第三讲数论之数的整除性.doc

1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 1 of 10 第三讲第三讲数论之数的整除性数论之数的整除性 卷卷 教学目标教学目标 1.1. 熟练掌握整除性质及特殊数的整除特征；熟练掌握整除性质及特殊数的整除特征； 2.2. 巧妙运用整除性质及特殊数的整除特征解决数的整除问题；巧妙运用整除性质及特殊数的整除特征解决数的整除问题； 答案：因为 432165 aaaaaa能被 5 整除，所以 4 a是 5；由于 165432 aaaaaa、 321654 aaaaaa和 543216 aaaaa

2、a 分别能被 2、4、6 整除，因此 1 a、 3 a、 5 a是偶数，取值为 2、4、6，进而知道 2 a、 6 a是 1 和 3；上述能 被 4 整除的那个六位数的末两位 32a a应是 4 的倍数，而 2 a是奇数，所以 3 a只能为 2 和 6根据上面的分 析，为使原六位数最大， 1 a可取最大的数字 6， 2 a取 1、3 中的大数 3，这样其余各数分别是 3 a=2， 4 a=5， 5 a=4， 6 a=1，所以最大值为 632541 专题精讲专题精讲 想想挑挑战战吗？吗？ 用数字 1、2、3、4、5、6 排列成一个六位数 654321 aaaaaa，将 1 a移到最后，所得 的六

3、位数 165432 aaaaaa能被 2 整除； 再将 2 a移到最后， 所得的六位数 216543 aaaaaa 能被 3 整除；最后把 5 a移到最后，所得的六位数 543216 aaaaaa能被 6 整除， 那么 654321 aaaaaa的最大可能值是多少？ 数的整除性质：数的整除性质： 性质性质 1如果如果 a 能被能被 b 整除，整除，b 能被能被 c 整除，那么整除，那么 a 一定能被一定能被 c 整除整除 例如，例如，48 能被能被 16 整除，整除，16 能被能被 8 整除，那么整除，那么 48 一定能被一定能被 8 整除整除 性质性质 2如果如果 a、b 都能被都能被 c

4、整除，那么整除，那么(a ab b) 也一定能被也一定能被 c 整除整除 例如，例如，21 与与 15 都能被都能被 3 整除，那么整除，那么 2115 及及 21-15 都能被都能被 3 整除整除 性质性质 3如果如果 c 能分别被两个互质的自然数能分别被两个互质的自然数 a、b 整除，那么整除，那么 c 一定能被一定能被 ab 整除整除 例如，例如，126 能被能被 9 整除，又能被整除，又能被 7 整除，且整除，且 9 与与 7 互质，那么互质，那么 126 能被能被 9763 整除整除 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思

5、教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 2 of 10 （一）（一） 整除的性质整除的性质 【例【例1】 （2005全国小学数学奥赛全国小学数学奥赛）某自然数某自然数，它可以表示成它可以表示成9个连续自然数的和个连续自然数的和，又可以表示成又可以表示成10个连个连 续自然数的和续自然数的和，还可以表示成还可以表示成11个连续自然数的和个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？那么符合以上条件的最小自然数是多少？ 分析：可以表示成连续分析：可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能个自

6、然数的和说明该数能 被被5整除整除，可表示成连续可表示成连续11个自然数的和说明该数能被个自然数的和说明该数能被11整除整除，因此该数是因此该数是9,5,11=495，因此符合条件的因此符合条件的 最小自然数是最小自然数是495注意：本题易错答案为注意：本题易错答案为990，提醒同学们注意，提醒同学们注意. （拓展）一个各位数字均不为零的三位数能被 8 整除，将其百位数字、十位数字、个位数字分别划去后 可以得到 3 个两位数（例如，按此方法由 247 将得到 47、27、24） 已知这些两位数中一个能被 5 整除， 另一个能被 6 整除，还有一个能被 7 整除那么原来的三位数是多少？ 分析：那

7、个能被 5 整除的两位数的个位数字是 0 或 5，且应是原三位数的十位数字或个位数字注意到各 位数字均不为零且本身是偶数，故必须有原三位数的是十位数字是 5三位数能被 8 整除意味着末两位数 应能被 4 整除在 5159 之间只有 52、56 是 4 的倍数，但 52 不是 5、6、7 中任何一个数的倍数，故题 设中的三位数个位数字一定是 6由上述分析可知，百位数字和 6 组成的两位数是 6 的倍数，可能为 36、 66、96，则得到三个三位数：356、656、956，经检验只有 656 是 8 的倍数 【例【例2 2】 （第第1414届届迎春杯考题）迎春杯考题）1）从）从13998这这399

8、8个自然数中，有多少个能被个自然数中，有多少个能被4整除？整除？ （2）从）从 13998 这这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？整除？ 分析分析：（：（1 1）第一问比较简单，）第一问比较简单，399839984=9994=9996 6所以所以1 139983998中有中有996996个能被个能被4 4整除的整除的 （2 2）考虑数字和考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的，因此我们考虑分组的方法因此我们考虑分组的方法，我们补我们补 充充2 2个数个数，000000

9、00和和39993999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上此外所有的一位两位三位数都在前面加上0 0补足补足4 4位位，然后对这然后对这40004000个数做如下分个数做如下分 组组：（00000000，10001000，20002000，30003000），（00010001，10011001，20012001，30013001），（00020002，10021002，20022002，30023002）， (0999(0999，19991999，29992999，3999)3999)，共共10001000组组，容易发现每一组恰好有个数字和是容易发现每一组恰好有个数字和是4 4的倍数的倍

10、数，因此共有因此共有10001000个数个数 字和是字和是4 4的倍数，但注意到我们补充了一个的倍数，但注意到我们补充了一个00000000进去所以原来的进去所以原来的39983998个数里，有个数里，有999999个个 数字和是数字和是4 4的倍数的倍数 1 1一个数的末位能被一个数的末位能被 2 或或 5 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 2 或或 5 整除；整除； 一个数的末两位能被一个数的末两位能被 4 或或 25 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 4 或或 25 整除；整除； 一个数的末三位能被一个数的末三位能被 8 或或 125 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 8 或

11、或 125 整除；整除； 2 2一个数各位数数字和能被一个数各位数数字和能被 3 3 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 9 9 整除；整除； 一个数各位数数字和能被一个数各位数数字和能被 9 9 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 9 9 整除；整除； 3 3如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 1111 整除，那么这个整除，那么这个 数能被数能被 1111 整除整除. . 4 4如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7 7、1111

12、 或或 1313 整除，那么这整除，那么这 个数能被个数能被 7 7、1111 或或 1313 整除整除. . 5 5部分特殊数的分解部分特殊数的分解： 111=3111=33737； 1001=71001=711111313； 11111=4111111=41271271； 10001=7310001=73137137； 10101=310101=3 7 713133737；1995=31995=35 57 71919；1998=21998=23 33 33 33737；2007=32007=33 3223223；2008=22008=22 2 2 2251251； 2007+2008=40

13、15=52007+2008=4015=5111173.73. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 3 of 10 【例【例 3 3】 在在 1 1、2 2、3 3、4 420072007 这这 20072007 个数中有多少个自然数个数中有多少个自然数 a a 能使能使 2008+a2008+a 能被能被 2007-a2007-a 整除？整除？ 分析分析：如果如果 2008+a2008+a 能被能被 2007-a2007-a 整除整除，那么那么 2008+a 2007-a 为自然数

14、为自然数，2008+a 20082007 1 2007-a2007a 也是自然数也是自然数， 40154015 能被（能被（2007-a2007-a）整除，所以）整除，所以 4015=54015=511117373，40154015 的约数中小于的约数中小于 20072007 的数有的数有 1 1、5 5、1111、7373、5555、 365365、803803， 所以当所以当 a a 取取 20062006、20022002、19961996、19341934、19521952、16421642、12041204 能使能使 2008+a2008+a 能被能被 2007-a2007-a 整除

15、整除. . 【例【例 4】 已知两个三位数已知两个三位数abc与与def的和的和abcdef能被能被 37 整除整除， 证明证明： 六位数六位数abcdef也能被也能被 37 整除整除 分析：分析：abcdef=abc1000+def=abc999+（abc+def） ，因为，因为 999 能被能被 37 整除，所以整除，所以abc999 能被能被 37 整除，而（整除，而（abc+def）也能被）也能被 37 整除，所以其和叶能被整除，所以其和叶能被 37 整除整除. （前铺）已知=，其中、分别表示不同的数字，那么 四位数是多少？ 分析：因为10101，所以在题述等式的两边同时约去即得 10

16、101作质因数分解得37137310101，由此可知该数分解为 3 个两位数乘积的方法仅有 371321注意到两位的十位数字和个位数字分别和另外的两位数和中出现，所以 =13，=37，=21即=7，=1，=3，=2，所求的四位数是 7132 （前铺）证明：形如abcabc的六位数一定能被 7，11，13 整除 分析：1001,10017 11 13abcabcabc，所以得证. （拓展）若 4b+2c+d=32.试问abcd能否被 8 整除?请说明理由 分析：由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可. 10010bcdbcd，有(42)9688(12)bcdbcdbcbc，所以

17、abcd能被 8 整除. （拓展）已知 a，b 是整数，求证 a+b,ab、a-b 这三个数之中，至少有一个是 3 的倍数 分析：若 a,b 之一是 3 的倍数，则 ab 是 3 的倍数； 若 a,b 都不是 3 的倍数：1)a=b=3k+1 或 3k-1 （都余 1 或都余 2） ，则 a-b 是 3 的倍数； 2)a,b 一个是 3k+1 一个是 3k-1 （一个余 1，一个余 2） ，则 a+b 是 3 的倍数； 所以 a+b,ab,a-b 这三个数之中,至少有一个是 3 的倍数. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育0

18、7 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 4 of 10 （拓展）五位数abcde是 9 的倍数，其中abcd是 4 的倍数，那么abcde的最小值是_ 分析：1）若a、b、c、d、e不同的字母代表相同的数值时，abcde=abcd10+e=(abcd+e)+abcd 9，因为abcde是 9 的倍数，所以(abcd+e)是 9 的倍数，要abcde最小，我们希望abcd和 e 都能取 最小，这样和也就最小abcd是 4 的倍数，所以最小是 1000，要让(abcd+e)是 9 的倍数，e 最小是 8， 所以abcde最小值是 10008. 2）若a、b、c、d、e不同的字母代表不同的数值时

19、，abcd是 4 的倍数，所以最小是 1024，但e为 2， 矛盾，所以abcd最小是 1028，即abcde最小值是 10287. （二）（二） 整除的特征整除的特征 【例【例 5】 把若干个自然数把若干个自然数 1 1、2 2、3 3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那 么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 分析分析： 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2 2 和和 5 5 的个数决定的的个数决定的， 有一对有一对 2 2 和和

20、5 5 乘积末尾就有一个零乘积末尾就有一个零 由由 于相邻两个自然数中必定有一是于相邻两个自然数中必定有一是 2 2 的倍数，而相邻的倍数，而相邻 5 5 个数中才有一个个数中才有一个 5 5 的倍数，所以我们只要观察因的倍数，所以我们只要观察因数数 5 5 的个数就可以了的个数就可以了5 5，15=515=53 3，20=520=54 4，25=525=55 5，30=530=56 6，35=535=57 7，40=540=58 8，45=545=59 9，50=550=55 5 2 2，55=555=51111，发现只有发现只有 2525、5050、7575、100100、这样的数中才会出

21、现多个这样的数中才会出现多个 5 5，写到写到 5555 时共出现时共出现 11111 1 1=131=13 个因数个因数 5 5，所以至少应当写到，所以至少应当写到 5555，最多可以写到，最多可以写到 5959 前铺从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？ 分析：首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以产 生一个 0，而 75 乘以偶数可以产生 2 个 0，50 中的数字 5 乘以偶数又可以产生 1 个 0，所以一共有 141247个 0 巩固11 个连续两位数的乘积能被 343 整除

22、， 且乘积的末 4 位都是 0， 那么这 11 个数的平均数是多少？ 分析：因为 3 7343，则可知，在 11 个连续的两位数种，至多只能有 2 个数是 7 的倍数，所以其中有一 个必须是 49 的倍数，那就只能是 49 或 98又因为乘积的末 4 位都是 0，就是说这连续的 11 个自然数应 该“含有”4 个 5连续的 11 个自然数中至多只能有 3 个是 5 的倍数，至多只能有 1 个是 25 的倍数，所 以其中有一个必须是 25 的倍数，那么就只能是 25、50 或 75所以这 11 个数是 40，41，42，43，44， 45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间

23、项 45 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 5 of 10 拓展975935972，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？ 分析：积的最后 4 个数字都是 0，说明乘数里至少 4 个 2 和 4 个 5 975=5539，935=5187，972=22243，共有 3 个 5，2 个 2，方框内至少是 225=20 答：在方框内最小应填 20 卷卷 【例【例 6 6】 已知四十一位数已知四十一位数 5555555599999999（其中（其中 5

24、5 和和 9 9 各各 2020 个）能被个）能被 7 7 整除，那么中间方格内的数字整除，那么中间方格内的数字 是多少？是多少？ 分析：因为分析：因为 555555555555 和和 999999999999 都是都是 7 7 的倍数，如果原数是能被的倍数，如果原数是能被 7 7 整除，那么由整除，那么由 5个20 5555 9个20 9999= = 5个20 5555999999109999 6 9个14 知知 5个20 5555 9个14 9999也能被也能被 7 7 整除；又整除；又 5个20 5555 9个14 9999可以表示成可以表示成 555555555555 29 10 5个

25、14 5555 9个14 9999，说明，说明 5个14 5555 9个14 9999也能被也能被 7 7 整除，整除， 相当于将原数的前后分别去掉相当于将原数的前后分别去掉 555555 和和 999999 后整除性不变后整除性不变，依次下去依次下去，得到得到 5599因此因此44 是是 7 的倍数，的倍数，3 是是 7 的倍数，所以得的倍数，所以得=6 前铺 1 已知 108971 能被 13 整除，求中的数 分析：108-971=1008-971+0=37+0 上式的个位数是 7，若是 13 的倍数，则必是 13 的 9 倍，由 139-37=80，推知中的数是 8 前铺 2 在四位数

26、562 中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被 9，8，4 整除？ 分析：如果 562 能被 9 整除，那么 56213应能被 9 整除，所以当十位数是 5，即四位数 是 5652 时能被 9 整除； 如果 562 能被 8 整除，那么 62 应能被 8 整除，所以当十位数是 3 或 7，即四位数是 5632 或 5672 时 能被 8 整除； 如果 562 能被 4 整除， 那么2 应能被 4 整除， 所以当十位数是 1， 3， 5， 7， 9， 即四位数是 5612， 5632， 5652，5672，5692 时能被 4 整除. 巩固 1 在六位数 1111 中的两个方框内各填

27、入一个数字，使得这个六位数能够被 17 和 19 整除， 那 么方框中的两位数是多少？ 分析： （法 1）这个六位数能够被 17 和 19 整除，那么也应当能被 1719=323 整除，因为 119911 减去某 个数00 就可能是 323 的倍数.119911=32337178，说明 119911 应当减去的四（三）位数满足 00 除以 323 也余 78， 也就是满足22 除以 323 应当能够除尽.说明22 是 4522， 那么00 是 4600， 因此所求的六位数是 1199114600=115300. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学

28、奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 6 of 10 巩固 2 应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被 7 整除?(其中数码 6 和 5 各重复了 50 次) 66666?55555 分析：可在“?”的位置上填上 2 或 9事实上，111111(6 个 1)可被 7 整除，因此如果将我们的数的头和 尾各去掉 48 个数码，并不改变其对 7 的整除性，于是还剩下 66?55从中减去 63035，并除以 10，即得 3?2此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有 322 和 392 可被 7 整除所以？上填 2 或 9. 拓展 应当在如

29、下的“”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被 63 整除？（其中数 码 2 和 7 都重复了 25 次. 2222277777 分析：63=79，所以中间两个数的和能被 9 整除，又 111111(6 个 1)可被 7 整除，所以去掉首尾 24 个数字后，剩下的 27，也能被 7 整除，2007=7286+5，所以5 也能被 7 整除，5-35 能被 7 整除，所以两位数被 7 除余 3，在两位数中被 7 除余 3，且能被 9 整除的只有 45. 中所填的数是 45. 【例【例 7 7】 （全国小学数学奥林匹克全国小学数学奥林匹克） 2008 20082008200808 n 个 能

30、被能被 9999 整除整除，那么那么，n n 的最小值为多少？的最小值为多少？ 分析：由于分析：由于 99=999=91111，所以，所以 2008 20082008200808 n 个 能被能被 1111 和和 9 9 整除，整除， 2008 20082008200808 n 个 中奇位数减中奇位数减 偶位数的差为（偶位数的差为（8-28-2）n+8=6n+8n+8=6n+8，当，当 n=6n=6、1717、2828时时， （3n+13n+1）是）是 1111 的倍数，所以的倍数，所以 n n 的最小值是的最小值是 6.6. 2008 20082008200808 n 个 各位数字之和为各位

31、数字之和为（2+82+8）n+8=10n+8n+8=10n+8，所以当所以当 n=1n=1、1010、1919、2828等数时等数时，能能被被 9 9 整除，所以整除，所以 n n 的最小值为的最小值为 28.28. 前铺 如果 2005 20052005200501 n 个 能被 11 整除，那么 n 的最小值是. 分析： 2005 20052005200501 n 个 中奇数位减偶数位的差为（52）n1=3n1,当 n=7 时，(3n1)是 11 的 倍数，所以 n 的最小值是 7. 【例【例 8 8】 （奥数网原创题）已知多位数（奥数网原创题）已知多位数 5555559955999999

32、（其中（其中 5 5 和和 9 9 各各 n n 个）能被个）能被 7 7 整除，那么当整除，那么当 n n 取值为什么时，方格内的数字的不同的情况数为定值，并求出这个定值？取值为什么时，方格内的数字的不同的情况数为定值，并求出这个定值？ 分析分析：由例题由例题 1 1 知当知当 n=6kn=6k（k k 为自然数为自然数） ，1001007=147=142 2，所以共有所以共有 1515 种不同的情况种不同的情况；当当 n n6k6k（k k 为自为自 然数）然数）, ,情况不定情况不定 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育

33、07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 7 of 10 前铺 1 如果六位数 1992能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？ 分析：199300105 余 10，199300-10=199290，即它的最后两位数是 90. 前铺 2 已知 200520052005是 72 的倍数，求末两位数是多少？ 分析：72=89，因为被 9 整除，所以末两位数字和是被 9 除余 6 的，因为被 8 整除，注意到百位是奇数， 所以末两位被 8 除余 4，满足这 2 个条件的 2 位数就只有 60. 拓展 已知多位数55559999（其中 5 和 9 各 n 个）能被 77 整除，那么方格内的数

34、字是多少？ 分析：由例题知当 n=6k（k 为自然数） ，10077=123，方格内的数字是 77；当 n6k（k 为自然数）, 情况不定 【例【例 9 9】 （奥数网原创题）已知四十一位数（奥数网原创题）已知四十一位数 555555557 799999999（其中（其中 5 5 和和 9 9 各各 1919 个）能被个）能被 7777 整除，整除， 那么方格内的数字分别是多少？那么方格内的数字分别是多少？ 分析：由上题知可化为分析：由上题知可化为 5 57 79 9 能被能被 7 7 整除，整除，507095070977=65877=6584343，所以，所以0 00+43=70+43=7

35、k k（k k 为自然数为自然数） ， 即即0 00+1=70+1=7 k k（k k 为自然数为自然数） ，又，又 21+21+ +=11=11 k k（k k 为自然数为自然数） ，所以，所以+ +=10=10，设第一个，设第一个为为 x x，则，则 第二个第二个为（为（10-x10-x） ，有，有 1000 x+101000 x+10（10-x10-x）+1=7+1=7 k k（k k 为自然数为自然数） ， ，所以，所以 x=6x=6，即第一个，即第一个为为 6 6，所以第，所以第 二个二个为为 4 4，即所求的数为，即所求的数为 56749.56749. 前铺 1 五位数329AB能

36、被 72 整除，问：A 与 B 各代表什么数字？ 分析：已知329AB能被 72 整除.因为 7289，8 和 9 是互质数，所以329AB既能被 8 整除，又能被 9 整除根据能被 8 整除的数的特征，要求29B能被 8 整除，由此可确定 B6.再根据能被 9 整除的数的 特征，329AB的各位数字之和为 A329BA3f296A20，因为 lA9，所以 21 A2029.在这个范围内只有 27 能被 9 整除，所以 A7. 前铺 2 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被 9，25 和 8 整除. 分析：分别由能被 9，25 和 8 整除的数的特征，很难推断出这个七位数因为 9，2

37、5，8 两两互质，由整 除的性质知，七位数能被 9258=1800 整除，所以七位数的个位，十位都是 0；再由能被 9 整除的数 的特征，推知首位数应填 4.这个七位数是 4735800. 拓展 1 买 28 支价格相同的钢笔共付人民币 9.2元.已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 分析：9.2元=92分，2847，根据整除“性质 2”可知 4 和 7 均能整除 9242 可知处能填 0 或 4 或 8 因为 79020， 79424， 所以处不能填 0 和 4； 因为 79828， 所叫处应该填 8又9828 分=98.28 元，98.28283.51（元） ，即每支钢笔 3.51 元 讲

38、义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 8 of 10 拓展仓库有两个箱子，其中一个装了 74 个大杯子，另一个装了 75 个小杯子地上有两个价格牌， 一个写着总价“132.元” ，另一个写着“总价 123.元” 已知这两个价格牌原来贴在箱子上，但 现在已经弄不清楚哪个价格牌贴在哪个箱子上了，唯一知道的是大杯子的单价比小杯子的贵，那么小杯 子的单价是多少元？ 分析：设大杯子和小杯子的价格分别为S和s如果s75=132.，S74=123.，因为Ss， 所以s132.123. 8 元可是如此

39、小杯子的总价格大于 875=300 元，不符合题目要求所 以 123.是小杯子的总价钱由此可得出 123是 75=325 的倍数，则可以为 00、25、50、 75，经实验 12300 和 12375 是 75 的倍数相应的s分别为：1230075=1.64 元、1237575=1.65 元 【例【例 1010】 求最小的自然数，它的各位数字之和等于求最小的自然数，它的各位数字之和等于 5656，它的末两位数是，它的末两位数是 5656，它本，它本身还能被身还能被 5656 所整除所整除 分析：分析：所求的数写成所求的数写成 100a100a5656 的形式由于的形式由于 100a100a56

40、56 能被能被 5656 整除，所以整除，所以 a a 能被能被 1414 整除，所以整除，所以 a a 应应是是 1414 的倍数的倍数而且而且 a a 的数字和等于的数字和等于 56565 56 6= =4545具有数字和具有数字和 4545 的最小偶数是的最小偶数是 199998199998，但这个数不能被但这个数不能被 7 7 整除整除接下来数字和为接下来数字和为 4545 的偶数是的偶数是 289998289998 和和 298998298998，但前者不能被但前者不能被 7 7 除尽除尽，后者能被后者能被 7 7 整除整除，所以所以本本 题的答数就是题的答数就是 298998562

41、9899856 前铺 求最小的偶数，它的各位数数字之和为 40. 分析：各位数数字之和为 40 的数，至少有 5 位，万位上的数至少为 4，否则，各位数数字之和最多为 3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为 4 是，这个数只能是 49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是 59998. 拓展在五位数中，能被 11 整除且各位数字和等于 43，这样的数有多少？ 分析：因为 58=40，5 个数字的和等于 43 时，其中至少有 3 个 9，并且只有以下两种情况. (1)数字中 4 个 9、1 个 7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是 39-（9+7）=11，这样的 书有 99979 和 9

42、7999， (2)数字中 3 个 9，一个 7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是 39-28=11，这样 的数有 98989. 专题展望专题展望 数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊 情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 9 of 10 练习三练习

43、三 1.1.（例（例 1 1）有些数既能表示成有些数既能表示成 3 3 个连续自然数的和，又能表示成个连续自然数的和，又能表示成 4 4 个连续自然数的和；还能表示成个连续自然数的和；还能表示成 5 5 个连续自然数的和个连续自然数的和， 例如例如： 3030 满足上述要求满足上述要求， 因为因为 30=930=910101111； 30=630=67 78 89 9； 30=430=45 56 67 78 8 请请 你找出你找出 700700 至至 10001000 之间，所有满足上述要求的数，并简述理由之间，所有满足上述要求的数，并简述理由 分析分析：3 3 个连续自然数的和个连续自然数的

44、和，一定能够被一定能够被 3 3 整除整除；4 4 个连续自然数的和个连续自然数的和，一定能够被一定能够被 2 2 整除整除，且除以且除以 2 2 所所 得的商是奇数得的商是奇数，也就是说它不能被也就是说它不能被 4 4 整除整除，也即除以也即除以 4 4 所得余数为所得余数为 2 2；5 5 个连续自然数的和个连续自然数的和，一定能够一定能够被被 5 5 整除整除3 3、4 4、5 5 的最小公倍数是的最小公倍数是 60606060 以内满足上述三个条件的数是以内满足上述三个条件的数是 3030，所以所以 6060 的整数倍加上的整数倍加上 3030 就就 可以满足条件可以满足条件700=6

45、0700=6011114040，所以第一个符合题意的数是所以第一个符合题意的数是 750=60750=6012123030，最大的一个数是最大的一个数是 990=60990=60 16163030，共计，共计 161612121=51=5 个数，分别为个数，分别为 750750、810810、870870、930930、960960关键是让学生把该问题转化到关键是让学生把该问题转化到 整除问题，也可简单复习连续自然数求和与项数的关系整除问题，也可简单复习连续自然数求和与项数的关系 2.2.（例例 3 3）在在 1 1，2 2，3 3，19951995，这这 19951995 个数中找出所有满足

46、下面条件的数个数中找出所有满足下面条件的数 a a 来来： （1995+a1995+a）能整能整 除除 19951995a.a. 分析：分析： 1995 a 1995+a 是自然数，所以是自然数，所以 1995 a1995 1995 1995-= 1995+a1995+a 也是自然数，即也是自然数，即 1995+a1995+a 是是 1995199519951995 的的 约数约数. . 因为：因为：199519951995=31995=3 2 2 5 5 2 2 7 7 2 2 1919 2 2， ， ，它在，它在 19951995 与与 2 219951995 之间的约数有之间的约数有 3

47、 3 2 2 1919 2 2=3249 =3249，7 71919 2 2=2527 =2527，3 37 7 2 2 19=279319=2793， 5 5 2 2 7 719=332519=3325，3 3 2 2 5 57 7 2 2=2205 =2205，3 35 5 2 2 7 7 2 2=3675 =3675， 于是于是 a a 的值有的值有 6 6 个，即个，即 3249-1995=12543249-1995=1254，2527-1995=5322527-1995=532，2793-1995=7982793-1995=798， 3325-1995=13303325-1995=1

48、330，2205-1995=2102205-1995=210，3675-1995=1680.3675-1995=1680. 3.3.（例例 4 4）已知已知p、q都是大于都是大于 1 1 的整数的整数，并且并且 q p12 和和 p q12 都是整数都是整数，那么那么pq的值是多少？的值是多少？ 分析：分析：根据对称性，不妨设根据对称性，不妨设pq，于是，于是 21q p 为大于为大于 0、小于、小于 2 的整数，只能等于的整数，只能等于 1.由于由于21qp ， 可将可将 21p q 化为化为 3 4 q ，这样，这样3q ，5p ，所以，所以8pq. 4.4.（例（例 5 5）把若干个自然

49、数把若干个自然数 1 1、2 2、3 3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末连乘到一起，如果已知这个乘积的最末 5353 位恰好都是零，位恰好都是零， 那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 分析分析：1 1 到到 1010 的乘积里会出现的乘积里会出现 2 25 5 和和 1010 两次末尾添零的情况两次末尾添零的情况，估算从估算从 200200 开始开始，是是 4949 个个 0 0，还要扩大还要扩大 至至 220220 时加时加 4 4 个个 0 0，所以最小的数应该是，所以最小的数应该是 220220，而最大应该是，而最大应该是

50、 224224 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第三讲教师版Page 10 of 10 5.5.（例例 6 6）二百零一位数二百零一位数 11111 122222 2（其中其中 1 1 和和 2 2 各有各有 100100 个个）能被能被 1313 整除整除，那么中间方格内应填那么中间方格内应填 什么数？什么数？ 分析分析：由由 111111111111 被被 1313 整除整除，而而 100=6100=616+416+4，故原来被故原来被 1313 整除的算式即变为整除的算式即变为 1313111