精英教师版.doc
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1、讲义是乐谱,学生是听众,老师是指挥家,每节课都是一篇乐章,老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 1 of 8 第五讲第五讲包含与排除包含与排除 教学目标教学目标 本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法:本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法: 1 1包含排除法的内容包含排除法的内容。 (了解)(了解) 2 2包含排除法的简单应用包含排除法的简单应用。 (掌握)(掌握) 3 3设关键未知项解设关键未知项解。 (掌握)(掌握) 要求学生知道基本公式的内容要求学生知道基本公式的内容 (弄清楚具体题目中的量分别是公式中的哪一部分弄清楚具体题目中的量
2、分别是公式中的哪一部分) , 而且会熟练运用而且会熟练运用; 能够用公式与韦恩图结合解题(要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义能够用公式与韦恩图结合解题(要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义) 。 容斥原理的要领:多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合,那么分析题目容斥原理的要领:多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合,那么分析题目 时要弄清楚哪些是多算的,哪些是少算了的,也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时时要弄清楚哪些是多算的,哪些是少算了的,也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时 要结合画韦恩图来分析。要结合画韦恩图来
3、分析。 分析分析:画四个圆能将长方形划分为画四个圆能将长方形划分为 14 个部分个部分,因为两个圆只可能有两个交点因为两个圆只可能有两个交点,第四个圆与其余三个圆最第四个圆与其余三个圆最 多只能有多只能有 6 个交点个交点,这六个交点将圆周分为这六个交点将圆周分为 6 段圆弧段圆弧,每段圆弧将三个圆的情况下每段圆弧将三个圆的情况下 6 个划区分为两部分个划区分为两部分, 所以,四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多所以,四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多 6,所以四个圆的情况只能将长方形划,所以四个圆的情况只能将长方形划 分为分为 14 个部分个部分.同样的五个圆能
4、将长方形划分为同样的五个圆能将长方形划分为 14+8=22 个部分个部分, 六个圆能将长方形划分为六个圆能将长方形划分为 22+10=32 个个 部分,部分,n 个圆能将长方形划分为个圆能将长方形划分为 2+2+4+6+8(2n-4)+(2n-2)=n2-n+2 块块. 评注 韦恩图在包含与排除中运用广泛,但它只适用于三个圆和四个圆以下的情况,如果有四组不完全 相关性质划分集合,根据乘法原理它们会将集合划分为 2222=16 种类别.这是四个圆划分长方形无 法办到的,圆办不到,不代表其他图形办不到,例如右图,粗实线能够分别穿越原来的 8 个区块将长方 形分为 8+8=16 个部分.一般小学奥数
5、题中最多出现三组不完全相关性质划分集合的情况,用韦恩图足够 了.万一出现四组不完全相关性质的情况,不推荐使用韦恩图. 在一张长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分在一张长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分; 画俩圆能将长方画俩圆能将长方 形划分为四个部分形划分为四个部分,画仨圆能将长方形划分为八个部分画仨圆能将长方形划分为八个部分,那么画四个圆最多能那么画四个圆最多能 将长方形纸划分为多少个部分?五个圆,六个圆呢?将长方形纸划分为多少个部分?五个圆,六个圆呢? 想想挑挑战战吗?吗? 讲义是乐谱,学生是听众,老师是指挥家,每节课都是一篇乐章,老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组
6、学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 2 of 8 专题精讲专题精讲 包含排除法:包含排除法: 1 1若已知若已知 A A、B B、C C 三部分的数量(如图三部分的数量(如图) ,其中,其中 C C 为重复部分,则为重复部分,则 图中的数量等于图中的数量等于 A+B-C.A+B-C. 即:即:A AB=A+B-B=A+B- A AB B,其中,其中 A AB=C.B=C. 2 2若已知若已知 A A、 B B、 C C 三部分的数量三部分的数量 (如图如图) ,则图中的数量等于则图中的数量等于 A+B+C-A+B+C- (A A 与与 B B 重叠部分重叠部分+ + B B
7、 与与 C C 重叠部分重叠部分+ + C C 与与 A A 重叠部分)重叠部分)+A+A、B B、 C C 三者重叠的部分三者重叠的部分. . 即:即:A AB BC=A+B+C-C=A+B+C-(A AB+BB+BC+CC+CA A)+ + A AB BC.C. 以上概念中符号解释:以上概念中符号解释: “”“”表示并集表示并集, “A AB B”表示表示 A A 并并 B B,通俗的讲表示所有或属于,通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或属于 B B 的元素的的元素的 数量(集合数量(集合) , “A AB BC C” 通俗的讲表示所有或属于通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或
8、属于 B B、或属于、或属于 C C 的元素数量的元素数量. . “”“”表示交集表示交集, “A AB B”表示表示 A A 交交 B B,通俗的讲表示所有即属于,通俗的讲表示所有即属于 A A、又属于、又属于 B B 的元素的的元素的 数量(集合数量(集合) , “A AB BC C”通俗的讲表示所有即属于通俗的讲表示所有即属于 A A,又属于,又属于 B B,还属于,还属于 C C 的元素数量的元素数量 基本类型基本类型 【例【例 1 1】 在桌面上放置着三个面积相等的纸片在桌面上放置着三个面积相等的纸片 A A、B B、C C,A A 和和 B B 的重叠面积为的重叠面积为 1616
9、cmcm 2 2, ,B B 和和 C C 重叠的面积重叠的面积 为为 1212 cmcm 2 2, ,C C 和和 A A 重叠的面积为重叠的面积为 1010 cmcm 2 2,三张纸片共同重叠的面积为 ,三张纸片共同重叠的面积为 6 6 cmcm 2 2,已知三张纸片一共覆盖 ,已知三张纸片一共覆盖了了 160160 cmcm 2 2,那么每张纸片的面积为多少? ,那么每张纸片的面积为多少? 分析分析:将各种重叠将各种重叠、部分重叠的各部分凑成三张纸片的的面积和部分重叠的各部分凑成三张纸片的的面积和.可以由公式推倒可以由公式推倒,也可以靠对各部分面也可以靠对各部分面 积的容斥关系和数量关系
10、的理解积的容斥关系和数量关系的理解,三张纸片的面积和三张纸片的面积和=覆盖面积覆盖面积+重叠了两次部分的面积重叠了两次部分的面积+2重叠了三次重叠了三次 部分的面积部分的面积=覆盖面积覆盖面积+两两相互重叠的面积之和两两相互重叠的面积之和-重叠了三次的部分重叠了三次的部分=160+16+12+10-6=192,所以每张纸,所以每张纸 片的面积为片的面积为 64cm2. 前铺在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片(如图,三个纸片等大) ,它们 的面积都是 100cm 2,并知 A、B 两圆重叠的面积是 20cm2,A、C 两圆重叠的面积为 45cm 2,B、C 两圆重叠的面积为 31cm2,三个
11、圆共同重叠的面积为 15cm2,求盖住桌子 的总面积。 分析: (法 1)直接套用公式:1003-20-45-31+15=219cm 2.套用公式的前提必须建 立在对公式的理解的基础上,A、B、C 三个圆的面积各包含了四块面积,例如 A 覆盖的部分包括,A 与 B 共有而 C 没有的;A 与 C 共有的而 B 没有的,A、B、C 三圆共有的;A 独有的.这样如果将 A、B、C 的面积 简单相加,A 与 B 共有而 B 没有的;A 与 C 共有的而 B 没有的;B 与 C 共有的而 A 没有的;A、B、C 三个 部分的共有部分则被计算了 3 次,如果再将 A、C 两圆重叠的;B、C 两圆重叠的;
12、A、B 两圆重叠的三部 分各减去一遍,那么同时 A、B、C 三个部分的共有部分则被减了 3 次,此时得到的结果中 A、B、C 三个 部分的共有部分没有被计算过,所以最后还要将这一部分加上. C B A C B A 讲义是乐谱,学生是听众,老师是指挥家,每节课都是一篇乐章,老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 3 of 8 (法二)分别计算各区块的面积,A 与 B 共有而 C 没有的=20-15=5,B 与 C 共有的而 A 没有的=31-15=16, A 与 C 共有的而 B 没有的=45-15=30.A 独有的=100-5-30-15=5
13、0,B 独有的=100-16-5-15=64,C 独有的 100-30-16-15=39.盖住桌子的总面积=15+5+16+30+50+64+39=219,事实上如果我们实现没有将各个区块 算出来的话,盖住桌子的总面积=15+(20-15)+(31-15)+(45-15)+(100-15-(20-15)-(45-15) ) +(100-15-(20-15)-(31-15) )+(100-15-(36-15)-(45-15) )=1003-20-45-31+15=219. 【例【例 2】 某校五年级有某校五年级有 120 名学生,订故事大王的有名学生,订故事大王的有 85 人,订儿童漫画的有人,
14、订儿童漫画的有 90 人,订优秀人,订优秀 作文选作文选的有的有 70 人人,同时订同时订故事大王故事大王和和优秀作文选优秀作文选的有的有 62 人人,同时订同时订儿童漫画儿童漫画和和优秀优秀 作文选作文选的有的有 46 人人,同时订这三种杂志的有同时订这三种杂志的有 21 人人,此外此外,还有还有 5 名学生没有订任何杂志名学生没有订任何杂志,问问:恰好只恰好只 订了故事大王和儿童漫画的有多少人?订了故事大王和儿童漫画的有多少人? 分析:设同时订故事大王和儿童漫画的有分析:设同时订故事大王和儿童漫画的有 X 人,有人,有 120-(85+90+70-62-46-X+21)=5,X=43, 所
15、以恰好只订故事大王和儿童漫画的有所以恰好只订故事大王和儿童漫画的有 43-21=22 人人. 前铺学而思八年级竞赛班有 50 人,共有三个科技兴趣小组;天文、无线电和计算机,参加天文组的有 38 人,参加无线电组的有 35 人,参加计算机组的有 31 人,既参加天文组又参加无线电组的有 29 人,既 参加天文组又参加计算机组的有 28 人,即参加无线电又参加计算机的有 26 人,三个小组都参加的有 24 人,试求三个小组都没有参加的人数. 分析:50-(38+35+31-29-28-26+24)=5 人. 【例【例 3】 五年级三班有五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动名学生参加三项课外
16、活动, 其中其中 24 人参加了绘画小组人参加了绘画小组, 20 人参加了合唱小组人参加了合唱小组, 参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍倍, 又是三项活动都参加人数的又是三项活动都参加人数的 7 倍倍, 既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2 倍倍,既参加绘画小组又参加合唱小组既参加绘画小组又参加合唱小组 的有的有 10 人,求参加朗诵小组的人数。人,求参加朗诵小组的人数。 分析:设三项都参加的人数有分析:设三项都参加的人数有 X
17、人,则参加朗诵小组的人数为人,则参加朗诵小组的人数为 7X 人,参加绘画小组又参加朗诵小组的人,参加绘画小组又参加朗诵小组的 人数为人数为 2X 人人,参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X 人人,于是有于是有 46-(24+20+7X-2X-2X-10+X) ,解解 得得 X=3,所以参加朗诵小组的人数为所以参加朗诵小组的人数为 21 人人. 【例【例 4】 某校举行数学竞赛某校举行数学竞赛,共出共出 A、B、C 三道题三道题,有有 110 人参加竞赛人参加竞赛,每个人都至少答对一道题每个人都至少答对一道题,已已 知答对知答对 A 题的有题的有 52 人,
18、只答对人,只答对 A 题的有题的有 16 人;答对人;答对 B 题的有题的有 61 人,只答对人,只答对 B 题的有题的有 15 人;答对人;答对 C 题的有题的有 63 人,只答对人,只答对 C 题的有题的有 21 人,问三道题都答对的有多少人?人,问三道题都答对的有多少人? 分析分析:结合题的条件结合题的条件,设仅答对设仅答对 AB 的有的有 X 人人,BC 的有的有 Z 人人,AC 的有的有 Y 人人,全答对的有全答对的有 W 人人,可得可得 以下等式:以下等式: 16+X+Z+W=52 15+X+Y+W=61 21+Y+Z+W=63 16+5+21+X+Y+Z+W=110 +-2:解得
19、:解得 W=8,即三道题都答对得人数为,即三道题都答对得人数为 8. 讲义是乐谱,学生是听众,老师是指挥家,每节课都是一篇乐章,老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 4 of 8 包容排斥与数论包容排斥与数论 【例【例 5】 在在 1 到到 2004 的所有自然数中,既不是的所有自然数中,既不是 2 的倍数,也不是的倍数,也不是 3、5 的倍数的数有多少个?的倍数的数有多少个? 分析:分析:1 到到 2004 中是中是 2 的倍数的有的倍数的有 1002 个,个,3 的倍数有的倍数有 668 个,个,5 的倍数有的倍数有2004/5=400
20、 个个,6 的倍数的倍数有有 334 个,个,10 的倍数有的倍数有2004/10=200 个,个,15 的倍数有的倍数有2004/15=133 个,个,30 的倍数有的倍数有2004/30=66 个个.所以所以 不是不是 2、3、5 的倍数有的倍数有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 个个. 前铺求 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数. 分析:记 A:1 到 100 中 3 的倍数,1003=331,有 33 个; B:1 到 100 中 7 的倍数,1007=142,有 14 个; AB:1 到 100 中 3 和 7 的倍数
21、,即 21 的倍数,10021=416,有 4 个。 依据公式,1 到 100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有 33+14-4=43 个,则能被 3 或 7 整除的数的个数为 43 个. 【例【例 6 6】 在从在从 1 1 至至 10001000 的自然数中,既不能被的自然数中,既不能被 5 5 除尽也不能被除尽也不能被 7 7 除尽的数有多少个?除尽的数有多少个? 分析分析:记记 1 1 到到 10001000 中中 5 5 的倍数组成的集合为的倍数组成的集合为 A,7A,7 的倍数组成的集合为的倍数组成的集合为 B B,则则 A AB B 表示表示 5 5 和和 7 7 的公倍数的公倍
22、数. . 可知可知 A A 中有中有 200200 个数个数,B B 中有中有 142142 个数个数,A AB B 中有中有 2828 个数个数,依据公式可知依据公式可知 A AB B 中有中有 200+142-28=314200+142-28=314 个个 数数, 即即1 1到到1001000 0中中有有31314 4个数能个数能被被5 5或或7 7整除的数整除的数, 则既不能则既不能被被5 5除尽也不能除尽也不能被被7 7除尽的数除尽的数有有1000-314=681000-314=686 6 个个. . 巩固在前 1000 个自然数中(不包括 0) ,既不是平方数也不是立方数的数有多少个
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