（2022高中数学一轮复习）专题6.5 解三角形大题（角平分线问题）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.doc

1、专题专题 6.5 解三角形大题（角平分线问题）解三角形大题（角平分线问题） 1ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3sin3 cosacBbC （1）求角B的大小； （2）若3b ，D为AC边上一点，2BD ，且_，求ABC的面积 （从BD为B的平分线， D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答) 解： （1）因为3sin3 cosacBbC， 所以3sinsinsin3sincosACBBC 即3sin()sinsin3sincosBCCBBC 所以3sincos3sincossinsin3sincosBCCBCBBC 即3sincossinsinCBCB，

2、因为sin0C ， 所以sin3cosBB，即tan3B ， 因为(0, )B， 所以 3 B ； （2）BD为B的平分线，3b ， 所以 6 ABDBDC ， 因为 ABCABDBDC SSS ， 所以 31111 22 42222 acac， 即322acac， 由余弦定理得， 222 bacac， 所以 22 3 9()3()3 4 acacacac， 解得6ac 或2ac （舍)， 所以ABC的面积 33 3 42 Sac； D为AC的中点，3b ， 则 3 2 ADDC， 因为ADCBDC， 所以 222222 33 ( )2( )2 22 33 2222 22 ca ， 整理得 2

3、2 25ac， 由余弦定理得， 222 9bacac， 所以 7 2 ac ， 所以ABC的面积 37 3 48 Sac 2如图，在ABC中，已知 15 sin 8 A ， 11 cos 16 ACB，2BC ，点D是ACB的角平分线与 边AB的交点， （1）求sinB的值； （2）求CD的长 解： （1）因为 11 cos 16 ACB， 15 sin 8 A ， 所以 3 15 sinsin 16 ACBA， 所以A为锐角， 7 cos 8 A ， 所以 151173 1515 sinsin() 8168164 BAACB ； （2）ABC中，由正弦定理得 sinsinsin ACBCAB

4、 BAACB ， 即 2 15153 15 4816 ACAB ， 所以4AC ，3AB ， 因为CD为ACB的平分线， 所以 4 2 ADAC DBBC ， 则2AD ，1DB ， ACD中，由余弦定理得 222 7 2cos4162246 8 CDACADAD ACA， 所以6CD 3如图，在ABC中，2ABAC，BAC的角平分线交BC于点D （1）求 ABD ADC S S 的值； （2）若1,2ACBD，求AD的长 解： （1）AD为BAC的角平分线， BADCAD ，即sinsinBADCAD 1 sin 2 1 sin 2 ABD ADC AB ADBAD SAB SAC AC A

5、DCAD 又2ABAC， 2 ABD ADC S S （2）由（1）知2 ABBD ACCD 且1,2ACBD， 2 2, 2 ABCD 在ABD中， 22222 422 cos 2224 ABADBDADAD BAD AB ADADAD 在ACD中， 22 222 11 1 22 cos 22 12 ADAD ACADCD CAD AC ADADAD BADCAD ， coscosBADCAD， 2 2 1 2 2 42 AD AD ADAD ， 1AD 4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3 cos 4 A ，2BA，3b （1）求a； （2）已知点M在边BC上，且AM平

6、分BAC，求ABM的面积 解： （1）由正弦定理得 sinsin ab AB ，得 3 sinsin2 a AA ， 得 3 sin2sincos a AAA ，得 33 2 3 2cos 2 4 a A ， （2） 3 cos 4 A ， 7 sin 4 A， 2 1 coscos22cos1 8 BAA ， 3 7 sin 8 B ， 5 7 sinsin()sincoscossin 16 CABABAB 由正弦定理得 sinsin ca CA ， sin5 sin2 aC c A 由角平分线定理得 36 5 CMACb MBABcc ， 5510 2 111111 MBBC， 11105

7、 sinsin2 22112 ABM SMBABBA 257375 7 2 2244176 ， 5如图，在平面四边形ABCD中，BD为ABC的角平分线， 4 BAD ，6AD ，2BD （1）求ABC； （2）若ABC的面积 3 3 4 SAB，求CD的长 解： （1）平面四边形ABCD中，BD为ABC的角平分线， 4 BAD ，6AD ，2BD 在ABD中，利用正弦定理： sinsin BDAD BADABD ，整理得： 3 sin 2 ABD， 所以 2 33 ABD 或 当 2 3 ABD 时，则 4 3 ABC ， 所以 3 ABD 故 2 3 ABC （2）由三角形的面积公式： 13

8、 3 sin 24 ABC SAB BCABCAB ， 解得：3BC 利用余弦定理得： 222 2cosCDBDBCBD BCCBD， 解得：7CD 6已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，120C （1）若2ab，求tan A的值； （2）若ACB的平分线交AB于点D，且1CD ，求ABC周长的最小值 解： （1）已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，120C 若2ab， 所以sin2sinAB，整理得：sin2sin(180120)AA， 整理得： 31 sin2cos2sin 22 AAA， 解得 3 tan 2 A （2）ACB的平分线交AB于点D，且1CD ，

9、 利用三角形的面积： 111 sin120|sin60|sin60 222 abaCDbCD 所以 333 444 abab， 整理得 11 1 ab ， 所以 11 ()()11 224 ba abab abab ， 当且仅当2ab时，等号成立 所以 222 2cos120cabab，解得2 3c ， 所以ABC周长的最小值为222 342 3 7如图，在平面四边形ABCD中，已知1BC ， 3 cos 5 BCD （1）若AC平分BCD，且5AC ，求AB的长 （2）若45CBD，求CD的长 解： （1）AC平分BCD，可得：22BCDACBACD ， 2 3 cos2cos1 5 BCD

10、ACB ， cos0ACB， 5 cos 5 ACB， 在ABC中，1BC ，5AC ， 5 cos 5 ACB， 由余弦定理 222 2cosABBCACBC ACACB， 可得： 2 5 152 154 5 AB ， 解得： 2AB ， AC的值为 2 （2） 3 cos 5 BCD ， 2 4 sin1 5 BCDcosBCD， 又45CBD， 22 sinsin(18045 )sin(45 )(sincos) 210 CDBBCDBCDBCDBCD ， 在BCD中，由正弦定理 sinsin BCCD CDBCBD ，可得： sin 5 sin BCCBD CD CDB ，即CD的长为 5