第15期：函数压轴大题之隐零点问题.pdf

1、1 函数压轴大题之隐零点问题 有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元 以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题. 类型一根据隐零点化简求范围类型一根据隐零点化简求范围 典例 1.典例 1. 已知函数( )lnf xaxxx的图像在点xe(其中e为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. （1）求实数a的值； （2）若kZ，且 ( ) 1 f x k x 对任意1x 恒成立，求k的最大值； 2 【解析】 （1） 1 lnfxax ，由( )3f e 解得1a ； （2）( )lnf xxxx， ( )ln ( ) 11 f xxxx kg x

2、xx ， 2 2ln ( ) (1) xx g x x ， 令( )2lnh xxx，有 1 ( )10h x x ，那么( )(1)1h xh .高中资料分享 QQ 群：608396916 不妨设 0 ()0h x，由(3)0h，(4)0h，则可知 0 (3,4)x ，且 00 ln2xx. 因此，当 0h x 时， 0gx ， 0 xx；当 0h x 时， 0gx ， 0 xx； 即可知 0000 00 min 00 (ln1)(1) ( )() 11 xxxx g xg xx xx ， 所以 0 kx，得到满足条件的k的最大正整数为 3. 类型二类型二根据隐零点分区间讨论根据隐零点分区间

3、讨论 典例 2 已知函数 2 ( )2 ln(0)f xxtxt，t为何值时，方程( )2f xtx有唯一解. 【解析】 22 2 ln22 (ln )xtxtxt xxx，当ln0 xx时，有tR； 设( )lnu xxx， 1 ( )10u x x ；又(1)10u， 11 ( )10u ee ，不妨 设 00 ln0 xx， 则 可 知 0 1 ( ,1)x e .当ln0 xx时 ， 得 到 2 2( ) ln x tg x xx ； 2 22 2 ln(12ln ) ( ) (ln )(ln ) xxxxx xx g x xxxx ， 令( )12lng xxx ， 易知(1)0g，

4、 且1x 时，( )0g x ；1x 时，( )0g x ； 综上可知( )g x在区间 00 (0,),(,1)xx上为减函数，在区间(1,)上为增函数； 画图函数图像：因此，可知所求t的范围为(,0)1.高中资料分享 QQ 群：608396916 3 类型三类型三根据隐零点构造新函数根据隐零点构造新函数 典例 3已知函数 2 1 x f xexax ，当0 x 时， 0f x ，求实数 a 的取值范围 【解析】 1 2 x fxeax ，首先，当0a 时，在0,)上 0fx 恒成立，则有 00f xf 其次，当0a 时，令 x g xe， 21h xax，由题 1 可知，当021a，即 1

5、 0 2 a时， g xh x此 时 0fx ,同样有 0f x 再者，当 1 2 a 时，函数 yg x与 yh x相交于点0,1和 00 ,xy同时， 当 0 0,xx时， 0fx ；当 0, xx时， 0fx . 即可知 0 2 000 min 1 x f xf xexax ，将 0 0 1 2 x eax 代入得到：高中资料分享 QQ 群：608396916 0 0 000 1 1 2 x x e f xexx 0 0 x ，令 1 1 2 x x e F xexx 0 x ，则 11 2 x ex Fx 又由变式 2 可知1 x xe ，那么 1 0 2 xx ee Fx ，即 F

6、x在区间0,上递减，因此 有 0 00f xf，与 0f x 矛盾，故 1 2 a 不合题意 综上可知，满足题意的实数 a 的取值范围为 1 (, 2 4 强化训练强化训练 1已知函数?(?) = ? e? ?(ln? + ?)，?(?) = ? + 1 ?.（?,? ?且为常数，?为自然对数的底） （1）讨论函数?(?)的极值点个数； （2）当? = 1 时，?(?) ?(?)对任意的? (0, + )恒成立，求实数?的取值范围. 【解析】【解析】 （1）?(?)的定义域为(0, + )，高中资料分享 QQ 群：608396916 ?(?) = (? + 1)? ? 1 ? + 1 = ?+

7、1 ? ? ? ，因为函数? = (?)= ?+ ? 0 在(0, + )上恒成立， 所以函数? = ?在区间(0, + )上单调递增，且值域为(0, + )， 当? 0 时，? ? 0 在区间(0, + )上恒成立，即?(?) 0，故?(?)在(0, + )上单调递增， 所以无极值点； 当? 0 时，方程? ? = 0 有唯一解，设为?0?0 0 ， 当 0 ? ?0时，?(?) ?0时，?(?) 0，函数?(?)单调递增， 所以?0是函数?(?)的极小值点，即函数?(?)只有 1 个极值点. （2）当? = 1 时，不等式?(?) ?(?)对任意的? (0, + )恒成立， 即? ln?

8、1 (? + 1)?对任意的? (0, + )恒成立， 即? ln?+1 ? ? + 1 对任意的? (0, + )恒成立， 记?(?) = ? ln?+1 ? ， ?(?) = ?+ ln? ?2 = ?2?+ln? ?2 ， 记(?) = ?2?+ ln?， 因为(?) = 2?+ ?2?+ 1 ? 0 在? (0, + )恒成立，所以(?)在(0, + )上单调递增，且( 1 ? ) = ( 1 ? )2? 1 ? 1 = ? 1 ?2 1 0， 所 以存在?0 1 ? ,1 使得 ?0= 0，且? 0,?0时，(?) 0，?(?) 0，?(?) 0，函数?(?)单调递增；. 所以?(?

9、)min= ? ?0，即?(?)min= ?0 ln?0+1 ?0 ，又因为 ?0= 0 ?0 2?0 = ln?0， ?0?0= ln?0 ?0 ， ?0?0= ln 1 ?0 ? ln 1 ?0， 所以?0 = ln 1 ?0， 因此?(?)min = ?0 ln?0+1 ?0 = ?0?0ln?01 ?0 = 1+?01 ?0 = 1， 所以 1 ? + 1，解得? 0.综上，实数?的取值范围是( ,0. 5 2已知?(?) = ? 1 2 (ln?)2 ?ln? 1 (? ?). （1）若?(?)是(0, + )上的增函数，求?的取值范围； （2）若函数?(?)有两个极值点，判断函数?

10、(?)零点的个数. 【解析【解析】 （1）由?(?) = ? 1 2 (ln?)2 ?ln? 1 得?(?) = ?ln? ? ， 由题意知?(?) 0 恒成立，即? ln? ? 0，设?(?) = ? ln? ?，?(?) = 1 1 ?， ? (0,1)时?(?) 0，?(?)递增； 故?(?)min= ?(1) = 1 ? 0，即? 1，故?的取值范围是( ,1.高中资料分享 QQ 群：608396916 （2）当? 1 时，?(?)单调，无极值；当? 1 时，?(1) = 1 ? 0，且?(?)在(0,1)递减，所以?(?)在区间 ?,1 有一个零点. 另一方面，? ?= ? 2?，设

11、?(?) = ? 2? (? 1)，则?(?) = ? 2 0，从而?(?) 在(1, + )递增，则?(?) ?(1) = ? 2 0，即? ? 0，又?(?)在(1, + )递增，所以 ?(?)在区间 1,?有一个零点.因此， 当? 1 时?(?)在 ?,1 和 1,?各有一个零点， 将这两个零点记为?1， ?2?1 1 0，即?(?) 0；当? ?1,?2时?(?) 0，即 ?(?) 0，即?(?) 0：从而?(?)在 0,?1递增，在 ?1,?2 递减，在 ?2, + 递增；于是?1是函数的极大值点，?2是函数的极小值点. 下面证明：? ?1 0，? ?2 0 高中资料分享 QQ 群：

12、608396916 由?1= 0 得?1 ln?1 ? = 0，即? = ?1 ln?1，由? ?1 = ?1 1 2 ln?1 2 ?ln?1 1 得? ?1= ?1 1 2 ln?1 2 ?1 ln?1ln?1 1 = ?1+ 1 2 ln?1 2 ?1ln?1 1， 令?(?) = ? + 1 2 (ln?)2 ?ln? 1，则?(?) = (1?)ln? ? ， 当? (0,1)时?(?) ?(1) = 0，而?1 0； 当? (1, + )时?(?) 0，?(?)递减，则?(?) 1，故? ?2 0； 一方面，因为? ?2?= ?2? 1 0，且?(?)在 0,?1递增，所以?(?)

13、在 ?2?,?1上有一个零点，即?(?)在 0,?1上有一个零点. 另一方面，根据? 1 + ?(? 0)得? 1 + ?，则有： ? ?4?= ?4? 12?2 1 (1 + ?)4 12?2 1 = ?4+ 4? ? 3 4 2 + 7 4 ? 0， 又? ?2 1|时，(?)0 恒成立，求?的所有取值集合与?的关系； （） 记?(?) = ?(?) ? ? ?(?) ? 2? ， 是否存在? ?+， 使得对任意的实数? (?, + )， 函数?(?)在(1, + )上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数?，若不存在，请说明理由. 【解析【解析】 （1）由题意，可得(?) =

14、 ?(?) ?(?) = ?ln? ln? ? + ?， 则(?) = ln? 1 ?，所以 (1) = 1，(1) = 0 所以(?)在(1,(1)处的切线方程为? = ? + 1 由(?) 0，即? ? ?ln? + ln? = ?(?) 则?(?) = 1 ? ln?，? (1, + )，高中资料分享 QQ 群：608396916 因为?(?) = 1 ? ln?在(1, + )上单调递减，所以?(?) 1， ? ? ?0 1， 所以?的所有取值集合包含于集合?. （）令?(?) ? ? = ?ln? ln? ? ? ?(?) ? 2? = ? ? ? 2?，? (1, + ) （1）?

15、(?) ? ? = ln? + 1 1 ? + ? ?2 0， ? (1, + )， 由于? (?, + )， ? 1， ?(1) = ? 0，? (1, + )，?(1) = 1 3? 2 0，所以?(?)单调递增. ?(2) = ln2 4 5 = 1 5 ln 32 ?4 0，?0 (2,2 + 1)， 此时? = ?0 2 ?0+1 2 = ?0+ 1 2 + 1 4 ?0+1 2 1 8 5 ,2 ，所以满足条件的最小正整数? = 2. 7 4已知函数? ? = ?,? ? = 1 2? 2 5 2 ? 1（?为自然对数的底数） （1）记? ? = ln? + ? ? ，求函数? ?

16、 在区间 1,3 上的最大值与最小值； （2）若? ?，且? ? + ? ? ? 0 对任意? ?恒成立，求?的最大值 【解析】【解析】 （1）? ? = ln? + ? ? = ln? + 1 2 ?2 5 2 ? 1，? = 2?1?2 2? ， 令? = 0，则?1= 1 2 ,?2= 2， 高中资料分享 QQ 群：608396916 所以函数? ? 在区间 1,2 上单调递减，在区间 2,3 单调递增， ? ? min= ? 2 = 4 + ln2， ? ? max= max ? 1 ,? 3 = 4 + ln3 （2）? ? + ? ? ? 0 对任意? ?恒成立，?+ 1 2? 2

17、 5 2 ? 1 ? 0 对任意? ?恒成立， ? ?+ 1 2? 2 5 2 ? 1 对任意? ?恒成立令 ? = ?+ 1 2 ?2 5 2 ? 1，则? = ?+ ? 5 2 由于? = ?+ 1 0，所以? 在?上单调递增 又0 = 3 2 0, 1 2 = ? 1 2 2 0， 3 4 = ? 3 4 7 4 = 0， 所以存在唯一的?0 1 2 , 3 4 ，使得?0= 0，且当? ,?0时，? 0 即 ? 在 ,?0单调递减，在 ?0, + 上单调递增 ? min= ?0 = ?0+ 1 2?0 2 5 2 ?0 1 又?0= 0，即?0+ ?0 5 2 = 0，?0= 5 2

18、?0 ?0= 5 2 ?0+ 1 2 ?0 2 5 2 ?0 1 = 1 2 ?0 2 7?0+ 3 ?0 1 2 , 3 4 ， ?0 27 32 , 1 8 又? ?+ 1 2? 2 5 2 ? 1 对任意? ?恒成立，? ?0，又? ?，?max= 1 8 5己知函数?(?) = ln? ? ?2 (? ?). （1）讨论函数?(?)的单调性； （2）若函数?(?)有两个零点?1，?2，求?的取值范围，并证明?1+ ?2 2 2?. 【解析】【解析】 （1）解：因为?(?) = ln? ? ?2，函数? ? 的定义域为 0, + ，所以? (?) = 1 ? + 2? ?3 = ?2+2

19、? ?3 ,? 0 当? 0 时，? 0，所以函数?(?)在 0, + 上单调递增 高中资料分享 QQ 群：608396916 当? 0 时，由?(?) = 0，得? =2?（负根舍去） ，当? 0,2? 时，? 0，所以函数?(?)在 0,2? 上单调递减；在2?, + 上单调递增 综上所述，当? 0 时，函数?(?)在(0, + )上单调递增；当? 0 时，函数?(?)在 0,2? 上单调递减， 在2?, + 上单调递增 （2）先求?的取值范围： 方法 1:由（1）知，当? 0 时，?(?)在 0, + 上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件 当? 0 时，函数?(?)在 0,2? 上单

20、调递减，在2?, + 上单调递增，所以?(?)min= ?2? = ln 2? + 1 2，要使函数?(?)有两个零点，首先?(?)min = ln 2? + 1 2 0，解得 1 2? ? 0 因为2? 2? 0，下面证明? 2? = ln 2? 1 4? 0 设? ? = ln 2? 1 4?，则? ? = 1 ? + 1 4?2 = 4?+1 4?2 因为? 1 2?，所以? ? = 1 ? + 1 4?2 = 4?+1 4?2 2 ?+1 4?2 0 所以? ? 在 1 2? ,0 上单调递增，所以? 2? = ? ? ? 1 2? = ln 1 ? + ? 2 0所以?的取值范围是

21、1 2? ,0 方法 2:由?(?) = ln? ? ?2 = 0，得到? = ?2ln? 设? ? = ?2ln?，则? = ? 2ln? + 1 当 0 ? ? 1 2时，? ? 1 2时，? 0， 所以函数? ? 在 0,? 1 2上单调递减，在 ? 1 2, + 上单调递增所以由 ? ? min= ? ? 1 2 = 1 2? 因为? 0+时，? ? 0，且? 1 = 0，要使函数?(?)有两个零点，必有 1 2? ? 2 2?： 方法 1:因为?1，?2是函数?(?)的两个零点，不妨设?1 1 9 所以 ?1 ? ?12 = 0, ?2 ? ?22 = 0, 即 ln?2 ln?1=

22、 ? ?2 2 ? ?1 2所以 ln? = ? ?2?1 2 ? ?1 2，即?12= ? ln? 1 ?2 1 ， 1 2? ? 1 要证?1+ ?2 2 2?，即证 ?1+ ?2 2 8? 即证?1 2 1 + ? 2 8?，即证 ? ln? 1 ?2 11 + ? 2 8? 因为 1 2? ? 0，所以即证 1 ?2 11 + ? 2 8ln?，或证 8ln? + 1 ?2 11 + ? 2 1 设(?) = 8ln? + 1 ?2 11 + ? 2，? 1即(?) = 8ln? ?2 2? + 2 ? + 1 ?2，? 1 所以(?) = 8 ? 2? 2 2 ?2 2 ?3 = 2

23、 ?21 22? ?1 2 ?3 0所以(?)在 1, + 上单调递减， 所以(?) = 8ln? + 1 ?2 11 + ? 2 1所以?1+ ?2 2 2? 方法 2:因为?1，?2是函数?(?)有两个零点，不妨设?1 1 所以 ?1 ? ?12 = 0, ?2 ? ?22 = 0, 即 ln?2 ln?1= ? ?2 2 ? ?1 2所以 ln? = ? ?2?1 2 ? ?1 2，即?12= ? ln? 1 ?2 1 ， 1 2? ? 1 要证?1+ ?2 2 2?，需证 ?1?22? 即证?1 2 2?，即证? ? ln? 1 ?2 1 2? 因为 1 2? ? 2ln? 1 设(?

24、) = 2ln? ? + 1 ?， 则(?) = 2 ? 1 1 ?2 = ?1 2 ?2 1 所以(?)在 1, + 上单调递减，所以(?) = 2ln? ? + 1 ? 2 2? 方法 3:因为?1，?2是函数?(?)有两个零点，不妨设?1 1 所以 ?1 ? ?12 = 0, ?2 ? ?22 = 0. 即 ln?1+ ln?2= ? ?1 2+ ? ?2 2 要证?1+ ?2 2 2?，需证 ?1?2 2? 只需证 ln?1+ ln?2 ln 2? 即证 ? ?1 2+ ? ?2 2 ln 2? ，即证 ? ?1 2+ ? ?1 2 ln 2? 即证? 1 + 1 ?2 1 ?1 2

25、ln 2? 因为 2? ?1 0，所以?1 2 1 2? 所以? 1 + 1 ?2 1 ?1 2 ? 1 + 1 ?2 1 2? = 1 2 1 + 1 ?2 1 2 1 + 1 = 1而 ln 2? ln 2? 成立所以?1+ ?2 2 2? 方法 4:因为?1，?2是函数?(?)有两个零点，不妨设?1 1 由已知得 ?1 ? ?1 2= 0, ?2 ? ?2 2= 0, 即 ln?2 ln?1= ? ?2 2 ? ?1 2 先证明 ln?2ln?1 ?2?1 1 ?1?2 ，即证明 ln? 1 设 ? = ?1 ? ln?，则? = ?1 2 2? ? 0所以 ? 在 1, + 上单调递增

26、，所以 ? 1 = 0，所证不等 10 式成立 所以有ln?2ln?1 ?2?1 = ? ?1+?2 ?1 2?22 1 ?1?2即? ?1 + ?2?1?2 3因为 ?1?2 ?1+?2 2 （?1 ?2） ， 所以? ?1+ ?2 8?所以?1+ ?2 2 2? 方法 5:要证?1+ ?2 2 2?，其中?10,2? ，?22?, + ， 即证?2 2 2? ?1 利用函数? ? 的单调性，只需证明? ?2 ? 2 2? ?1 因为? ?2= ? ?1，所以只要证明? ?1 ? 2 2? ?1，其中?10,2? 构造函数? ? = ? ? ? 2 2? ? ，? 0,2? ， 则? ? =

27、 ln? ? ?2 ln 2 2? ? + ? 2 2? 2 因为? ? = 1 ? + 2? ?3 + 1 2 2? + 2? 2 2? 3 = 2 2? ? 2 2? + 4? 2?2 2? 2? 2 2? +?2 ?32 2? 3 （利用均值不等式） 2 2? ? 2 2? ? + 4? 2? ?22 2? ? 2 = 2 2? ? 2? 2 ?22 2? 2 ?2? = ln 2? + 1 2 ln 2? 1 2 = 0所以? ? ? 2 2? ? 在 0,2? 上恒成立 所以要证的不等式?1+ ?2 2 2?成立 6已知函数?(?) = ?1 ?ln? （无理数? = 2.718.）

28、 （1）若? ? 在 1, + 单调递增，求实数?的取值范围； （2） 当? = 0 时， 设函数? ? = e ? ? ? ?2 ?， 证明： 当? 0 时， ? ? 1 ln2 2 ln2 2 2 （参考数据 ln2 0.69） 【解析【解析】 （1）函数 f（x）的定义域为（0，） ? ? 在 1, + 单调递增， ? ? = 1 + ? ?1 ? ? = ?+?2?1? ? 0 在（1，）恒成立，设 h（x）（xx 2）ex1?， 由题意 h（x）0 在（1，）恒成立，h（x）e x1（x23x1） ，当 x（1，）时，x23x1 0，故 h（x）0，h（x）在（1，）单调递增，所以

29、h（x）h（1）2?，故 2?0， ?2，综上?（，2 （2）当?0 时，f（x）xe x1，g（x）exx2x，g（x）ex2x1， 设 m（x）e x2x1，则 m（x）ex2，令 m（x）0，解得 xln2， 当 x（0，ln2）时，m（x）0，m（x）单调递减， 当 x（ln2，）时，m（x）0，m（x）单调递增 11 因此 m（x）m（ln2）e ln22ln2112ln20，即 g（ln2）12ln20， ， 又 g（0）0，? 1 + 1 2 ln2 = ?1+ 1 2ln2 2 1 + 1 2 ln2 1 =2? 3 ln2 0， 故存在 x0（ln2，1 + 1 2 ln2）

30、 ，使 g（x0）0，即?0 2?0 1 = 0，?0= 2?0+ 1 当 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减， x（x0，）时，g（x）0，g（x）单调递增，高中资料分享 QQ 群：608396916 ? ? ? ?0= ?0 ?0 2 ?0= 2?0+ 1 ?0 2 ?0= ?0 2 + ?0+ 1 = ?0 1 2 2 + 5 4， 由于 x0（ln2，1 + 1 2 ln2） ，函数? = ?0 1 2 + 5 4单调递减， 故? ? ?0 1 2 2 + 5 4 1 + 1 2 ln2 1 2 2 + 5 4 = 1 ln2 2 ln2 2 2所以， 当 x0 时， ?

31、? 1 ln2 2 ln2 2 2 7已知函数? ? = ? + 2 ? + ?ln? ? 0 （1）若? = 1，求函数? ? 的极值和单调区间； （2）若? ? = ? ? + 2?22 ? ，在区间 0,? 上是否存在?0，使? ?0 0，若存在求出实数?的取值范围；若不 存在，请说明理由. 【答案【答案】(1) 函数? ? = ? + 2 ? + ln?的单调递减区间为 0,1 ，单调递增区间为 1, + 极小值为 3，无极大 值(2)见解析 【解析】【解析】 （1）当? = 1 时，? ? = ? + 2 ? + ln? ? = ?+2?1 ?2 ，且? 0, + ? 0,1 时，?

32、 0 ? ? = ? + 2 ? + ln?有极小值? 1 = 3 故函数? ? = ? + 2 ? + ln?的单调递减区间为 0,1 ，单调递增区间为 1, + 极小值为 3，无极大值. （2） ? ? = ? ? + 2?22 ? = ? + 2?2 ? + ?ln? ? 0 ? = ?+2? ?2 ? 0 ? 0,? 时，? 0 ? = ?为函数的唯一极小值点 12 又? 0,? ，当 0 ? ?时 ? ? min= ? ? = ? + 2? + ?ln? = ? 3 + ln? 在区间 0,? 上若存在?0，使? ?0 0，则? ? min= ? 3 + ln? 0 ， 解得 0 ?

33、 ?时，? ? = ? + 2?2 ? + ?ln? ? 0 在?0 0,? 为单调减函数， ? ? min= ? ? = ? + 2?2 ? + ? 0，不存在?0 0,? ，使? ?0 0 综上所述，在区间 0,? 上存在?0，使? ?0 0，此时 0 ? 1 ?3 8已知函数已知函数? ? =?2 ? ln? (1)(1)若若?=1=1 时，求函数时，求函数? ? 的最小值；的最小值； (2)(2)若函数若函数? ?有两个零点，求实数有两个零点，求实数 a a 的取值范围的取值范围. . 【答案【答案】 （1）0 （2）0a 0 ，当 0 ? 1 时，? 1 时，? 0,? ? 为增，

34、?(?)在? = 1 处取最小值 0. （2）由? ? =?2 ? ln?，得?(?) = 2a? 1 1 ? = 2?2?1 ? (? 0)， 当? 0 时，?(?) = 2?2?1 ? 0 . 令? ? = 2?2 ? 1, ，? = 1 + 8? 0，显然? ? 有一正根和一负根， ? ? 在 0，+ 上只有一个零点， 设这个零点为?0，当? 0,?0时，? ? 0,? ? 0,? ? 0； 函数? ? 在 0,?0上单调递减，在 x0，+ 上单调递增， 要使函数? ? 在 0，+ 上有两个零点，只需要函数? ? 的极小值? ?0 0 ， 即?02 ?0 ln?0 0. ? ?0= 2?

35、02 ?0 1 = 0, ?02 ?0 ln?0= 1 2 2ln?0+ 2?02 2?0= 1 2 2ln?0+ 2?02 ?0 1 ?0+ 1 = 1 2 1 ?0 2ln?0 0. ? = 2ln? + ? 1 在 0，+ 上是增函数，且 h 1 = 0 ， ?0 1.0 1 ?0 1,由2?02 ?0 1 = 0， 得 2? = ?0+1 ?02 = 1 ?0 2 + 1 ?0 = 1 ?0 + 1 2 2 1 4 02a2,即 0a 0)， ?(?) = 1 1 ? = ?1 ? . 当? (0,1)时，?(?) 0，?(?)单调递增. ?(?)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区

36、间为(1, + ). （2）由?(?) = ?1 ?ln?(? 0)可知，?(?) = ?1? ? (? 0)， 当? = 0 时，?(?) = ?1，显然?(?)没有零点； 当 0 0，在0, + )单调递增， 又 h（0）a0，h（2）2ea0， h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为 x0，则 x0?01=a， 当 x（0，x0）时，h（x）0，即 g（x）0，当 x（x0，+）时，h（x）0， 即 g（x）0， g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增， g（x）的最小值为 g（x0）= ?01alnx0， x0?01=a，?0 1=? ?0，两边取对数可得

37、 x01lnalnx0，即 lnx0lna+1x0， g（x0）= ? ?0 a（lna+1x0）= ? ?0 +ax0alnaa2aalnaaaalna， （当且仅当 x01 时取等号） ， 令 m（a）aalna，则 m（a）lna， 当 a（0，1）时，m（a）0，当 a（1，e时，m（a）0， m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e上单调递减 14 当 0ae 时，m（a）0，当且仅当 ae 时取等号， 由 x0?01=a 可知当 a1 时，x01，故当 ae 时，x01，故 g（x0）m（a）0， g（x0）0 当 0ae 时，g（x）没有零点 10 已知函数已知函数?(?) =

38、 ?（其中其中?是自然对数的底数是自然对数的底数， ? ?， ? ?） 在点在点 1,?(1) 处的切线方程是处的切线方程是 2? ? ? = 0. . （I I）求函数）求函数? ? 的单调区间；的单调区间； （IIII）设函数）设函数?(?) = ?(?)2 ? ? ln?，若，若? ? 1 在在? (0, + )上恒成立，求实数上恒成立，求实数?的取值范围的取值范围. . 【答案【答案】 （I）递减区间为 , 1 ，单调递增区间为 1, + ； （II）( ,2 【解析】【解析】 （I）由条件可知 ?(1) = ? ?(1) = 2? ，对函数?(?) = ?求导得?(?) = ?(1

39、+ ?)?， 于是 ?(1) = ?= ? ?(1) = ?(1 + ?)?= 2? ，解得? = ? = 1. 所以?(?) = ?，?(?) = (? + 1)?，令?(?) = 0 得? = 1， 于是当? ( , 1)时，?(?) 0，函数?(?)单调递增. 故函数?(?)的单调递减区间为 , 1 ，单调递增区间为 1, + （II）由（I）知?(?) = ?2? ? ln?， 解法 1：要使?(?) 1 在 0, + 上恒成立，等价于? ?2? ln?+1 ? 在 0, + 上恒成立. 令(?) = ?2? ln?+1 ? (? 0)，则只需? (?)min即可. (?) = 2?2

40、?2?+ln? ?2 .令?(?) = 2?2?2?+ ln?(? 0)， 则?(?) = 4 ?2+ ? ?2?+ 1 ? 0，所以? ? 在 0, + 上单调递增， 又? 1 4 = ? 8 2ln2 0，所以? ? 有唯一的零点?0，且1 4 ?0 0)，则?(?) = 1 + 1 ? 0， 所以函数? ? 在 0, + 上单调递增， 因? 2?0= ? ln?0，所以 2?0= ln?0，即?2?0= 1 ?0， 所以(?) ?0= ?2?0 ln?0+1 ?0 = 1 ?0 2?0+1 ?0 = 2，即(?)min= 2， 15 于是实数?的取值范围是( ,2. 解法 2：要使?(?) 1 在 0, + 上恒成立，等价于? ?2? ln?+1 ? 在 0, + 上恒成立. 先证明? ln? + 1，令?(?) = ? ln? 1(? 0)，则?(?) = 1 1 ? = ?1 ? . 于是当? 0,1 时， ?(?) 0， ? ? 单调递增， 所以?(?) ?(1) = 0，故? ln? + 1（当且仅当? = 1 时取等号）. 所以当? 0 时，有?2? ln ?2?+ 1 = ln? + 2? + 1， 所以?2? ln? ? + 2 + 1 ?，即? 2? ln?+1 ? 2，当且仅当?2?= 1 时取等号， 于是实数?的取值范围是( ,2.