新高一数学暑期衔接教材整套讲义(共20讲).doc
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1、1 主主题题 集合的基本概念 教学内容教学内容 1. 使学生初步了解“属于”关系的意义; 2. 使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3. 掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法) 。. 一、集合的概念一、集合的概念 1、看图片 一群大象在喝水;一群鸟在飞翔;一群学生在热烈欢迎来宾 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是一群大象、一群鸟、一群学生) 对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念集合,即是一些研究对象的总体。 2、观察下列对象: 120 以内的所有质数; 我国从 19912003 年的 13 年内所发射的所有人造卫星 金星汽车厂
2、 2003 年生产的所有汽车; 2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家; 所有的正方形; 到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; 方程 x2+3x2=0 的所有实数根; 2 新华中学 2004 年 9 月入学的所有的高一学生。 这里师生共同概括 8 个例子的特征,得出结论,然后给出集合的含义:一般地,某些指定的对象集在一 起就成为一个集合,也简称集。把研究对象统称为元素,常用小写字母啊 a,b,c.表示,把一些元素组成 的总体叫做集合,常用大写字母 A,B,C.来表示。 3、情景: 在准高一学生的训练场上,教导员说了这样一句话:“你们之中的高个同学站在第一排”,这个
3、时候,大 家都往后撤了一步,这是为什么呢? 反过来,教导员又说:“你们之中矮个的同学站在第一排”,可是呢,同学们还是都往后撤了一步。这个时 候,教导员就不解了:这是为什么呢? 这个列子也可以当堂老师问:那个学生学习好,请举手,那个学生学习差,请举手。学生应该都不会举手的 , 和上面的例子是一样的,这里面没有衡量标准。如果老师说谁中考考 140 分以上请举手,这样就可能有人举 手了。通过这个例子再结合集合的定义,说明什么是指定的对象。 4、小问答: (1)A=1,3,3、5 哪个是 A 的元素? (2)B=身材较高的人,能否表示成集合? (3)C=1,1,3表示是否准确? (4)D=中国的直辖市
4、,E=北京,上海,天津,重庆是否表示同一集合? (5)F=a,b,c与 G=c,b,a这两个集合是否一样? (1)1,3 是 A 的元素,5 不是 (2)我们不能准确的规定多少高算是身材较高,即不能确定集合的元素,所以 B 不能表示集合 (3)C 中有二个 1,因此表达不准确 (4)我们知道 E 中各元素都是属于中国的直辖市,但中国的直辖市并不只有这几个,因此不相等。 (5)F 和的元素相同,只不过顺序不同,但还是表示同一个集合 通过上述分析引导学生自由讨论、探究概括出集合中各种元素的特点,并让学生再举出一些能够构成集合的 例子以及不能构成集合的例子,要求说明理由。师生一起得出集合的特征: 1
5、)确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必有一 种且只有一种成立. 3 2)互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 3)无序性:集合中的元素没有顺序 4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样 二、二、集合与元素的关系集合与元素的关系 【问题】高一(4)班里所有学生组成集合 A,a 是高一(4)班里的同学,b 是高一(5)班的同学,a、b 与 A 分别有什么关系? 引导学生思考上述问题,发表学生自己的看法。 得出结论:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 aA。 如果 b 不是集合 A 的元素,就说 b 不属于集合 A,记作
6、bA。 再让学生举一些例子说明这种关系。 熟记数学中一些常用的数集及其记法 符号名称含义 N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合 N*或 N+正整数集所有正整数组成的集合 Z整数集全体整数组成的集合 Q有理数集全体有理数组成的集合 三、集合的表示方法三、集合的表示方法 列举法:将集合中的元素一一列出来(不考虑元素的顺序) ,并且写在大括号内,这种表示集合的方法叫 做列举法列举法; 描述法:在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线后面写上集合中元素所 共同具有的特性,即: Ax xp满足的性质 ,这种表示集合的方法叫做描述法描述法. (采用教师引导,学生轮流回答的形式)
7、(采用教师引导,学生轮流回答的形式) 例 1. 下面给出的四类对象中,构成集合的是(D) A.某班个子较高的同学B.相当大的实数 C.我国著名数学家D.倒数等于它本身的数 试一试:下列各项中,不可以组成集合的是(C) 4 A所有的正数B等于 2 的数C接近于 0 的数D不等于 0 的偶数 例 2. 下列八个关系式 0=00 00, 00其中正确的个数(A) (A)4(B)5(C)6(D)7 试一试:若集合* 1 6 |N x ZxS ,用列举法表示集合 S。 答案:S=2,3,4,7 这个题对于刚开始接触集合的学生来说难度较大,老师也要强调一下记住几个特殊集合的重要性。 例 3. 用列举法表示
8、下列集合: (1)不大于 10 的非负偶数集; (2)自然数中不大于 10 的质数集; (3)方程x2+2x-15=0的解。 (1)0,2,4,6,8(2)2,3,5,7(3)-3,5 例 4. 用描述法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集: (1)所有被 2 整除的数; (2)坐标平面内,x 轴上的点的集合; (1)2 ,x xk kZ; (2)( , )0,x y xyR两个都是无限集 这里老师可以向学生简单讲解点集的表示,同时也介绍一下集合的分类:有限集,无限集,空集重点介绍空 集的符号与表示,这个在下节课中也会重点讲解。 (学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解) 1.
9、用符号或填空: (1)2_N(2)2_Q(3)0_ (4)0_ 0(5)b_, ,a b c(6)0_ * N 答案: 2. 写出下列集合中的元素(并用列举法表示) : (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合答案: 2 5 (2)大于 10 而小于 20 的合数组成的集合答案:12,14,15,16,18 3. 用描述法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数所构成的集合 答案:|51,x xkkN (2)平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 答案:( , )|0,x yxyxyRR (3)函数 2 21yxx的图像上所有的点 答案: 2 ,|21,x yyxxxyRR (4)
10、 1 2 3 4 5 , , 3 4 5 6 7 答案: * ,5 2 n x xnn n N 4. 用列举法表示下列集合: (1),|5,x yxyxyNN答案: 0,5 , 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 , 5,0 (2) 2 230,x xxxR答案:3, 1 (3) 2 230,x xxxR答案: (3) 12 , 5 xx x NZ答案:7, 1,1,3,4 5. 设 A=x|ax+1=0,02| 2 xxxB,若BA ,求实数 a 的值。 答案:由已知得:B=1,-2BA ,A=或 A=1或 A=-2,由 A=得 a=0;由 A=1得 a=-1; 由 A=-2得 a=
11、1/2。 a 的值为 0 或-1 或 1/2。 本节课主要知识点:集合的性质,集合的表示方法,元素与集合的关系 . 6 【巩固练习】 1. 下列关系中正确的是()B A0(0,1)B00,1C1(0,1)D 1 01, 2. 已知集合 Sa,b,c中的三个元素可构成ABC 的三边长,那么ABC 一定不是()D A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形 3. 下列命题中正确的是()C A0是空集BN x 6 |Qx是有限集 C02xx|Qx 2 是空集D集合 N 中最小的数是 1 4. 已知 A2,0,1,Bx|x|y|,yA,则集合 B=_0,1,2 5. 已知 A1,3,a,B1,a
12、2a1,且 AB,则 a 的值为_2 或1 6. 已知含有三个元素的集合 M=x,xy,x-y,N=0,|x|,y且 M=N,求 x、y 的值。 0N,M=N,0M,集合 M 为含三个元素的集合,xxy,x0 0N,yN,根据元素的互异性,y0,因此,在集合 M 中,只有 x-y=0 x=y,所以集合0 , 2 xxM ,集合 N=0,|x|,x,| 2 xx ,x=0,x=1 又据元素的互异性可得 x=-1,y=-1。 【预习思考】 1. 思考:实数有相等.大小关系,如 5=5,57,53 等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么 关系呢? 2. 观察下面几个例子,你能发现两个集合间
13、有什么关系了吗? (1)1,2,3,1,2,3,4,5AB; (2)设 A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合; (3)设 |, |;Cx xDx x是两条边相等的三角形是等腰三角形 (4)2,4,6,6,4,2EF. 7 主主题题 集合的运算 教学内容教学内容 1. 理解集合的相等和包含关系及其关系符号; 2. 掌握集合的交、并、补等运算,知道有关的基本运算性质; 3. 会求几个集合的交集和并集,会求已知集合的补集. (以提问的形式回顾)(以提问的形式回顾) 一、集合与集合的关系一、集合与集合的关系 1. 思考:实数有相等.大小关系,如 5=5,57,
14、53 等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么 关系呢? 让学生自由发言,教师不要急于做出判断。而是继续引导学生;欲知谁正确,让我们一起来观察研探. 2. 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1)1,2,3,1,2,3,4,5AB; (2)设 A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合; (3)设 |, |;Cx xDx x是两条边相等的三角形是等腰三角形 (4)2,4,6,6,4,2EF. 组织学生充分讨论.交流,使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系,从而类比得出两个集合之间的关 系: 一般地,对于两个集合 A,B,如果集
15、合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合 有包含关系,称集合 A 为 B 的子集. 记作:()ABBA或 读作:A 含于 B(或 B 包含 A). 如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等. 教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处,强 化学生对符号所表示意义的理解。并指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部 代表集合,这种图称为 Venn 图。如图 l 和图 2 分别是表示问题 2 中实例 1 和实例 3 的 Venn 图. B A(B) 8 图 1图 2 3. 与实数中的结论“若,abb
16、aab且则”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比,思考得出结论: 若,ABBAAB且则. 4. 请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例,并用 Venn 图表示. 学生主动发言,教师给予评价. 5. 通过阅读书本回答下列问题: (1)集合 A 是集合 B 的真子集的含义是什么?什么叫空集? (2)集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? (3)0,0与三者之间有什么关系? (4)包含关系 aA与属于关系aA正义有什么区别?试结合实例作出解释. (5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? (6)能否说任何一人集合是它
17、本身的子集,即AA? (7)对于集合 A,B,C,D,如果 AB,BC,那么集合 A 与 C 有什么关系? 老师巡视指导,解答学生在自主学习中遇到的困惑过程,然后让学生发表对上述问题看法. 练习:某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格。若用 A 表示合格产品,B 表示质量合格 的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合则下列包含关系哪些成立? ,AB BA AC CA 试用 Venn 图表示这三个集合的关系。 二、集合的运算二、集合的运算 1. 请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗? (1)A=1,3,5,B=2,4,6,C=1,2,3,4,5
18、,6; (2)A=x|x 是有理数,B=x|x 是无理数,C=x|x 是实数. 2. 如图甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别同集合 A、集合 B 有什么关系? 观察集合 A 与 B 与集合 C=1,2,3,4之间的关系. 通过总结,回答下列问题: 已知集合 A=1,2,3,B=2,3,4,写出由集合 A,B 中的所有元素组成的集合 C. 9 已知集合 A=x|x1,B=x|x0,在数轴上表示出集合 A 与 B,并写出由集合 A 与 B 中的所有元素组成的集 合 C. 并集:并集:由所有属于集合A属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集。 即:BA。 3. 请同学们考察下面的问题,
19、集合 A 与 B 与集合 C 之间有什么关系? A=2,4,6,8,10,B=3,5,8,12,C=8; 类比集合的并集,请给出集合的交集定义? 交集:交集:由所有属于集合A属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集。 即:BA。 4. 全集全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U表 示。 5. 补集:补集:设S是一个集合,A是S的子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补 集。即:ACS。 (采用教师引导,学生轮流回答的形式)(采用教师引导,学生轮流回答的形式) 例 1. 设集合 Ax|x21,Bx|x 是不大于 3 的
20、自然数,AC,BC,则集合 C 中元素最少有() A2 个B4 个 C5 个D6 个 试一试:如果集合 A 满足0,2A1,0,1,2,则这样的集合 A 个数为() A5B4C3D2 例 2. 设 A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求 AB,AB. 试一试: 1. 集合 M=1,2,3,N=-1,5,6,7,则 MN=_.MN=_. 2. 集合 P=1,2,3,m,M=m2,3,PM=1,2,3,m,则 m=_. 10 例 3.设 A=x|-1x2,B=x|1x3,求 AB,AB. 试一试: 1.设 A=x|2x-40,求 AB,AB. 2.设 A=x|2x-4=2,B=x|2x-4=0
21、,求 AB,AB. 例 4. 已知全集 3 ,11 ,0 2 x UR Ax xBx x , 求: (1)AB;(2)()() UU C AC B 例 5. 已知 Ax|x2,Bx|4xa0,集合 B=m|f(x)=log24x2+4(m-2)x+1的定义域为 R, (1)若集合 CAB 且 C=m,m+ 2 1 ,求 m 的取值范围. (2)设全集 U=m|m 2 3 ,求 A UB. 12 本节课主要知识点:集合与集合的关系,集合的运算 【巩固练习】 1已知全集 U1,2,3,4,5,且 A2,3,4,B1,2,则 A(CUB)等于() A2B5C3,4D2,3,4,5 2已知全集 U0,
22、1,2,且 CUA2,则 A() A0B1CD0,1 3. 已知全集 U2,3,a2a1,A2,3,若 CUA1,则实数 a 的值是_ 4. 设集合 Ax|xm0, Bx|2x4, 全集 UR, 且(CUA)B, 求实数 m 的取值范围为_ 5. 已知集合 Ax|2a2xa,Bx|1x0 x,0y,则1,-1xy且,则+ 0 x y,写出它的四种形式并判断真假。 解:逆命题:若+ 0 x y,则1,-1xy且。假命题。 否命题: 若1,-1x 或y,则+0 x y 。假命题。 逆否命题:若+0 x y ,则1,-1x 或y。真命题。 试一试:写出命题“已知abcdR、 、 、,若=a bc d
23、,则=ac bd”的其他三种形式。 解:逆命题:已知abcdR、 、 、,若=ac bd,则=a bc d,。假命题 否命题:已知abcdR、 、 、,若ab或cd,则acbd。 假命题 逆否命题:已知abcdR、 、 、,若acbd,则ab或cd。 真命题 18 例 3. 已知Rxy、, “+ =+x yxy”是“0 xy”的什么条件? 解:必要非充分。 说明:写成命题形式,判断原命题及其逆命题的真假即可。 例 4. 证明:0ac是关于x的一元二次方程 2+ + =0axbx c有两个不同的实数根的充分非必要条件。 解:充分性:若0,方程有两个不同的实数根。 非必要性:当方程有两个不同的实数
24、根,则0,而不仅仅是0ac。 说明:证明非必要性,只需证明不成立即可。 (学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解) 1. 设:05px,:25q x,那么p是q的()A A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 2. 从“充分不必要条件” , “必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空: (1) “ 2 00axbxca有实根”是“0ac ”的_;必要不充分条件 (2) “ABCABC ”是“ABCABC ”的_ 充分不必要条件 3. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题 (1)若0a ,则0ab ; (2)若ba ,则ba 解:逆命题:若0a
25、b ,则0a 。 否命题:若0a ,则0ab 。 逆否命题:若0ab ,则0a 。 4. 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假 (1)对顶角相等; (2)四条边相等的四边形是正方形 解: (1)若两个角是对顶角,则它们相等.真命题 逆命题:若两个角相等,它们是对顶角. 假命题 否命题:若两个角不是对顶角,则它们不相等. 假命题 19 逆否命题:若两个角不相等,则它们不是对顶角. 真命题 (2)若四边形的四条边都相等,则这个四边形是正方形。 假命题 逆命题:若四边形是正方形,则四条边相等。 真命题 否命题:若四边形的四条边不相等,则这个四条
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