第18期：函数压轴之构造函数问题.pdf

1、1 函数压轴之构造函数问题 一、考情分析 函数与导数是高考必考的知识点，考试形式有选择题也有填空题，并且都以压轴题为主。题目 难度都偏大，对学生的思维能力考查都要求比较高。构造函数，是我们高中数学处理和研究函数与 导数的一种有效方法，通过分离变量和参数，构造新的函数去研究其新函数的单调性，极值点，从 而使问题得到解决。 2 一、经验分享 （1）.常见函数的变形 1.对于不等式 kxf 0k，构造函数 bkxxfxg. 2.对于不等式 0 xfxxf，构造函数 xxfxg 3.对于不等式 0 xfxxf，构造函数 x xf xg0 x 4.对于不等式 0 xnfxxf，构造函数 )(xfxxg

2、n 5.对于不等式 0 xnfxxf，构造函数 n x xf xg )( 6.对于不等式 0 xfxf，构造函数 x e )(xf xg 7.对于不等式 0 xfxf，构造函数 )(xfexg x 8.对于不等式 0 xkfxf，构造函数 )(xfexg kx （2）.双变量函数的变形 1.形如( ) ba ff ab 或的函数，构造函数，令 ba tt ab 或者，求(t)f； 2.对于(x)f,形如 12 12 (x )(x )ff xx 的函数，要结合图像构造函数的切线方程，求斜率； 3.形如(x)g(x)f或(x)g(x)f的函数不等式， （1）.可以构造函数)(-)(xgxfxF=）

3、（，然后求）（xF的最大值和最小值； （2）.如果(x)0g，我们也可以构造函数 (x) (x) f G x g ，求 G x的最值 . 3 三、题型分析三、题型分析 (一一) 与圆锥曲线（双参数）有关的构造函数与圆锥曲线（双参数）有关的构造函数 例例 1.【四川省成都市 2019 届高三第一次诊断性考试，理科，12】 设椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x C：的左右顶点为 A,B.P 是椭圆上不同于 A,B 的一点，设直线 AP,BP 的斜率分别为 m,n，则当|ln|ln3 2 3 2 3nm mnmnb a 取得最小值时，椭圆 C 的离心率为（） A. 5 1 B. 2 2

4、C. 5 4 D. 2 3 【解析】设,0 ,0 , 00 yxPaBaA ，点 P 在双曲线上，得01 2 2 0 2 2 0 ba b y a x C：， 2 2 0 22 2 0 )( a xab y ，所以 ax y m 0 0 ， ax y m 0 0 ，化简, 2 2 a b mn 原式 b a b a b a b a a b a b a bb a ln632 3 2 ln6 2 3 2 3 23 2 2 2 2 所以设1 b a t，构造函数tttttfln632 3 2 )( 23 ，求导可以得到： 2t 时，函数取得最小值=)2(f，2 b a ， 2 3 e。 【点评】 （

5、1）椭圆上关于原点对称的两点, 1111 ）（yxByxA另一个动点 00, y xP， 则 2 2 a b kk PBPA ； （2）双曲线上关于原点对称的两点, 1111 ）（yxByxA另一个动点 00, y xP，则 2 2 a b kk PBPA 高中资料分享 QQ 群：608396916 4 例例 2.已知函数 2 ( )4f xx， 则 1212 ,x xR xx， 12 12 |()()| | f xf x xx 的取值范围是 （） A0,)B0,1C(0,1)D0,1) 【解析】由已知得： 222 4,4(y0)yxyx函数表示的是焦点在 y 轴上的双曲线 的上支，渐近线方程

6、为xy=，故此函数上任意两点的连线的斜率范围在1,1上， 所以， 12 12 |()()| 0,1 . | f xf x xx 高中资料分享 QQ 群：608396916 例例 3.已知 2 1 ( )ln(0) 2 f xaxxa，若对任意两个不等的正实数 12 xx、都有 12 12 ()() 2 f xf x xx 恒成立，则a的取值范围是. 【解析】由题意得： (x)=x+ 2(x0) x a f恒成立， 2 2axx恒成立 令 2 (x)2x xg，易得(x)1g， 所以 max (x)1ag，所以1,a 高中资料分享 QQ 群：608396916 例例 4.设实数yx,，满足， 1

7、3 4 - 22 yxyxyx则代数式 13 4 2 yx yxy （） A.有最大值 31 6 B.有最小值 13 4 C 有最大值 1D.有最大值 21 20 5 【解析】：由已知得：， 13 4 - 22 yxyxyx代数式 13 4 2 yx yxy xyyx yxy 22 2 ， 设 x y t ， 原 代 数 式 2 2 1tt tt ， 13 4 - 22 yxyxyx两 边 同 时 除 以 2 x， 0 13 4 11 22 xtxtt，故0 13 4 141 2 2 ttt3 3 1 t， 设 12, 9 4 2 ttm，原代数式 1 m m 1 1 - 1 m ，当 9 4

8、 m，最大值为 13 4 ；当12m, 最大值为 13 12 高中资料分享 QQ 群：608396916 (二二) 与函数基本性质有关的构造函数与函数基本性质有关的构造函数 例例5.【四川省资阳市2019届高三第一次诊断性考试，文科，12】 定义在R上的可导函数( )f x满足(2)( )22fxf xx，记( )f x的导函数为( )fx， 当1x时恒有( )1fx若( )(12 )31f mfmm，则 m 的取值范围是（） A(, 1 B 1 (,1 3 C 1,) D 1 1, 3 【解析】构造函数( )(12 )31f mfmm)21 ()21 ()(mmfmmf， 所以构造函数xxf

9、xF)()( ? ，高中资料分享 QQ 群：608396916 (2)( )22fxf xxxxfxxf)()2()2(，)()2(xFxF?所以)(xF? 对称轴为1x，1)( )( xfxF?所以， )(, 1xFxFx是增函数； )(, 0,1-xFxFx?是减函数。|1-2m-1 |1-m|，解得： 3 1 , 1-m? 【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构造函数以及对称轴的性质。难度比较大。 6 例例 6.已知定义在 R 上的可导函数( )yf x的导函数为( )fx，满足( )( )fxf x，且 (1)yf x为偶函数，(2)1f，则不等式( ) x f xe的解集为（） A

10、.(,0)B.(0,)C. 4 (,) eD. 4 (,)e 【解析】因为(1)yf x为偶函数，所以(1x)(x 1)ff，(0)(2)ff， 构造函数 (x) (x) x f h e ， 2 (x)e(x)e(x)(x) (x)0 xx xx ffff h ee ， 所以函数(x)h是 R 上的减函数.高中资料分享 QQ 群：608396916 根据题意： (x) (x)e1(x)1 x x f fh e ，因为 0 (0) (0)1 f h e 所以(x)h(0)h，解之得，0 x . 例例 7.（2015 新课标）设函数( )fx是奇函数( )()f x xR的导函数，( 1)0f 当

11、0 x 时，( )( )xfxf x0，则使得 f (x)0 成立的x的取值范围是（） A, 10,1 B1,01, C, 11,0 D0,11, 【解析】令 ( ) ( ) f x h x x =，因为( )f x为奇函数，所以( )h x为偶函数，由于 2 ( )( ) ( ) xfxf x h x x ，当0 x 时，( )( )xfxf x0，所以( )h x在(0,)上单调递减， 根据对称性( )h x在(,0)上单调递增，又( 1)0f ，(1)0f=， 数形结合可知，使得( )0f x 成立的x的取值范围是, 10,1 7 例例 8.已知函数(x)f满足： 2(x)e(x) xx

12、 e ffx， 11 ( ) 22 2 f e ， 则0 x 时，(x)f（） A. 有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值 C.既有极大值，又有极小值D.无极大值，也无极小值 【解析】由题意得： 2(x)e(x) xx e ffx，整理 22 2(x)e(x)e xxx effx 所以，构造函数 2 (x)e(x) x Ff，高中资料分享 QQ 群：608396916 则 2 (x) (x) x F f e ， 22 2 (x)2e(x)(x)2F(x) (x) xx xx e FFF f ee 再次构造函数 22 (x)F(x)2 (x)2e(x)e(x)2x2 (x) xxx gFff

13、FexF（ ） 1 2 1 (x)2 2 xxxxx x gexexeexe x , 令 (x) 0g， 1 2 x 所以 11 (x)+ 22 g 在（0，）上，在（ ， ）， 所以最大值 1 ( )0 2 g，所以0)(xg恒成立 所以)(xf单减，既没有极大值也没有极大值小值。 (三三) 与分离常数法有关（压轴大题）的构造函数与分离常数法有关（压轴大题）的构造函数 例例 9.已知函数)( 1ln)( 22 Raaaxxxaxxf (1) 试讨论)(xf的导函数)( xf的零点个数； (2) 若对任意的 , 1x，关于x的不等式2)()(xfxf恒成立，求实数 a 的取值范围 8 【解析】

14、 （1）(方法一方法一)由题意得：)( 1ln)( 22 Raaaxxxaxxf定义域为（0 x） ， 所以)( xf)0( ,2lnxxxa，)( xf)0( 2 x x xa . 当0a时，)( xf0，)( xf在，0单挑递减，高中资料分享 QQ 群：608396916 令1x时，02) 1 ( f；令 e x 1 时，0 2 ) 1 ( e a e f（说明：在 a 取得具体数值 时，是存在大于 0 的范围）0)( xf只有一个零点。 当0a时，02)( xf，)( xfx2在，0单挑递减，0)( xf没有零点。 当0a时，)( xf0 2 x xa ， 2 a x ； )( , 0)

15、( , 2 , 0 xfxf a x 是增函数；)( , 0)( , 2 xfxf a x ，是减函数； 极大值 )(xf 1 2 ln1 2 ln) 2 ( a a a a a f分三中情况： .令 1 2 ln a a0，ea2,此时0)( xf只有一个零点， .令 1 2 ln a a0，ea20，此时0)( xf没有零点， 令 1 2 ln a a0，ea2， 0)( 0) 2 ( 02) 1 ( f a f f ，此时0)( xf有两个零点， 综上所述，当eaa20 或时，此时0)( xf只有一个零点； 当ea20，此时0)( xf没有零点，ea2，此时0)( xf有两个零点 9 （

16、方法二）（方法二）由题意得：由题意得：)( 1ln)( 22 Raaaxxxaxxf定义域为（0 x） ， 所以)( xf)0( ,2lnxxxa，)( xf)0( 2 x x xa . 当0=a时，0)( xf，此时导函数没有零点； 当0a时， 1ln 0 2 x fx ax 1ln 2 x yy ax 与有几个交点： 令 ln (x) 2 x g x ，求导 22 22ln1 ln (x) 42 xx g xx 高中资料分享 QQ 群：608396916 1 0(x); 2 xgxex e ，g(e)=，g(x)0. 画出)(xg的图像：结合图像：当0 1 a 即0a 时；只有一个交点，也

17、就是函数只有一个零点； 当， ea2 11 0时；有两个交点，也就 是函数有两个零点；当 ea2 11 =，即ea2=时，有一个交点，也就是函数有一个零点。 综上所述：函数)(xf的零点个数为 002 102 22 ae aae ae ， ，或 ， （2）设 22 (x)(x)g(x)2axlnx x(a 2)x a1ln (x1)hfax 所以求导 ln22(x1) a h xaxx x ， 2 11 ()2(x1)hxa xx 第二题成立的一个必要条件(1)(1)001ha aa， 当01a时， 22 1111 1,220 11 xhxaa xx 所以 ln22(x1) a h xaxx

18、x 是单调递减函数， 1,(1)a0 xh xh ，从而(x)h在()+，1上单调递减； 1,(1)0 xh xh ；所以实数 a 的取值范围为0,1 10 例例 10.已知函数 e ( )ln, ( ) ex x f xmxaxm g x，其中 m，a 均为实数 设1,0ma，若对任意的 12 ,3,4x x 12 ()xx， 21 21 11 ()() ()() f xf x g xg x 求 a 的取值范围. 【解析】当1,0ma时，( )ln1f xxax，(0,)x ( )0 xa fx x 在3,4恒成立，( )f x在3,4上为增函数 设 1e ( ) ( )e x h x g

19、xx ， 1 2 e(1) ( ) x x h x x 0 在3,4恒成立，高中资料分享 QQ 群：608396916 ( )h x在3,4上 为 增 函 数 设 21 xx， 则 21 21 11 ()() ()() f xf x g xg x 等 价 于 2121 ()()()()f xf xh xh x，即 2211 ()()()()f xh xf xh x 设 1 e ( )( )( )ln1 e x u xf xh xxax x ，则 u(x)在3,4为减函数 2 1 e (1) ( )10 e x ax u x xx 在（3，4）上恒成立 1 1 e e x x ax x 恒成立

20、设 1 1 e ( )e x x v xx x ， 1 1 2 e(1) ( )1e x x x v x x = 12 113 1e() 24 x x ，x3，4， 122 1133 e()e1 244 x x ，( )v x 0，( )v x为减函数 ( )v x在3，4上的最大值为 v(3) = 3 2 2 e 3 a3 2 2 e 3 ，a的最小值为 3 2 2 e 3 例例 11.【2019 浙江 22】已知实数0a ，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）对任意 2 1 ,) e x均有( ), 2 x f x a

21、 求a的取值范围. 11 【解析】（）当 3 4 a 时， 3 ( )ln1,0 4 f xxx x 31( 12)(2 11) ( ) 42 141 xx f x xxxx ， 所以， 函数( )f x的单调递减区间为 （0， 3），单调递增区间为（3，+） （）由 1 (1) 2 f a ，得 2 0 4 a高中资料分享QQ群：608396916 当 2 0 4 a时，( ) 2 x f x a 等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a ，则2 2t 设 2 ( )212ln ,2 2g ttxtxx t，则 ( )(2 2)84 2 12lng tgxxx （i）当

22、1 , 7 x 时， 1 12 2 x ，则( )(2 2)84 2 12lng tgxxx 记 1 ( )42 2 1ln , 7 p xxxx x，则 2212121 ( ) 11 xxxx p x xxxx x . 故所以，( )(1)0p xp因此，( )(2 2)2 ( )0g tgp x （ii）当 2 11 , e7 x 时， 12ln(1) ( )1 2 xxx g tg xx 令 2 11 ( )2ln(1), e7 q xxxxx ，则 ln2 ( )10 x q x x ， 故( )q x在 2 11 , e7 上单调递增，所以 1 ( ) 7 q xq 由（i）得 12

23、 712 7 (1)0 7777 qpp 所以，( )0q x因此 1( ) ( )10 2 q x g tg xx 由 （i）（ii） 得对任意 2 1 , e x ，2 2,), ( ) 0tg t， 即对任意 2 1 , e x ，均有(x) 2 x f a 综上所述，所求 a 的取值范围是 2 0 4 ， 12 四、迁移应用四、迁移应用 1.已知( )f x是定义在 R 上的偶函数，其导函数为( )fx，若( )( )fxf x，且 (1)f x(3)fx，(2015)2f，则不等式 1 ( )2 x f xe 的解集为（） A(1,)B( ,)e C(,0)D 1 (, ) e 【解

24、析】 ：因为函数( )f x是偶函数，所以(1)(3)(3)f xfxf x，所以 (4)( )f xf x，即函数( )f x是周期为 4 的周期函数.因为 (2015)(4 504 1)( 1)(1)2ffff，所以(1)2f. 设 ( ) ( ) x f x g x e ， 所以 2 ( )( )( )( ) ( )0 xx xx fx ef x efxf x g x ee 所以( )g x在R上是单调 递减， 高中资料分享 QQ 群： 608396916 不等式 1 ( )2 x f xe 等价于 ( )2 x f x ee 即( )(1)g xg， 所以1x .所以不等式 1 ( )

25、2 x f xe 的解集为(1,)，故答案选A. 2.【四川省成都市 2019 届高三第一次诊断性考试，12】 设椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x C：的左右顶点为 A,B.P 是椭圆上不同于 A,B 的一点，设直线 AP,BP 的斜率分别为 m,n，则当|ln|ln3 2 3 2 3nm mnmnb a 取得最小值时，椭圆 C 的离心率为（） A. 5 1 B. 2 2 C. 5 4 D. 2 3 【解析】设,0 ,0 , 00 yxPaBaA ，点 P 在双曲线上，得01 2 2 0 2 2 0 ba b y a x C：， 2 2 0 22 2 0 )( a xab y ，

26、所以 ax y m 0 0 ， ax y m 0 0 ，化简, 2 2 a b mn 原式 b a b a b a b a a b a b a bb a ln632 3 2 ln6 2 3 2 3 23 2 2 2 2 所以设1 b a t，函数tttttfln632 3 2 )( 23 ，求导可以得到：2t 时，函数取得最 13 小值=)2(f，2 b a ， 2 3 e。 3.设函数f （x） 在R上存在导数)(x f ，Rx， 有 2 )()(xxfxf， 在), 0( 上，xxf)(， 若0618)()6(mmfmf，则实数 m 的取值范围为（） A), 2 B), 3 C-3，3D)

27、, 22,( 【解析】令 2 2 1 )()(xxfxg，0 2 1 )( 2 1 )()()( 22 xxfxxfxgxg，函数 g（x）为奇函数， ), 0( x时，0)()(xxfxg，函数 g（x）在), 0( x上为减函数， 又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数 g（x）在 R 上为减函数， 0618 2 1 )()6( 2 1 )6(618)()6( 22 mmmgmmgmmfmf， 即0)()6(mgmg，)()6(mgmg，mm6，3m 4. 设函数 x e xe xg x xe xf 222 )(, 1 )( ，对任意), 0(, 21 xx，不等式 1 )()(

28、 21 k xf k xg 恒 成立，则正数k的取值范围是（ ） A), 1 ( B), 1 C) 1 ,(D 1 ,( 【解析】k 为正数，对任意), 0(, 21 xx，不等式 1 )()( 21 k xf k xg 恒成立 minmax 1 )( )( k xf k xg ，由0 )1 ( )( 2 2 x x e xe xg得1x，) 1 , 0(x，0)( x g， ), 1 ( x，0)( x g， k e k g k xg ) 1 ( )( max . 同理) 1 , 0(, 1 0 1 )( 2 2 e x e x x xe xf x ，0)( x f，), 1 ( e x，0

29、)( x f， 1 2 1 ) 1 ( 1 )( min k e k e f k xf ，1, 0, 1 2 kk k e k e ，故选 B. 5.若定义在R上的函数 f x满足 01f ，其导函数 fx 满足 1fxk ，则 下列结论中一定错误的是（） A 11 f kk B 11 1 f kk C 11 11 f kk D 1 11 k f kk 14 【解析】由已知条件，构造函数( )( )g xf xkx，则 ( )( )0g xfxk，故函数( )g x在 R上 单 调 递 增 ， 且 1 0 1k ， 故 1 ()(0) 1 gg k ， 所 以 1 ()1 11 k f kk

30、， 11 () 11 f kk ， 所以结论中一定错误的是 C， 选项 D 无法判断； 构造函数( )( )h xf xx， 则 ( )( ) 10h xfx ，所以函数( )h x在R上单调递增，且 1 0 k ，所以 1 ( )(0)hh k ，即 11 ( )1f kk ， 11 ( )1f kk ，选项 A,B 无法判断，故选 C 6、已知函数( )yf x对任意的(,) 2 2 x 满足( )cos( )sin0fxxf xx(其中( )fx 是函数( )f x的导函数)，则下列不等式成立的是（） A.2 ()() 34 ff B.2 ()() 34 ff C. (0)2 () 3

31、ff D.(0)2 () 4 ff 【解析】令 x xxfxxf x xxfxxf xg x xf xg 2 2 cos sincos cos coscos , cos 则，由 对任意的(,) 2 2 x 满足( )cos( )sin0fxxf xx可得 0 xg，所以函数 xg在 2 , 2 上为增函数，所以 43 gg，即 4 cos 4 3 cos 3 ff ，所以 43 2 ff，故选 A 7.设( )fx为函数( )f x的导函数，已知 2 1 ( )( )ln ,( )x fxxf xx f e e ，则下列结论正确的 是 （） （A）( )f x在(0,)单调递增（B）( )f

32、x在(0,)单调递减 （C）( )f x在(0,)上有极大值（D）( )f x在(0,)上有极小值 【答案】B 8.已知函数 2 ln)(bxxaxf，Rba,若不等式xxf)(对所有的0 ,(b， ,( 2 eex都成立，则a的取值范围是（） A), eB), 2 2 e C), 2 2 2 e e D), 2 e 15 【答案】B 9.【2015 新课标 1 理 12】设函数( )f x=(21) x exaxa,其中 a1，若存在唯一的整数 0 x， 使得 0 ()f x0，则a的取值范围是（） (A)- 3 2e ，1）(B)- 3 2e ， 3 4 ）(C) 3 2e ， 3 4 ）

33、(D) 3 2e ，1） 【答案】D 【解析】设( )g x=(21) x ex，yaxa，由题知存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()g x在直线 yaxa的下方. 因为( )(21) x g xex，所以当 1 2 x 时，( )g x0，当 1 2 x 时，( )g x0，所以当 1 2 x 时， max ( )g x= 1 2 -2e ， 当0 x 时，(0)g=-1，(1)30ge， 直线yaxa恒过 （1,0） 斜率且a， 故(0)1ag ， 且 1 ( 1)3geaa ，解得 3 2e a1，故选 D. 10. 曲线 2 0f xaxa与 lng xx有两条公切线，则a的取值范围

34、为（） A 1 0, e B 1 0, 2e C 1 ,+ e D 1 ,+ 2e 【答案】D 【解析】设 11 ( ,)P x y是( )f x的切点， 22 (,)Q xy是( )g x的切点，( )2fxax， 1 ( )g x x ， 则直线切线为 111 2()yyax xx， 22 2 1 ()yyxx x ，即 2 11 2yax xax， 2 2 1 1lnyxx x ，由题意这两条直线重合，因此 1 2 2 12 1 2 1ln ax x axx ，消法 1 x得 2 2 2 1 ln10 4 x ax ，由题意此方程有两个不等实根，记 2 1 ( )ln1 4 h xx a

35、x ，则 2 33 1121 ( ) 22 ax h x axxax ， 1 0 2 x a 时，( )0h x ， 1 2 x a 时，( )0h x ，因 16 此 1 2 x a 时， min 111 ( )()ln 222 h xh aa ，所以 min 111 ( )()ln 222 h xh aa 0，解得 1 2 a e 故选 D 11、函数 2 ln(23)( x yaexae为自然对数的底数）的值域是实数集 R，则实数a的取值 范围是（) A,eB,1C0, eD0，1 【答案】B 【解析】要函数 2 ln(23) x yaexae (为自然对数的底数）的值域是实数集 R，则

36、 32)( 2 axaexg x 能取遍), 0( 内所有的数，因为1)( x aexg当0a时， 01)( x aexg，恒有函数的值域是实 数集 R，故排除 C、D. 当0a时，令01)( x aexg，则axln，当0)( x g，axln，函数)(xg为 增函数； 当0)( x g，axln， 函数)(xg为减函数； 所以)(xg的极小值 （最小值） 为22ln 2 aa. 故有022ln 2 aa成立， 当ex 时，01222122ln 222 eeaa，1x时， 022ln 2 aa，所以排除 A,C， 故选 B. 12.设直线 l1，l2分别是函数 f(x)= ln ,01, l

37、n ,1, xx x x 图象上点 P1，P2处的切线，l1与 l2垂直相 交于点 P，且 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是()（A） (0,1)（B）(0,2)（C）(0,+)（D）(1,+) 【答案】A 试题分析：设 111222 , ln,lnP xxP xx（不妨设 12 1, 01xx） ，则由导 数的几何意义易得切线 12 ,ll的斜率分别为 12 12 11 ,.kk xx 由已知得 1 2122 1 1 1,1,.k kx xx x 切线 1 l的方程分别为，切线 2 l的方程为 17 22 2 1 lnyxxx x ，即 11 1 1 l

38、nyxxx x .分别令0 x 得 11 0,1ln,0,1ln.AxBx 又 11 1 1 lnyxxx x 1 l与 2 l的交点为 2 11 1 22 11 21 ,ln 11 xx Px xx ， 1 1x ， 2 11 22 11 211 1 211 PABABP xx Syyx xx ， 01 PAB S 故选 A 13、若曲线 2 1: Cyax(0)a 与曲线 2: x Cye存在公共切线，则a的取值范围为（） A 2 , 8 e B 2 0, 8 e C 2 , 4 e D 2 0, 4 e 【答案】C 【解析】根据题意，函数与函数在0 +，上有公共点，令 2x axe得：

39、2 x e a x 设 2 x e f x x 则 2 2 2 xx x exe fx x 由 0fx得：2x 当02x时， 0fx，函数 2 x e f x x 在区间0,2上是 减函数， 当2x 时， 0fx，函数 2 x e f x x 在区间2,上是增函数， 所以当2x 时，函数 2 x e f x x 在0 +，上有最小值 2 2 4 e f所以 2 4 e a ，故选 C. 14、设点 P、Q 分别是曲线( x yxee 是自然对数的底数）和直线3yx上的动点，则 P、 Q 两点间距离的最小值为 【答案】 3 2 2 【解析】(1) xxx yexex e ，令(1)1 x x e

40、，即1 x ex ，10 x ex ， 18 令( )1 x h xex，显然( )h x是增函数，且(0)0h，即方程10 x ex 只有一解0 x ， 曲线 x yxe在0 x 处的切线方程为yx，两平行线0 xy和30 xy间的距离为 33 2 22 d . 15、已知函数 (1) ( )ln 1 a x f xx x 在1,)上是减函数，则实数a的取值范围为（） A1a B2a C2a D3a 【答案】C 【解析】由题意得， 2 (1)21 ( )ln,0 1(1) a xa fxxx xxx ，因为函数 (1) ( )ln 1 a x f xx x 在1,)上是减函数，所以 0fx在

41、1,)上恒成立，即 2 21 0 (1) a xx 在1,)上恒成立，即 2 (1)1 22 x ax xx 在1,)上恒成立，又因 为 11 2224xx xx ，当且仅当1x 是取等号，所以2a ，故选 C 16、设函数 f（x）=ln（1+|x|） 2 1 1x ，则使得 f（x）f（2x1）成立的 x 的取值范围是 （） A （ 1 3 ，1）B 1 , 3 （1，+） C （ 1 1 , 3 3 ）D 11 , 33 【答案】A因为函数 2 1 ln(1) 1 f xx x 为偶函数，且在0 x 时， 2 1 ln(1) 1 f xx x 的导数为 22 12 0 1(1) x fx

42、 xx ，既有函数 f x在0,) 单调递增，所以 (21)f xfx等价于(21)fxfx，即21xx，平方得 2 410 xx ，解得 1 1 3 x，故选 A 19 17、已知函数( )f x= 2 2,0 ln (1),0 xx x xx ，若|( )f x|ax，则a的取值范围是（） A.(,0B.(,1 C.-2,1D.-2,0 【答案】 D 【解析】 如图， 作出函数( )f x的图象， 当0 x 时，( )ln(1)f xx， 因此当0a 时，不能满足( )f xax0a 时，不等式显然成立，当0 x 时， 2 ( )2f xxx，记 2 2yxx，22yx，2 0 y x ，

43、即 2 2yxx在0 x 切线斜率为2，因此当 2a 时，直线yax与函数 2 2yxx在0 x 时有两个交点，不合题意，当20a 时满足题意，所以20a 18、已知定义在 R 上的可导函数( )f x满足 ( ) 1fx ，若(1)( )12fmf mm ，则实数 m的取值范围是_ 【答案】), 2 1 (【解析】令1)()(xfxF,则01)()( / xfxF,故函数 1)()(xfxF在R上单调递减,又由题设(1)( )12fmf mm 可得)()1 (mFmF, 故mm 1,即 2 1 m,答案为), 2 1 ( 19、若对区间 D 上的任意x都有 12 ( )( )( )f xf

44、xfx成立，则称( )f x为 1( ) f x到 2( ) fx在区 间 D 上的“任性函数”，已知 2 12 1 ( )ln,( )3f xxxfxx x ，若( )f xxa是 1( ) f x到 2( ) fx在 1 ,1 2 上的“任性函数”，则a的取值范围是 【答案】02 2a 试题分析： 由题意， 对区间 D 上的任意x都有 12 ( )( )( )f xf xfx成立， 即对 1 ,1 2 上的任x， 都有 2 1 lnx+a3xxx x . 由 22 lnx+aln-xxaxx x，设 20 2 2 1211 ( )ln-( )2 -1=,1 2 xx g xxx xg xx

45、x xx ， 因此( )g x在 1 ,1 2 x 上单 调递增， 2 max ( )(1)ln1 1 -10ag xg 由 111 x+a3a32xxxx xxx ，设 2 2 11211 ( )2( )2=,1 2 x h xxh xx xxx ，因此( )h x在 12 , 22 x 上单调递 减，在 2 ,1 2 x 上单调递增，即 2 2 x 是( )h x的极小值点，也是最小值点，故 minx 212 ( )()23 2 222 2 ag xh .综上，02 2a . 20.【2019 天津理 20】设函数 ( )e cos ,( ) x f xxg x 为 fx的导函数. （）求

46、 f x的单调区间； （）当 , 4 2 x 时，证明 ( )( )0 2 f xg xx ； （）设 n x为函数( )( ) 1u xf x 在区间 2,2 42 mm 内的零点，其中nN，证明 2 00 2 2sinc e os n n nx xx . 【解析】【解析】 （）由已知，有( )e (cossin ) x fxxx.因此，当 5 2,2 44 xkk ()k Z时，有sincosxx，得 0fx ，则 fx单调递减； 当 3 2,2 44 xkk ()k Z时，有sincosxx，得 0fx ，则 fx单调递增. 所以， f x的单调递增区间为 3 2,2(),( ) 44

47、kkkf x Z的单调递减区间为 5 2,2() 44 kkk Z. 21 （）记( )( )( ) 2 h xf xg xx .依题意及（） ，有( )e (cossin ) x g xxx，从而 ( )2e sin x g xx . 当 , 4 2 x 时， 0gx ， 故( )( )( )( )( 1)( )0 22 h xfxg xxg xg xx . 因此， h x在区间, 4 2 上单调递减，进而( )0 22 h xhf . 所以，当, 4 2 x 时，( )( )0 2 f xg xx . （）依题意，10 nn u xfx ，即cose1 n x n x . 记2 nn yxn，则, 4 2 n y ， 且 22 ecosecos2e nn yxnn nnn nfyyxn N. 由 2 0 e1 n n fyfy 及（） ，得 0n yy. 由（）知，当, 4 2 x 时， 0gx ，所以 g x在, 4 2 上为减函数，因此 0 0 4 n g yg yg . 又由（）知，0 2 nnn fyg yy ， 故 0 2222 00000 2sincossinc eee eos e nnnn n n y nn fy y g yg yg yyyxx . 所以， 2 00 2 2sinc s e o n n nx xx .