（2022高中数学一轮复习）专题4.5—导数大题（恒成立问题2）-2022届高三数学一轮复习精讲精练.doc

1、专题专题 4.5导数大题（恒成立问题导数大题（恒成立问题 2） 1已知函数 1 ( )f xxmlnx x ， 1 ( )()mg xxlnx x ，其中0 x ，mR （）若函数( )f x无极值，求m的取值范围； （）当m取（）中的最大值时，求函数( )g x的最小值； （）若不等式 1 (1)n ae n 对任意的*nN恒成立，求实数a的取值范围 解： （）函数 1 ( )(0)f xxmlnx x x ， 则 2 22 11 ( )1 mxmx fx xxx ， 由题意可得，方程 2 10 xmx 在区间(0,)上无根或有两个相等的根， 即方程 1 mx x 在区间(0,)上无根或有两

2、个相等的根， 所以2m； （）当2m 时， 1 ( )2(0)f xxlnx x x ， 2 1 ( )()g xxlnx x ， 由（）可知，( )f x在(0,)上单调递增，且f（1）0， 当01x时， 1 ( )2f xxlnxf x （1）0，可得 1 20 xlnx x 当1x 时， 1 ( )2f xxlnxf x （1）0，可得 1 20 xlnx x ， 所以当0 x 时， 2 1 | 2| |xlnxlnx x ， 令 2 0 x，不等式 1 |ln ，平方可得 2 1 2 ()ln ， 故当0时，不等式 2 1 ()2ln 成立，当1时取等号， 所以当1x 时，函数( )g

3、 x取最小值 2； （） 1 (1)n ae n 对任意的*nN恒成立， 等价于 1 () (1) 1na ln n 对任意的*nN恒成立， 等价于 1 1 (1) a n ln n 对任意的*nN恒成立， 令 1 1(1,2t n ，则 11 1 a tlnt 对任意的(1，2恒成立， 令 11 ( ) 1 h t tlnt ，则 2 22 1 ()2 ( ) (1) () tlnt t h t tlnt ， 由（）可知， 2 1 ()2 0tlnt t ，即( ) 0h t， 所以( )h t在(1，2上单调递增， 则当2t 时，( )h t取得最大值为h（2） 1 1 2ln ， 所以

4、1 1 2 a ln ， 故实数a的取值范围为 1 1 2ln ，) 2已知 1 ( ), ( )21 x f xx eg xx （1）求( )( )yf xg x在1x 处的切线方程； （2）若 2 ( )( ) xa af xg x a 恒成立，求a的取值范围 解： （1）依题意， 1 1 ( )( )21() 2 x yf xg xxexx ，则 1 1 (1) 21 x yxe x ， 在1x 处的切线斜率为 1 1 1 ( 1 1)1 2 1 e ， 又( 1)( 1)0fg， 所求切线方程为1yx ； （2）依题意， 2 1 21 x xa axex x 在 1 (, 2 上恒成立

5、， 显然当1x 时，上式成立，得 1 1aa a ，解得01a ， 下面证明当01a 时， 2 1 21 x xa axex x 在 1 (, 2 上恒成立， 当01a 时，要证 2 1 21 x xa axex x 在 1 (, 2 上恒成立， 即证 2 1 21 x xa axex x ，即证 12 11 ( )211 x xexx aa ，即证 21 11 ( )2110 x xxxe aa ， 令 21 111 ( )( )211,01 x hxxxea aaa ，则函数 1 ( )h a 是一个开口向下的二次函数，其对称 轴为 2 12121 1 24 xx axx ， 而 1 1

6、a ，故 121 11 ( )(1)211(211)1 2 xx max hhxxxexxe a ， 令 21 1 ( )(211)1 2 x F xxxe ，则 1 ( )1 x F xxe ，当且仅当1x 时等号成立， 令 1 ( )1 x H xxe ，则 1 ( )(1) x H xxe ， 易知( )H x在(, 1) 单增，在 1 ( 1,) 2 上单减， ( )( 1)0H xH，即 1 ( )10 x F xxe ，当且仅当1x 时等号成立， 故当01a 时， 2 1 21 x xa axex x 在 1 (, 2 上恒成立， 实数a的取值范围为(0，1 3已知函数 2 ( )

7、(1)12f xm xlnx （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1x，2时，( ) 0f x ，求m的取值范围 解： （1） 2 22(1) ( )2 (1) mxmx fxm x xx ，(0)x ， 当0m时，( )0fx，( )f x在(0,)上单调递减； 当0m 时，由( )0fx，解得： 2 41 0 22 mm x m ， 由( )0fx，解得： 2 41 22 mm x m ， 故( )f x在 2 41 (0,) 22 mm m 递减，在 2 41 ( 22 mm m ，)递增， （2）当1x，2时，( ) 0f x 恒成立， 即对于任意的1x，2， 2 12 (1)

8、lnx m x 恒成立， 设 2 12 ( ),1,2 (1) lnx F xx x ，则有 2 2 4 ( ) (1) lnx x F x x ， 令 2 ( )4,1,2g xlnx x x ，则 2 24 ( )0g x xx 在1，2上恒成立， 即得( )g x在1，2上单调递减， 因为g（1）20，g（2）1420ln ， 所以存在唯一的 0 1x ，2，使得 0 ()0g x， 且当1x， 0 x时，( )0g x ；当 0 (xx，2时，( )0g x ， 所以( )F x在1， 0) x上单调递增，在 0 (x，2上单调递减， 又因为 558 5328 2lnelnlnln，

9、所以F（2）F（1） 12218 25 0 9436 lnln ， 所以 1 ( )(1) 4 max F xF，即得 1 4 m， 则有m的取值范围为 1 (, 4 4已知函数 2 1 ( )1 2 x f xexax， 2 1 ( )cos1 2 g xxx （1）当1a 时，求证：当0 x时，( ) 0f x ； （2）若( )( ) 0f xg x在0，)上恒成立，求a的取值范围 （1）证明：当1a 时， 2 1 ( )1 2 x f xexx， 所以( )1 x fxex，则( )1 0 x fxe 恒成立， 故( )fx在0，)上单调递增， 所以( )(0)0fxf，则( )f x

10、在0，)上单调递增， 故( )(0)0f xf， 故原式得证； （2）解：因为( )( )cos2 x f xg xexax， 令( )cos2 x h xexax， 即求解( ) 0h x 恒成立， 因为( )sin x h xexa，( )cos x h xex， 又1 x e ，1 cos1x ，故( ) 0h x， 所以( )h x在0，)上单调递增， 则( )(0)1h xha ， 当10a ，即1a时，( ) 0h x，故( )h x在0，)上单调递增， 故( )(0)0h xh 此时原式成立，故1a满足题意； 当10a，即1a 时，(0)0 h ，当x 时，( )h x ， 故

11、0 (0,)x，使得 0 ()0h x， 所以当 0 (0,)xx时，( )0h x，则( )h x在 0 (0,)x上单调递减， 故( )(0)0h xh，矛盾 综上所述，a的取值范围为(，1 5已知函数( ) x f xxealnx，aR （1）若( )f x在点(1，f（1）)处的切线过原点，求a的值； （2）在（1）的条件下，若 2 ( )(1)(1)f xb xa lnx恒成立，求b的取值范围 解： （1）函数( ) x f xxealnx的定义域为(0,)， 因为( )(1) x a fxxe x ，所以 f （1）2ea， 又f（1）e，所以切点坐标为(1, ) e，切线的斜率为

12、2ea， 故切线的方程为(2)(1)yeea x， 因为切线过原点(0,0)，则有(2)eea ，解得ae； （2）由（1）可知，ae，则 2 ( )(1)(1)f xb xa lnx恒成立， 等价于 2 2(1)0 x xeelnxb xe 恒成立(*)， 令 2 ( )2(1) x m xxeelnxb xe， 则m（1）0，且 2 ( )(1)2 (1) x e m xxeb x x ， m （1）0， 又 2 2 ( )(2)2 x e m xxeb x ， 令 2 2 ( )(2)2 x e xxeb x ， 则 3 4 ( )(3) x e xxe x 在(0,)上单调递增，且（1

13、）0， 当01x时，( )0 x，则( )m x为单调递减函数， 当1x 时，( )0 x，则( )m x为单调递增函数， 所以当1x 时，( )m x取得最小值 m （1）52eb， 当520eb，即 5 2 be时，( )m xm（1）0， 则( )m x单调递增，又 m （1）0， 所以当01x时，( )0m x，则( )m x单调递减， 当1x 时，( )0m x，则( )m x单调递增， 所以( )m xm（1）0，故(*)式恒成立； 当 5 2 be时， m （1）0，又当x 时，( )m x ， 存在 0 1x ，使得 0 ()0m x， 当 0 1xx时，有( )0m x，即(

14、 )m x单调递减， 所以( )m xm（1）0，此时( )m x单调递减， 故当 0 (1,)xx时，( )m xm（1）0，故(*)式不成立 综上所述，b的取值范围为 5 (, 2 e 6已知函数( )(1)3 cos3( ,) x f xxemxnxm nR （1）0m ，0n 时，讨论函数( )f x的导数( )fx的单调性； （2）1n 时，不等式 1 ( )1 3 f xmx 对0 x恒成立，求实数m的取值范围 解： （1）当0m ，0n 时，( )(1) x f xxemx， 则( )(2) x fxxem，( )(3) x fxxe， 当3x 时，( )0fx，当3x 时，(

15、)0fx， 所以( )fx在(, 3) 上单调递减，在( 3,)上单调递增； （2）当1n 时，不等式 1 ( )(1)3cos31 3 x f xxemxxmx对0 x恒成立， 等价于3(1)29cos6 0 x xemxx 对0 x恒成立(*)， 令( )3(1)29cos6 x q xxemxx，0 x， 则( )3(2)29sin x q xxemx， 且(0)0q，(0)2(3)qm， 因为( )3(3)9cos39(cos )0 xxx q xxexxeex对0 x恒成立， 所以( )q x在0，)上单调递增， 当3m时，( )(0) 0q xq，所以( )q x在0，)上单调递增， 则( )(0)0q xq，所以(*)成立； 当3m 时，(0)2(3)0qm， 因为 2 24 3 m， 所以 2 2 3 22222 (2)3(4)29sin(2)12229sin(2)129sin(2)0 33333 m qmm emmmmmm ， 则 0 2 (0,2) 3 xm，使得 0 ()0q x， 当 0 0 xx时，( )0q x，所以( )q x在 0 (0,)x上单调递减， 当 0 0 x x 时，( )(0)0q xq， 故(*)不成立 综上所述，m的取值范围是 3，)