第九讲 抽屉原理 精英班学生版.doc

1、没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲学生版Page 1 of 5 第九讲第九讲抽屉原理抽屉原理 知识说明知识说明 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论 中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解 决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来

2、相当复杂，甚至无从下手的问决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问 题题，在利用抽屉原则后在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决能很快使问题得到解决.在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以 填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。那么，那么，这一讲我就来巩固这一讲我就来巩固 学习学习抽屉原则抽屉原则以及它的典型应用。以及它的典型应用。 抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。抽屉原理推广到一

3、般情形有以下两种表现形式。 抽屉原理抽屉原理 1：将多于：将多于 n 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2 件。件。 例：有例：有 5 只鸽子飞进只鸽子飞进 4 个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽子。只鸽子。 抽屉原理抽屉原理 2：将多于：将多于 mn 件的物品任意放到件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于于 m+1。 例例：如果将如果将 13 只鸽子放进只鸽子放进 6 只鸽笼

4、里只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放那么至少有一只笼子要放 3 只或更多的鸽子只或更多的鸽子。道理很简道理很简 单。如果每只鸽笼里只放单。如果每只鸽笼里只放 2 只鸽子，只鸽子，6 只鸽笼共放只鸽笼共放 12 只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪 只鸽笼里，总有一只鸽笼放了只鸽笼里，总有一只鸽笼放了 3 只鸽子。只鸽子。 专题精讲专题精讲 、抽屉原理的典型应用、抽屉原理的典型应用 解题思路：解题思路：做抽屉问题关键是确定做抽屉问题关键是确定 “抽屉抽屉”和和“苹果苹果” ，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者 为为“苹果苹果”

5、 ，数量较少者为，数量较少者为“抽屉抽屉” 。 苹果苹果抽屉商抽屉商余数，得到的结论为：至少有一余数，得到的结论为：至少有一 个抽屉里有（商个抽屉里有（商1 1）个苹果。）个苹果。 想挑战吗？ 给正方形涂上红色或蓝色的油漆，试证：正方形至少有三个面被给正方形涂上红色或蓝色的油漆，试证：正方形至少有三个面被 涂上相同的颜色涂上相同的颜色. 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲学生版Page 2 of 5 【例【例 1】 （）证明）证明： （1）任意）任意 28 个人中，至少有个人中，至少有 3 个人的属相相同个人的属相相同。 （2

6、）要想保证至少）要想保证至少 4 个人个人 的属相相同，至少有几个人？（的属相相同，至少有几个人？（3）要想保证至少）要想保证至少 5 个人的属相相同，但不能保证有个人的属相相同，但不能保证有 6 个人的个人的 属相相同，那么总人数应该在什么范围内？属相相同，那么总人数应该在什么范围内？ 、最不利原则、最不利原则 解题思路解题思路：有些题目中没有明显的有些题目中没有明显的“苹果苹果”与与“抽屉抽屉” ，在解决问题时在解决问题时，需要要从问题的最差状态着手需要要从问题的最差状态着手， 才能满足题目的要求。才能满足题目的要求。 【例【例 2 2】 （）一副扑克牌，共一副扑克牌，共 54 张，问：至

7、少从中摸出多少张牌才能保证张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证 （1 1）至少有）至少有 5 张牌的花色相同；（张牌的花色相同；（2 2）四种花色的牌都有；（）四种花色的牌都有；（3 3）至少有）至少有 3 张牌是红桃。张牌是红桃。 （4 4）至少从中取出几张牌，才能保证至少有至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张梅花牌和张梅花牌和 3 张红桃。张红桃。 【例【例 3 3】 （）奥数网竞赛班选拔考试，共有）奥数网竞赛班选拔考试，共有 1123 名同学参加，小明说名同学参加，小明说： “至少有至少有 10 名同学来自名同学来自 同一个学校同一个学校。 ”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个

8、学校参加了这次入学考试？如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？ 【例【例 4 4】 （）有一个布袋中有有一个布袋中有 4040 个相同的小球个相同的小球，其中编上号码其中编上号码 1 1、2 2、3 3、4 4 的各有的各有 1010 个个，问问：一一 次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有 3 3 个小球的号码相同？个小球的号码相同？ 【例【例 5 5】 （）将将 400400 本书随意分给若干同学本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过但是每个人不许超过 1111 本本，问问：至少有多少个同至少有多少个同 学分到的书的本

9、数相同？学分到的书的本数相同？ 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲学生版Page 3 of 5 、构造抽屉解决问题、构造抽屉解决问题 解题思路解题思路：有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图有些问题没有明确的给出抽屉的数量，这就需要我们应用以前学过的枚举、排列组合、图 形计数的知识构造出抽屉来解决问题形计数的知识构造出抽屉来解决问题，这是一类比较综合性的问题这是一类比较综合性的问题，需要大家细心的来构造需要大家细心的来构造 抽屉。抽屉。 【例【例 6 6】 在任意的五个自然数中，是否其中

10、必有三个数的和是在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 3 的倍数？的倍数？ 【例【例 7 7】 （）新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给 人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不见颜色），结果发现总有 3 3 个个 人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有几人？人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有几人？ 【例【例 8 8】 （）有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗各一面，取其中的一面小旗

11、或者多面小旗由上而有红、黄、蓝、绿四种颜色的小旗各一面，取其中的一面小旗或者多面小旗由上而 下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同的顺序表示不同的信号，如：挂出红、黄颜色小下挂在旗杆上作为信号（挂多面小旗时，不同的顺序表示不同的信号，如：挂出红、黄颜色小 旗时，红、黄与黄、红表示不同的信号），问：（旗时，红、黄与黄、红表示不同的信号），问：（1 1）共有多少种不同的信号？（）共有多少种不同的信号？（2 2）如果某天）如果某天 发出发出 323323 种信号，那么这天必定出现某种相同的信号多少次种信号，那么这天必定出现某种相同的信号多少次 【例【例 9 9】 （）把把 1、2、3、10 这十个

12、数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻 的三个数之和不小于的三个数之和不小于 17。 【例【例 1010】（）能否在能否在 10 行行 10 列的方格表的每个空格中分别填上列的方格表的每个空格中分别填上 1，2，3 这这 3 个数之一，个数之一， 而使大正方形的每行，每列及对角线上的各个数字和互不相同？对你的结论加以说明而使大正方形的每行，每列及对角线上的各个数字和互不相同？对你的结论加以说明. 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲学生版Page 4 of 5 专题

13、展望专题展望 抽屉原理的结论虽然简单，但这一类题目与数学中数论问题、图形计数、逻辑推理等分支都有结合，抽屉原理的结论虽然简单，但这一类题目与数学中数论问题、图形计数、逻辑推理等分支都有结合， 随着大家对这些数学知识具体的掌握，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。随着大家对这些数学知识具体的掌握，解决抽屉原理的问题也会更加得心应手。 练习九练习九 1、 （） 证明证明： （1）任意任意 32 个人中个人中，至少有至少有 3 个人是在同一个月出生个人是在同一个月出生。 （2）要想保证至少要想保证至少 3 个人是个人是 在同一个月出生，至少有几个人？（在同一个月出生，至少有几个人？（3）要想保证至少

14、）要想保证至少 5 个人是在同一个月出生，但不能保证有个人是在同一个月出生，但不能保证有 6 个个 人是在同一个月出生，那么总人数应该在什么范围内？人是在同一个月出生，那么总人数应该在什么范围内？ 2、 （） 布袋中有布袋中有 5 5 种不同颜色的小球共种不同颜色的小球共 6060 个个，其中每种颜色各有其中每种颜色各有 1212 个个，问问：一次至少要取出多一次至少要取出多 少个小球，才能保证其中至少有少个小球，才能保证其中至少有 5 5 个小球的颜色相同？个小球的颜色相同？ 3、 （） 52 张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花 4 种花色各种花色各 13 张，

15、问：张，问： 至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少 2 张。张。 至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少 5 张。张。 至少从中取出几张牌，才能保证有至少从中取出几张牌，才能保证有 4 种花色的牌。种花色的牌。 至少从中取出几张牌，才能保证至少有至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张梅花牌和张梅花牌和 3 张红桃。张红桃。 至少从中取出几张牌，才能保证至少有至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张牌的数码（或字母）相同。张牌的数码（或字母）相同。 4、 （）体育用品的仓库里有

16、许多足球体育用品的仓库里有许多足球，排球和篮球排球和篮球，有有 6666 个同学来仓库拿球个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿要求每个人至少拿 一个最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？一个最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？ 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级精英班第九讲学生版Page 5 of 5 5、 （）在边长为）在边长为 3 的正三角形内，任意放入的正三角形内，任意放入 10 个点，求证：必有个点，求证：必有 2 个点的距离不大于个点的距离不大于 1。 6、 在在 8 88 8 的方格

17、纸中的方格纸中， 每个方格纸内可以填上每个方格纸内可以填上 1 14 4 四个自然数中的任意一个四个自然数中的任意一个， 填满后对每个填满后对每个 2 22 2 “田田” 字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？ 数学知识数学知识 芝诺悖论芝诺悖论-阿基里斯追龟阿基里斯追龟 古希腊数学家芝诺（约公元前古希腊数学家芝诺（约公元前 490 年至约前年至约前 425 年）提出了一个著名的悖论：阿基里斯（荷马史诗年）提出了一个著名的悖论：阿基里斯（荷马史诗 中的赛跑英雄中的赛跑英雄）和乌龟举行了一场赛跑和乌龟举行了一场赛跑，并让乌龟先

18、跑并让乌龟先跑 100 米米，假定阿基米斯的速度是乌龟的假定阿基米斯的速度是乌龟的 10 倍倍，现现 在在，比赛开始了比赛开始了，当阿基里斯跑了当阿基里斯跑了 100 米米，到达乌龟的出发点时到达乌龟的出发点时，乌龟又向前跑了乌龟又向前跑了 10 米米，当阿基里斯又当阿基里斯又 追上追上 10 米米，乌龟又向前跑了乌龟又向前跑了 1 米米。 。 。如此继续下去如此继续下去，因为阿基米斯必须先到乌龟原来的位置因为阿基米斯必须先到乌龟原来的位置，所以乌龟所以乌龟 总在阿基米斯的前面，由此可得：阿基米斯永远追不上乌龟！总在阿基米斯的前面，由此可得：阿基米斯永远追不上乌龟！ 这个结论显然是错误的。亲爱的小朋友，你知道芝诺的这个谬论错在哪吗？这个结论显然是错误的。亲爱的小朋友，你知道芝诺的这个谬论错在哪吗？