第25讲 三角函数的图象及性质1.docx

1、第二十五讲：三角函数的图象与性质 【学习目标】 1、熟悉三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最值。 2、会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期。 【重点、难点】 重点：理解正弦函数,余弦函数在0,2上的性质。 难点：正余弦函数性质的综合应用。 【知识梳理】 1、用五点法作正弦、余弦函数的简图（描点法） （1）sinyx的图象在0,2上的五个关键点坐标为_、_、_、 _、_. （2）cosyx的图象在0,2上的五个关键点坐标为_、_、_、 _、_. 2、三角函数的图象、性质 正弦函数余弦函数正切函数 图像（画出 两个周期的 草图） 定义域 值域 奇偶性 周期 对

2、称轴 对称中心 单调区间 【典题分析】 题型一题型一: :三角函数的周期三角函数的周期 例例 1 1、 2 ( )(1 cos2 )sin,f xxx xR则( )f x是（） A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为 2 的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数D. 最小正周期为 2 的偶函数 【方法规律【方法规律】（1）先化简； （2）掌握一些简单函数的周期.如： sin()y Ax的周期为 2 | ；cos()yAx的周期为 2 | ； tan()yAx的周期为 | |sin |yx的周期为；|tan |yx的周期为 【题组练习】 1、（2016 山东） 函数( )( 3sincos )

3、( 3cossin )f xxxxx的最小正周期是 （） A 2 BC 3 2 D2 2、 （2019全国）下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ，) 2 单调递增的是() A( ) |cos2 |f xxB( ) |sin2 |f xxC( )cos|f xxD( )sin |f xx 3、 （2018新课标，文 6）函数 2 tan ( ) 1 x f x tan x 的最小正周期为() A 4 B 2 CD2 题型二：三角函数的单调性题型二：三角函数的单调性 例 2：已知函数 (sincos )sin2 ( ) sin xxx f x x ， （1）求( )f x的定义域及最小正周期

4、； （2）求( )f x的单调递减区间. 【方法规律】【方法规律】 函数sin()(0,0)yAxA的单调区间的确定， 其基本思想是把x看做一个 整体，比如：由2 2() 22 kxkkZ 解出x的范围，所得区间即为增区间，由 2 2 k 3 2() 2 xkkZ 解出x的范围，所得区间即为减区间. 若 函 数sin()yAx中0,0A， 可 用 诱 导 公 式 将 函 数 变 成 sin()yAx 则sin()yAx 的增区间为原函数的减区间， 减区间为原函数 的增区间. 对函数cos(),tan()yAxyAx等的单调性的讨论同上。 【题组练习】 1、函数( )tan() 4 f xx 的

5、单调递增区间为 2、函数( )cos(2 ) 4 f xx 的单调递减区间为 3、 （2018新课标，文 10）若( )cossinf xxx在0，a是减函数，则a的最大 值是() A 4 B 2 C 3 4 D 4、 （2012 全国卷，理 9）已知0，函数( )f x=sin() 4 x 在（ 2 ，）单调 递减，则的取值范围是（） A 1 2 ， 5 4 B 1 2 ， 3 4 C(0， 1 2 D(0，2 题型三：题型三： 三角函数的奇偶性及对称性三角函数的奇偶性及对称性 例 3、 （1）若函数 sin0,2 3 x y 是偶函数，则 （） . 2 A 2 . 3 B 3 . 2 C

6、5 . 3 D （2）下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 3 x 对称的是（） .sin 2 3 A yx .sin 2 6 B yx .sin 2 6 C yx .sin 26 x D y 【方法规律】【方法规律】 1函数sin()yAx为奇函数,.kkZ函数sin()yAx为偶函 数,. 2 kkZ 2函数cos()yAx为偶函数,.kkZ函数cos()yAx为奇 函数,. 2 kkZ 【题组练习】 1、(2018 江苏)已知函数sin(2)() 22 yx 的图象关于直线 3 x 对称， 则的值是 2、（2015 四川） 下列函数中， 最小正周期为且图象关于原点对称的函数是 （）

7、 Acos(2) 2 yx Bsin(2) 2 yx C sin2cos2yxx D sincosyxx 3、设函数( )f x=sin(2)cos(2) 44 xx ，则y=( )f x A.在（0， 2 ）单调递增，其图像关于直线x= 4 对称 B.在（0， 2 ）单调递增，其图像关于直线x= 2 对称 C. 在（0， 2 ）单调递减，其图像关于直线x= 4 对称 D. 在（0， 2 ）单调递减，其图像关于直线x= 2 对称 4、（2020 全国文 12 理 16）已知函数 1 sin sin f xx x ，则 （） A fx的最小值为2B fx的图像关于y轴对称 C fx的图像关于直线

8、x 对称D fx的图像关于直线 2 x 对称 题型四：题型四： 三角函数的最值与值域三角函数的最值与值域 例 4、 （2017 全国卷 2，理 14）求函数 2 3 sin3cos 4 fxxx0, 2 x 的最 大值 【方法规律】【方法规律】 sincossin()y axbxcyx=（1）形如的三角函数化为 的形式， 再求最值。 2 sinsiny axbxc=（2）形如的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t 的二次 函数求最值（值域） 【题组练习】 1、 （2018新课标，文 8）已知函数 22 ( )2cossin2f xxx，则() A( )f x的最小正周期为，最大值为 3 B

9、( )f x的最小正周期为，最大值为 4 C( )f x的最小正周期为2，最大值为 3 D( )f x的最小正周期为2，最大值为 4 2、 （2019全国卷，文 15）函数 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx 的最小值为 3、已知函数 11 ( )(sincos )|sincos| 22 f xxxxx 则( )f x的值域是（） A. 1,1B. 2 ,1 2 C. 2 1, 2 D. 2 1, 2 4、已知函数 2 3 cossin3cos, 34 fxxxxxR （1）求 fx的最小正周期； （2）求 fx的单调区间； （3）求 fx在闭区间, 4 4 上的最大值和最小值。