(2022高中数学一轮复习)专题4.6—导数大题(恒成立问题3)-2022届高三数学一轮复习精讲精练.doc
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1、专题专题 4.6导数大题(恒成立问题导数大题(恒成立问题 3) 1已知函数( )2(1) x a f xeax ,0 x,) (1)若0a ,证明: 2 ( ) 2f xxx; (2)若 2 ( ) 2(1)1f xxax,求a的取值范围 解: (1)证明:若0a ,则( )2 x f xex,即证 2 22 x exxx,只需证 2 1 1 2 x exx, 设 2 1 ( )1,0 2 x g xexxx ,则( )1 x g xex ,( )1 x gxe, 显然( ) 0gx在0,)上恒成立, ( )g x 在0,)上单增, ( )(0)0g xg , ( )g x在0,)上单增, (
2、 )(0)0g xg, 2 1 10 2 x exx ,即得证; (2)令 2 ( )2(1)2(1)1 x a xeaxxax , 依题意,对任意0 x,),( ) 0 x恒成立,则(0)22 0 a e ,解得0a, 又 2 (1)1 0 xax在0 x,)上恒成立,0 x 显然成立, 1 (1)ax x 在(0,)x上恒成立,即(1) 2a,解得3a, 故30a ; 下面证明:当30a 时,( ) 0 x在0 x,)上恒成立, 令 2 ( )2(1)2(1)1, 3,0 x a t aeaxxaxa ,则 2 ( )2 (1)1 x a x t aex xax , 0 x , t (a)
3、0, t(a)在 3,0上单减,则 2 ( )(0)221 x t atexxx, 由(1)知, 2 1 1 2 x exx, 故 22222 1 221 2(1)21(11)0 2 x exxxxxxxxxx,当且仅当0 x 时, 取等号, 故( ) 0 x在0 x,)上恒成立, 综上,实数a的取值范围为 3,0 2已知函数( )1() x f xeaxlnxaR, 2 ( ) x g xxex ()当1a 时,求证:( )f x在(0,)上单调递增; ()当1x时,( )( )f xg x,求a的取值范围 解: ()证明:当1a 时,( )1 x f xeaxlnx,(0,)x, 则( )
4、1 x fxelnx,又 1 ( ) x fxe x 在(0,)上单调递增,且 1 ( )20 2 fe,且f(1) 10e , 0 1 (2x,1),使得 0 0 0 1 ()0 x fxe x , 当 0 (0,)xx时,( )0fx,当 0 (xx,)时,( )0fx, ( )fx 在 0 (0,)x上单调递减,在 0 (x,)上单调递增, 0 00 ( )()1 x fxfxelnx , 0 0 1 0 x e x , 0 0 1 x e x , 00 lnxx , 0 0 1 ( )10fxx x , ( )f x在(0,)上单调递增; ()当1x时,( )( )f xg x,问题等
5、价于 2 (1)1 0 x xexaxlnx (记为*)在1,)上恒成立, 令 2 ( )(1)1 x g xxexaxlnx, ( )(2)(1) x g xx ea lnx, g(1)0,要使(*)式在1x,)上恒成立,则必须g(1)20ea ,2ae, 下面证明当2ae时,( )(0)g xg在1x,)上恒成立 1x ,10lnx ,( )(2)(2)(1) x g xx ee lnx , 又1lnxx , ( )(2)(2)() 0 xx g xx ee xx ex , 当2ae时,( )g x在1,)上单调递增, ( )g xg(1)0,即(*)式在1x,)上恒成立, 故a的取值范围
6、为2e,)日期: 2021/5/21 12:3:07;户:尹 丽娜;邮箱: ;学号:19839377 3已知函数 1 ( )() x f xeaxa aR (1)讨论( )f x的单调性; (2)当0 x时,(1)(1) 1f xln x,求实数a的取值范围 解: (1) 1 )( ) x f xeaxa 的定义域是R, 1 ( ) x fxea , 当0a时,( )0fx在R上恒成立,故( )f x在R上单调递增;.2分 当0a 时,令( )0fx,得()1xlna,在(,()1)lna上有( )0fx,在( ()1lna,) 上有( )0fx, ( )f x在(,()1)lna上是减函数,
7、在( ()1lna,)上是增函数.4分 (2)当0 x时,(1)(1) 1f xln x,即(1)1 0(*) x eaxln x 令( )(1)1(0) x g xeaxln xx,则 1 ( )(0) 1 x g xeax x , 若2a,由(1)知,当1a 时, 1 ( )1 x f xex 在( 1,) 上是增函数, 故有 1 1 ( )( 1)1 1 1f xfe ,即 1 ( )1 1 x f xex ,得 1 1 1 x ex , 故有1 x ex (由(1)可判断,此不等式为常见不等式,熟记更利于解题) 111 ( )(1)2 (1)20 111 x g xeaxaxaa xx
8、x ( 当 且 仅 当 1 1 1 x x , 即 0 x ,且2a 时取等号) 函数( )g x在0,)单调递增,( )(0)0g xg,(*)式成立.9分 若2a ,令 1 ( )(0) 1 x xea x x 则 2 22 1(1)1 ( )0 (1)(1) x x xe xe xx ,当且仅当0 x 时等号成立 1 ( ) 1 x xea x 在区间0,)上单调递增, (0)20a, 111 ()110 111 a aeaaa aaa , 0 (0,)xa,使得 0 ()0 x,则当 0 0 xx时, 0 ( )()0 xx,即( )0g x, 函数( )g x在区间 0 (0,)x上
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