江苏省常州市2021高一下学期数学期末质量调研试卷（及答案）.doc

1、常州市 20202021 学年度第二学期期末质量调研 高 一 数 学 试 题 （考试用时：120 分钟试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题 卡上写在本试卷上无效 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1已知复数 z 23 1+ i i （i是虚数单位） ，则z的虚部为【 】 A. 1 2 B. 5 2 C. 5 2

2、 D. 5 2 i 2演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分 中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分7 个有效评分与 9 个原始评分相比， 不变的数字特征是【 】 A中位数B平均数C方差 D极差 3.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、B、C成等差数列，且边a、 b、c成等比数列，则ABC一定是【 】 A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形 D. 等边三角形 4魔方又叫鲁比克方块（Rubks Cube） ，是由匈牙利建筑学教授暨雕 塑家鲁比克艾尔内于 1974 年发明的机械益智玩具，与华容道、 独

3、立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思 议三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱 三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中 1 面 有色的小正方体称为中心方块，2 面有色的小正方体称为边缘方 块，3 面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任 取一个，恰好抽到边角方块的概率为【 】 A 2 9 B 8 27 C 4 9 D 1 2 5.已知 1 sincos 3 ，且(0, )，则sincos的值为【 】 A. 1 3 B. 17 3 C. 17 3 D. 17 3 或 17 3 2021.6 6垂直于同一直线的两条不同的直线平行；垂直于同一平

4、面的两条不同的直线平行；平 行于同一平面的两条不同的直线平行；平行于同一直线的两条不同的直线平行以上 4 个 命题中，真命题的个数是【 】 A1B2C3D4 7.如右图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点 D为线段PQ上一点， 且2PDDQ ， 若记OA a ，OB b ，OC c ， 则OD 【 】 A. 111 633 abc B. 111 333 abc C. 111 363 abc D. 111 336 abc 8 如 右 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ， 已 知PA 底 面 ,ABCD ABBC ADCD ，且 120 ,2BADPAABAD ，则 该四棱锥

5、外接球的表面积为【 】 A8B20C20 5 D 20 5 3 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的 四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 2 分 9.在复平面内，下列说法正确的是【 】 A. 若复数z满足 2 zR ，则zR B. 若复数 1 1 i z i (i为虚数单位)，则 2021 zi C. 若复数( , )zmni m nR，则z为纯虚数的充要条件是0m D. 若复数z满足条件2 3z，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，分别以2和3为 半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 10. 黄种人群中各种

6、血型的人所占的比例见下表: 血型ABABO 该血型的人所占比例0.280.290.080.35 已知同种血型的人可以输血，O 型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给 AB 血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血下列结论正确的是【 】 A.任找一个人，其血可以输给 B 型血的人的概率是 0.64 B.任找一个人，B 型血的人能为其输血的概率是 0.29 C.任找一个人，其血可以输给 O 型血的人的概率为 1 D.任找一个人，其血可以输给 AB 型血的人的概率为 1 11. 如右图， 正方体 1111 ABCDABC D中，P，Q分别为棱BC和 1 CC 的中点，则下列说法正确的

7、是【 】 A 1 AD 平面AQPB 1/ BC平面AQP C异面直线 1 AC与PQ所成角为 90 D平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形 12.如右图，在等腰直角三角形ABC中，2ABAC，90BAC，E，F分别为AB，AC 上的动点，设AE AB ，AFAC ，其中,(0,1) ，则下列 说法正确的是【 】 A. 若BE AF ，则1 B. 若 ，则EF 与BC 不共线 C若 1 ，记三角形AEF的面积为S，则S的最大值为 1 2 D. 若 22 1，且M，N分别是EF，BC边的中点，则|MN的 最小值为 21 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13 已知样本数据 1 x，

8、 2 x， 3 x， 4 x， 5 x的方差为 2， 则样本数据 1 32x ， 2 32x ， 3 32x ， 4 32x ， 5 32x 的方差为 14. sin15 cos5sin20 cos15 cos5cos20 ooo ooo 15 甲、 乙两队进行篮球决赛， 采取三场二胜制 （当一队赢得二场胜利时， 该队获胜， 决赛结束） 根 据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取 胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 16.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin3 cosaBbA，3a ，若点P 在

9、边BC上，并且2BPPC，O为ABC的外心，则OP之长为 四解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出 1 到 4 中的一个数，若两个数的和为偶数算 甲赢，否则算乙赢 若事件 A 表示“两个数的和为 5”，求 P(A)； 现连玩三次，若事件 B 表示“甲至少赢一次”，事件 C 表示“乙至少赢两次”，试问 B 与 C 是不是互斥事件?为什么? 这种游戏规则公平吗?试说明理由 18. 已知O是坐标原点，向量2,3 ,6,1( ,0)OAOBOPx ， 若PA PB ，求实数x的值； 当PA PB 取最小值时，求AB

10、P的面积 19. 如右图，在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 cos()cos2sinACBA，且(0,) 2 C 求角C； 若D为BC边上的一点，且5AD ，7AB ，3DB ，求 AC的长 20. 如右图，AB是圆O的直径， 点C是圆O上异于,A B的点，PO垂 直于圆O所在的平面，且2POOB 若D为线段AC的中点，求证：平面PAC 平面POD； 若ACBC， 点E是线段PB上的动点， 求CEOE的最小值 21螃蟹是金坛长荡湖的特产小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户小刘把去年采购 螃蟹的数量x(单位:箱)在100,200的客户称为“大客户”，并把他们去

11、年采购的数量制成下 表: 采购数x100,120120,140140,160160,180180,200 客户数10105205 已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的 5 8 根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并 估计采购数在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数； 估算小刘去年总的销售量(同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表)； 小刘今年销售方案有两种： 不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每 箱利润为 20 元，预计销售量与去年持平； 在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调 m 元(25m)，销售量可增加 1000m 箱 问哪一种方案利润最大？并求出今年利润

12、 Y(单位:元)的最大值 22. 如右图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/AD BC，90ADC， 3ADCD，4BC ，PBC为正三角形，点M，N分别在线段AD和PC上，且 2 DMCN AMPN 设二面角PADB为，且 1 cos 3 求证：/PM平面BDN； 求直线PM与平面PBC所成角的正弦值； 求三棱锥PABN的体积 20202021 学年度第二学期期末质量调研 高 一 数 学 试 题 评 分 标 准 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1B2A A3D D4B B5C C6B B7A

13、A8B B 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求的全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分 9BDBD10ADAD11BCDBCD12ACDACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 131814 23 150.6161 四四. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17. （本小题满分 10 分）解(1)易知样本点总数 n=16，且每个样本点出现的可能性相等.

14、 事件 A 包含的样本点共 4 个:(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，2 分 所以 P(A)=0.25.3 分 (2)B 与 C 不是互斥事件.4 分 理由:因为事件 B 与 C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次.6 分 (3)这种游戏规则公平.理由如下: 和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)， (4，2)，(4，4)，共 8 个，8 分 所以甲赢的概率为 0.5，乙赢的概率为 0.5，所以这种游戏规则公平.10 分 18 （本小题满分 12 分）解：解：(1)因为(2,3)OA ，(6,1)OB ，( ,0)OPx ，

15、所以(2,3)PAx ，(6,1)PBx ，2 分 又因为PAPB ，所以0PA PB ，即(2)(6)30 xx4 分 也即 2 8150 xx，解得3x 或5x ，则所求实数x的值为3或55 分 (2)由(1)知PA PB (2)(6)3xx 22 815(4)1xxx， 当4x 时，PA PB 取最小值1，7 分 此时( 2,3)PA ，(2,1)PB ， 则 165 cos, 65135 PA PB PA PB PAPB ，9 分 又在ABP中，,(0, )PA PB ，则 2 658 65 sin,1 () 6565 PA PB ，10 分 ABP的面积为 1 2 SPAPB sin

16、,PA PB 18 65 1354 265 12 分 19（本小题满分 12 分） 解：（1 1） 因为cos()cos2sinACBA， 所以cos()cos()2sinACACA 202 即cos()cos()2sinACACA，2 分 由两角和与差的余弦公式得，2sinsin2sinACA， 又因为在ABC中，sin0A，所以 2 sin 2 C ，5 分 又因为(0,) 2 C ，所以 4 C 6 分 （2 2）在ABD中， 由余弦定理得 222222 5371 cos 22 5 32 ADBDAB ADB ADBD ，8 分 又因为(0, )ADB，则 2 3 ADB ，即 3 AD

17、C ，9 分 在ACD中，由正弦定理得， sinsin ACAD ADCC ， 即 55 6 sin 32 sin 4 AC 12 分 20 （本小题满分 12 分）解： （1）在 C 中，因为 C ，D为 C 的中点， 所以CD1 分 又垂直于圆所在的平面，因为C圆所在的平面，所以C2 分 因为D ，所以C平面D ，4 分 因为C平面PAC，所以平面PAC平面POD6 分 （2）在中，2，90 ，所以 22 112 2 同理 C2 2 ，所以 CC=2 2 8 分 在三棱锥C中，将侧面C 绕旋转至平面C ，使之与平面共面， 如图所示当，C共线时，C取得最小值10 分 又因为，CC ，所以C

18、垂直平分，即为中点 从而 26CC ， 亦即C的最小值为 26 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解： (1)作出频率分布直方图，如图 2 分 根据上图，可知采购量在 168 箱以上(含 168 箱)的“大客户”人数为 180 168 50 200.0050.02017 20 4 分 (2)去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为 110 10 130 10 150 5 170 20 190 57500 (箱)6 分 小刘去年总的销售量为 5 750012000 8 (箱)8 分 (3)若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为1200 20240000Y (元)9 分 若在网上销售螃蟹，则

19、今年年底的销售量为12000 100m箱，每箱的利润20m， 则今年年底小刘的收入为 22 (20) (12000 1000 )100082401000(4)256Ymmmmm 当4m 时，Y取得最大值 25600011 分 256000240000， 小刘今年年底收入Y的最大值为 256000元. 12 分 22 （本小题满分 12 分）解： （1）证明：连接MC，交BD于E， 因为2 DM AM ，3AD ，所以2DM ，1AM ， 因为/AD BC，所以MDECBE， 2 CEBCCN EMDMNP ，所以/PMNE，2 分 因为NE 平面BDN，PM 平面BDN，所以/PM平面BDN.

20、3 分 （2）解：取BC中点F，连接MF、PF， 因为PBC为正三角形，所以PFBC， sin604 sin602 3PFPB ， 因为ABCD为直角梯形，/AD BC，90ADC，2FCMD， 所 以四边形DMFC为矩形，所以MFBC， 因为MFPFF， 所以BC平面PMF， 所以平面PBC 平面 PMF， 因为/AD BC，所以AD 平面PMF， 所以ADMP，ADMF，所以PMF， 5 分 设PMx，由余弦定理得 222 2cosPFPMMFPM MF ， 于是 2 22 1 2 3323 3 xx ， 整理得 2 230 xx ，解得3x 或1x （舍去） ，6 分 取PF中点Q，连接MQ，因为MPMF，所以MQPF， 又因为平面MPF 平面PBC，所以MQ 平面PBC， 所以直线PM与平面PBC所成角为MPQ.而 2 2 336MQ ，7 分 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为sinMPQ 6 3 MQ PM .8 分 （3）因为/AD BC，BC 平面PBC，AD平面PBC， 所以/AD平面PBC，所以MQ的长也是A点到平面PBC的距离，10 分 1 3 CBNPBP SS ， 2 111134 2 64 333223 P ABNA PBNA PBC VVV 12 分