2015年数学三真题答案解析.pdf

1、2015年2015年 又因级数区收敛，由正项级数比较审敛法的极限形式可知，原级数收敛 n -l n易 2 对于C选项：（ : +1 尸 n= 2m, n=2m+l = = (m O), 故互 (1) + 1 lnn = :z: 2 ln2n i= n-2 n-2n-2 由比较审敛法知，原级数发散 对于D选项： Un +! . (n+l)! 旷n n l -n+l)五希 !1! 工 = !:.1! ( n+l)n+l n! = !1!(n+l) = ! 声(1 n+l) =e-1 1. 由比值审敛法知，原级数收敛故应选C. (5) D 解 1 1 1 IA I= 1 2 a = (a 2)(a

2、1)(2 1) = (a - 2) (a 1). 1 4 a2 由线性方程组有无穷多解，得IA l=O, 即a=l或a=2. 由题意，知r(A)r(Ab)。h;: ) 勹:) 1 1 1 当aI时，(A,b)oIO d I 同理，当a2时，(A,b) 0 I I dI 0 0 0 (d 1) (d 2) 由题意，知r(A) = r CA , b) 3 , 即d=l或d=2. 故应选D. (6) A 解 又因为 QP: : J: : PAP I J 所以 1 0 QAQo 1 0 0 : rn : ff PAP : : Im I :1 故应选A. (7) C : I :m : I J: : m

3、I : I J 解对于A,B选项：当事件A与B独立时，P(AB) =P(A)PCB). 而当A,B不独立时，P(AB)与P(A)P(B)没有确定的关系，所以A,B选项错误 对于C,D选项：由概率性质P(A)P(AB)平CB)P(AB), PCA) +PCB) 两式相加，得P(A)+PCB)2PCAB), 即P(AB)-. 故应选C. (8) B 解因为XB(m,0),所以DCX) =m0Cl-0). l n 设s 2 = ex, X几则E(S 2) =D(X) =m0Cl-0). 区 n-l i-1 所以E笘ex,一X)2 =Cnl)E n1言 ex,X)z =(nl)E(S2)=(nl)D

4、(X)=m (n1)0(10). 故应选B. 二、填空题 (9) 1 2 解利用等价无穷小代换 1 2 x ln(cosx) lnl + (cosx l)cosx 1 1 lim =lim =lim = l im 2 = . 2 2 工-oX x-oX工-oX 2 2 ., o X 2 (10) 2 解 po) = I 1 (t) dt 矿(x) =xf: 2 f(t)dt =x Zxf(x2)+ f 工 f(t)dt 故矿Cl)=ZJ(l) + f:Jt)dt = ZJ(l) + pCl). 由题目中条件，知J(l)= 1 2 (11)-dx 了dy 3 矿(1) p(1) =2. 解由方程

5、e工+2y +3z+ xyz = l 知，当X=O,y =O时，z=0. 对方程两边分别关于x和y求偏导数，得 e工+2y +3z (1 + 3勹+ yz +xy 生= O, 知吐 e工+2y +3 之 (2 +3 lz 石） lz +xz +xy = O. . 3y 将x =O,y = O,z =O代入两式，得生I =-上生 2 dX (O,O) 3 dy CO,Ol 3 dz I =dx dy. (0,0) 3 3 (12) Ze工 十e -2工 ，则 解因 y(x)在X =O处取得极值3且y(x)可导，则y(O)=3,y(O) =0. 特征方程为入 2 十入 -2=0,解得入I=l, 入

6、2=2. 所以微分方程的通解为y =C1e工 +C 2e-2勹 代入y(O) =3,y(O) =O, 解得C1=Z,C2=l. 故y(x) = ze + e-2气 (1 3) 21 解由A的特征值为z 2,1及B=A2-A+E,则B的特征值为3,7, 1, 从而 B = 3 X 7 X 1 = 21. 1 (14) z 解由于相关系数为o, 所以，X,Y都服从正态分布，即XN(l,l),YN(O,l),且X和 Y相互独立 由XN(l,l),可得XlN(O,l), 所以 PXY-Y O =P(X l)YO =PX-lO+PX-lO,YO = P X -1 O + P X1 O P Y O 长三三

7、 = 三、解答题 (1 5)解因为 a 曰(x) = 屯1 + l + x+ b (sinx + XCOSX) = 1 +a, 曰(x)四3kxo, f (x) J(x) 所以当l+a#-0时， lim =lim , =. 与题设矛盾 x于o g (x)尸O g (x) 故l+a =O, 即a=-1. 又 四厂(x) = 叶 (1 :x)2 +b(Zcosx xsinx) =-a+ Zb = l + Zb, limg (x) c= lim6kx = 0, x-ox-o 由题设，同理可知1+ 2b =0, 即b =. 1 2 由于 2a 尸(x)Cl +x)3 -b (3sinx + xcosx

8、) hm 111 =lim x-0 g (x) x-06k f (x) 1 且lim =l, 所以=l, 即k= 1 x-o g (x) 3k 3 (1 6)解因为区域D关于y轴对称，所以Jfxydxdy =0, (x+ y)dxd: xdxdy D =2 dx J厂正dy a 1 3k 3k =2fx气立了 一 x勹dx 。 ， =2 f x z 互勹dx 2x 4dx. 0 0 令x =荔sint,则 x z 年二dx = J: 4sin2tcos2tdt =J:o cos4t)dt=王， 。8 又r x 4 dx 二，所以 0 5 (x+y)dxdy=二I. 4 5 (17)解 (18)

9、解 所以定价模型为 _ 1- f 1 - 7 ， -c l M f-l p - l i 1 7 1 - 7 dp- dQ - MC Q 11 ( _+ P P ” r p 且 ， 益 Q c M 收 dR- d 于 “V 边 R R M 得 M ， Q 有 应 p ， R 大 益 最 收 司 J 由 利 ） 使 欲 I （ C II) 由 题设知MC=ZQ, T/ = p dQ p Q dp 40-p 由 厂(x)u(x)u2(x)un(x) +u1(x)u 1 2Cx)Un (x) +u1(x)u2(x)u., (x). (20)解C I)由于A 3 =O, 所以 a 1 0 A1 a l

10、= a 3= 0 , 0 1 a 千是a= O. C II)由于 所以 由CI)知 X-XA 2 -AX +AXA2 =E, (E -A)X(E -A 2) =E. E-A +:1:l E-A 1 因为E-A,E-A 2 均可逆，所以 21 120 1 31 2 x-m A)一CBA产+ l -1 0 I O l+ I 1 110 1 0 0 21 1 ， 、 J IO2 OlO (2 1)解C I)由于矩阵A与矩阵B相似， 所以 tr(A)=tr(B), IAl=IBI, 3 +a -z +b, 2a3 =b, 于是 解得 a =4, b=5. (ll)由(1)知A-i: - ; . 由于矩

11、阵A勹 矩阵B 气:三以 I 队H -HlC入 1)气入-5), 故A的特征值为入1=儿 = l, 儿 =5 . 2 -3 当A,儿1时，由方程组(;-A)xO, 得线性尤关的特征向量 尸 Js,-: 1 当儿5时，由方程组(5E -A)xO, 得特征向量S,了 令P-(卢心厂 。 3 。 1 1 0 0 （ p IP 贝 , lA 丿 ll p 1 0 1 0 ， 0 0 5 故P为所求可逆矩阵 (22)解C I)每次观测中，观测值大千3的概率为 PX 3 = J厂f(x) dx = r= 2-x ln2dx一 1 8 故Y的概率分布为 C II) P Y = k = Ck 1) (;) k

12、-z (!) 2 , k = 2 , 3 , EY = :z=k Ck 1) 7 k-2 1 2 k -2 一厂）（习 =(订(:r) 1 2 2 =(百)(1儿.):1 I三 7b” =16. (23)解 C I)由于总体X服从区间0,1上的均匀分布，所以 EX= 1+0 2 . 1+e 2 令=X, 其中X为样本均值，得0的矩估计批ezx1 . C II)记X1立，Xn为样本X1,X2,，X的观测值，则似然函数为 L ()=II f (x; ;() ,-1 1 (1 0) 0 1 -o 0) o, 其他 由此可知，当(=minx1 ,xz, ，工时，L()达到最大，故0的最大似然估计晕 0 =minX1 ,X2, ，X )X, 之l(i=1,2, , n), 其他 O冬minx1,立，工，