北京东城区2021高一下学期数学期末试题定稿（及答案）.docx

1、北京东城区北京东城区 20202020-20-202121 学年度第二学期期末学年度第二学期期末统一检测统一检测 高一数学2021.7 本试卷共 5 页，满分 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 30 分） 一、选择题：共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数2iz ，则zz （A）4（B）2（C）2i（D）0 （2）若a，b都是单位向量，则下列结论一定正确的是 （A）a = b（B）=1a b （C）ab（D）a

2、= b （3）由随机函数 RAND 生成了在区间0,1)内的随机数x，下列运算中能将x对应到区间 , ) ()a bab的是 （A）axb（B）bxa （C）ba xa（D）ba xb （4）在正方体 1111 ABCDABC D各条棱所在的直线中，与直线 1 BC异面且垂直的可以是 （A） 1 AA（B）BC（C） 11 AD（D）CD （5）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了 200 名学生进行成绩统计， 发现抽取的学生的成绩都在 50 分至 100 分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间） ，画出频率分布直 方图如图所示. 下列说法正确的是 （

3、A）直方图中x的值为0.004 （B）在被抽取的学生中，成绩在区间60,70)的学生数为 10 （C）估计全校学生的平均成绩不低于 80 分 （D）估计全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为 93 分 （6）设向量(cos,sin)a，则“1a”是“”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （7）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： i C “点数为i” ，其中1,2,3,4,5,6;i 1 D “点数不大于 2” ， 2 D “点数不小于 2” ， 3 D “点数大于 5” ； E “点数为奇数” ，F “点数为偶数”. 下列结

4、论正确的是 （A） 1 C与 2 C对立（B） 1 D与 2 D互斥 （C） 3 DF（D） 12 ()EDD （8）将函数( )sin(2)f xx的图象向右平移 6 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为 （A） 2 （B） 6 （C） 3 （D） 2 （9）若直线m 平面，则下列结论一定成立的个数是 内的所有直线与m异面； 内存在唯一一条直线与m相交； 内存在直线与m平行. （A）0（B）1（C）2（D）3 （10） 一条河流的两岸平行， 一艘船从河岸边的 A 处出发到河对岸.已知船在静水中的速度 1 v的大小为 1 10mv/s， 水流速度 2 v的大小为 2 2mv/s.

5、设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则 （A） 3 （B） 2 （C） 2 23 （D） 23 34 第二部分（非选择题共 70 分） 二、填空题：共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （11）在复平面内，复数 2 (1 i)z 对应的点Z的坐标为；z （12） 已知某车企从今年开始投产了 A,B,C 三种型号的新能源汽车， 第一个月下线的台数依次为250，450，300， 现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台 B 型号的新能源汽车被抽取的概率为 _. （13）在ABC中， 2 2abc，2bc，则cos A. （14）已知O中弦6AB ，则AO A

6、B _. （15） 已知，是平面，m是直线， 从下列五个条件中选择若干个作为已知条件， 能够得到/m的是. （填入条件的序号即可） /；m；/m；.m （16）用一张4A纸围绕半径为rcm的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图所示.设圆 柱体母线与截面的夹角为090，如图. 将其中一段圆柱体外包裹的4A纸展开铺平，如果忽略纸的厚度 造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图. 建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可 设为 sin0,0 .f xAx A若 f x的最小正周期为2，则r _cm，此时当_时，可使 f x的值 域为3, 3. 三、解答题：共 5

7、小题，共 46 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17） （本小题 9 分） 已知 1 tan 3 ，(0,) 2 ，1 sincos2，(, ) 2 . （）求tan() 4 及sin的值； （）求cos()的值. （18） （本小题 9 分） 为开阔学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号数学乐园 ，设定了 “数学史料” “趣题妙解”等栏目，定期发布文章.为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的 一些数据，其中阅读跳转率 fx记录了在阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的%x时退出该页 面的读者占阅读此篇文章所有读者的百

8、分比.例如：阅读跳转率205%f表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读 量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%.现从“数学史料” “趣题妙解”专 栏中各随机选取一篇文章，分别记为篇目 A,B，其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率来估计概率. （）随机选取一名篇目 A 的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量80%的概率； （）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到 30%的篇目 B 的读者中抽取 6 人，任选其中 2 人进 行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的 10%的概率？ （）请依据图中的数据，比较篇目 A 和篇目 B 的阅读情况，写出

9、一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化 建议. （19） （本小题 9 分） 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示.设水车（即圆 周）的直径为 3 米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为 1.2 米，逆时针匀速旋转 一圈的时间是 80 秒.水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：米） ，水车逆时针旋 转时间为t（单位：秒）.当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时， 点P距水面的高度记为负值. 过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开 始计时（0t ） ，设QON，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为. （

10、）求h与t的函数解析式； （）当雨季来临，河流水量增加，使点O与水面间的距离减少了 0.3 米，求QON的大小（精确到1） ； （）若水车转速加快到原来的 2 倍，直接写出h与t的函数解析式. (参考数据： 32 sin0.60,sin0.80,sin0.86) 5105 （20） （本小题 9 分） 已知点0,0O，2,1A，1,2B. （）若 1 2 OPOAOB ，求点P的坐标； （）已知OQOAOB . 1若点Q在直线:AB3yx 上，试写出, 应满足的数量关系，并说明你的理由； 2若QAB为等边三角形，求, 的值. （21） （本小题 10 分） 如图，矩形ABCD中，4AB ，2A

11、D ，E，F分别为AB，DC的中点.将四边形AEFD沿EF折起 至四边形 11 AEFD的位置，如图 （）求证：EF平面 1 AEB； （）若点 1 A在平面EFCB上的射影为BE的中点，求三棱锥 1 FABC的体积； （） 当平面 11 AEFD与平面EFCB垂直时， 作正方体 11 AD NMEFCB如图.若平面 平面 1 AFB， 且平面 截该正方体所得图形的面积记为S. 若C，则S ; S的最大值为.（直接写出结果） 东城区东城区 20202020-202-2021 1 学年度第二学期期末学年度第二学期期末统一检测统一检测 高一数学参考答案及评分标准高一数学参考答案及评分标准2021.

12、7 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） （1）A（2）D（3）C（4）D（5）C （6）B（7）C（8）B（9）A（10）C 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分）分） （11）(0,2)2（12） 1 50 （13） 1 4 （14）18 （15）或（16）130 三、三、解答题（共解答题（共 5 5 小题，共小题，共 4646 分）分） （17） （共 9 分） 解： （）由已知 1 tan 3 ，得 1 1 3 tan()2 1 4 1 3 .2 分 又由

13、已知得 2 1 sin1 2sin ， 因为(, ) 2 ，所以sin0. 解得 1 sin. 2 .5 分 （）由 1 tan,(0,) 32 ，可得 13 sin,cos. 1010 .7 分 由（）可知 1 sin 2 ，且(, ), 2 所以 3 cos 2 . 所以cos() 33111 3 3 =coscossinsin() 2210102 10 103 30 = 20 . .9 分 （18） （共 9 分） 解： （）如图可得，(90)30%,(100)10%,ff 所以他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为30%+10%=40%.3 分 （）设这6个人中阅读跳转率 fx

14、都为10%的3位读者的编号为1,2,3，阅读跳转率 fx都为20%的3位读者 的编号为, ,a b c， 从这6个人中任取2人的样本空间为： (1,2),(1,3),(1, ),(1, ),(1, ),(2,3),(2, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ),(3, ),( , ),( , ),( , ) ,abcabcabca ba cb c共15个样本 点， 其中阅读跳转率 fx都为10%的样本点为 1,2 , 1,3 , 2,3共3个， 所以这两人阅读跳转率 fx都为10%的概率是 31 . 155 .7 分 （）由图可知，篇目 B 的阅读跳转率3015%f，6020%f，

15、都明显高于篇目 A，说明篇目 A 的平均阅 读量大于篇目 B；建议栏目“趣题妙解”在选题上考虑读者的实际情况，关注文章的趣味性，提高可读性， 吸引更多的读者阅读整篇文章.9 分 （19） （共 9 分） 解： （）sinhPNNMRb， 由已知1.5R ，1.2b ， 22 8040T ， 40 tt ， 1.24 sin 1.55 b R ， 3 10 ， 所以函数解析式为 3 1.5sin() 1.2 4010 ht .5 分 （）1.20.30.9b ， 0.93 sin 1.55 b R ， 5 ， 所以=36 5 QON .7 分 （） 3 1.5sin() 1.2 2010 ht

16、.9 分 （20） （共 9 分） 解： （）设点P的坐标为, x y，(2,1),(1,2),OAOB 依题意可得 115 2 12,12. 222 xy 所以点P的坐标为 5 (2, ). 2 .2 分 （）因为直线:3AB yx ， 2 +2OQ ，则2 + + +2 =3 ，即+ =1. .5 分 若QAB为等边三角形， 设AB的中点为M，则 13 3 (+)=(, ). 22 2 OMOA OB 由对称性知点Q在直线yx上，则2 +2 ，即= ， 则3 ,3OQ ，则 22 32312AQAB ， 即 2 6610, 则 33 . 6 .9 分 （21） （共 10 分） 解： （）

17、因为四边形ABCD为矩形，且,E F分别为,AB DC的中点， 所以EF AE ，EF BE . 所以 1 EFAE.又 1 AEBEE ， 所以EF 平面 1 AEB.4 分 （）由点 1 A在平面EFCB上的射影为BE的中点，设为G， 可得 1 AG 平面EFCB， 1 AGEB . 又G为EB中点， 所以在直角三角形 1 A EG中，可得 1 3AG . 又 11 1 1 3 FA BCAFBCFBC VVSAG 12 233, 33 所以 1 2 3. 3 FA BC V .7 分 （）所求平面为平面 1 D MC, 1 2 3 (2 2)2 3. 4 D MC S max 3 3S.10 分