数、逻辑推理等分支都有结合逻辑推理

13、等分支都有结合， 随着大家对这些数学知识具体的掌握，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。随着大家对这些数学知识具体的掌握，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。 练习九练习九 1、 （） 证明证明： （1）任意任意 32 个人中个人中，至少有至少有 3 个人是在同一个月出生个人是在同一个月出生。 （2）要想保证至少要想保证至少 3 个人是个人是 在同一个月出生，至少有几个人？（在同一个月出生，至少有几个人？（3）要想保证至少）要想保证至少 5 个人是在同一个月出生，但不能保证有个人是在同一个月出生，但不能保证有 6 个个 人是在同一个月出生，那么总人数应该在什么范围内？人是在同一个月出生，那么总

14、人数应该在什么范围内？ 2、 （） 布袋中有布袋中有 5 5 种不同颜色的小球共种不同颜色的小球共 6060 个个，其中每种颜色各有其中每种颜色各有 1212 个个，问问：一次至少要取出多一次至少要取出多 少个小球，才能保证其中至少有少个小球，才能保证其中至少有 5 5 个小球的颜色相同？个小球的颜色相同？ 3、 （） 52 张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花 4 种花色各种花色各 13 张，问：张，问： 至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少 2 张。张。 至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少至

15、少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少 5 张。张。 至少从中取出几张牌，才能保证有至少从中取出几张牌，才能保证有 4 种花色的牌。种花色的牌。 4、 （） 老师在黑板上出了两道题老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得规定每道题做对得 2 2 分分，没有做得没有做得 1 1 分分，做错的做错的 0 0 分分。老师说老师说： “可以肯定全班同学中至少有可以肯定全班同学中至少有 6 6 名同学各题的得分都相同名同学各题的得分都相同。”那么那么，同学们请算算这个班至少有多少同学们请算算这个班至少有多少 个人？个人？ 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07

16、 年秋季五年级基础班第九讲学生版Page 5 of 5 5、 （）在边长为）在边长为 3 的正三角形内，任意放入的正三角形内，任意放入 10 个点，求证：必有个点，求证：必有 2 个点的距离不大于个点的距离不大于 1。 分析：将正三角行等分为分析：将正三角行等分为 9 个小正三角行。个小正三角行。 数学知识数学知识 芝诺悖论芝诺悖论-阿基里斯追龟阿基里斯追龟 古希腊数学家芝诺（约公元前古希腊数学家芝诺（约公元前 490 年至约前年至约前 425 年）提出了一个著名的悖论：阿基里斯（荷马史诗年）提出了一个著名的悖论：阿基里斯（荷马史诗 中的赛跑英雄中的赛跑英雄）和乌龟举行了一场赛跑和乌龟举行了一

17、场赛跑，并让乌龟先跑并让乌龟先跑 100 米米，假定阿基米斯的速度是乌龟的假定阿基米斯的速度是乌龟的 10 倍倍，现现 在在，比赛开始了比赛开始了，当阿基里斯跑了当阿基里斯跑了 100 米米，到达乌龟的出发点时到达乌龟的出发点时，乌龟又向前跑了乌龟又向前跑了 10 米米，当阿基里斯又当阿基里斯又 追上追上 10 米米，乌龟又向前跑了乌龟又向前跑了 1 米米。 。 。如此继续下去如此继续下去，因为阿基米斯必须先到乌龟原来的位置因为阿基米斯必须先到乌龟原来的位置，所以乌龟所以乌龟 总在阿基米斯的前面，由此可得：阿基米斯永远追不上乌龟！总在阿基米斯的前面，由此可得：阿基米斯永远追不上乌龟！ 这个结论显然是错误的。亲爱的小朋友，你知道芝诺的这个谬论错在哪吗？这个结论显然是错误的。亲爱的小朋友，你知道芝诺的这个谬论错在哪吗？