2005-2013考研数二答案解析.pdf

1、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分. 方法方法 1：利用恒等变形得 x xy)sin1 ( += )sin1ln(xx e + ，于是 sin1 cos )sin1ln( )sin1ln( x x xxey xx + += + ， 从而 =x dy=.)(dxdxy= 方法方法 2：两边取对数，)sin1ln(lnxxy+=，对x求导，得 1cos ln(1 sin ) 1 sin xx yx yx = + + ， 于是 sin1 cos )sin1ln()s

2、in1 ( x x xxxy x + +=， 故 =x dy=.)(dxdxy= (2)曲线 x x y 2 3 )1 ( + =的斜渐近线方程为 _. 【详解】由求斜渐近线公式yaxb=+(其中 ( ) lim x f x a x =，lim ( ) x bf xax =)，得： 3 2 ( )(1) limlim1, xx f xx a xx x + + = 2 3)1 ( lim)(lim 2 3 2 3 = + = + x xx axxfb xx ， 于是所求斜渐近线方程为. 2 3 += xy (3)【详解】通过还原变换求定积分 方法方法 1：令txsin= (0) 2 t ,则 =

3、 1 022 1)2(xx xdx 2 0 2 cos)sin2( cossin dt tt tt 2 2 0 sin 2sin t dt t = 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 2 2 20 0 cos arctan(cos ) 1 cos4 dt t t = = = + 方法方法 2：令 2 1xt=，有 22 1,xt= 所以有xdxtdt= ，其中01t . 11 2 2200 1 arctan 014 (2) 1 xdxdt t t xx = + (4)【答案】. 9 1 ln 3 1 xxxy= 【详解】求方程( )( )

4、 dy P x yQ x dx +=的解，有公式 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC =+ (其中C是常数). 将原方程等价化为 xy x yln 2 =+，于是利用公式得方程的通解 22 ln dxdx xx yex edxC =+ 2 2 1 lnxxdxC x =+ = 2 11 ln 39 C xxx x +, (其中C是常数) 由 9 1 ) 1 (=y得0C =，故所求解为. 9 1 ln 3 1 xxxy= (5)【详解】由题设， 2 00 ( )1arcsincos limlim ( ) xx xxxx xkx + = )cosarcsin1(

5、 cos1arcsin lim 2 0 xxxkx xxx x + + 2 0 1arcsin1 cos lim 2 x xxx kx + = 2 00 1arcsin1 cos limlim 2 xx xx kxx =+ ， 又因为 2 0 1 cos1 lim 2 x x x =， 00 arcsin limarcsinlim1 sin xu xu xu xu = = 所以 0 ( )11 lim(1) ( )22 x x xk =+ 3 4k = 由题设0 x时( ) ( )xx，所以 3 1 4k =，得. 4 3 =k (6)【答案】2 【详解】 更多考研资料分享+q q 81095

6、8634 更多考研资料分享+q q 810958634 方法方法 1：因为 123123 1 ()(,) 1 1 += ， 123123 1 (24)(,) 2 4 += ， 123123 1 (39)(,) 3 9 += ， 故 123123123 (,24,39)B =+= 941 321 111 ),( 321 ， 记 123 (,)A =，两边取行列式，于是有 . 2 21 941 321 111 = AB 方法方法 2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对 应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变) 123123123 ,

7、24,39B =+ 2 1 1232323 3 1 ,3,28 =+ 3 22 123233 =,3,2 + 123233 =2,3, + 1 3 1223 2 33 =2, + 1 2 123 =2, 又因为 123 ,1A =，故B2 A=2=. 二、选择题二、选择题 (7)【答案】C 【详解】分段讨论，并应用夹逼准则， 当| 1x 时， 33333 |1 |2|2 | nnnn nnn xxxxx=+=，命n 取极限，得 33 lim2| n n n xx =，由夹逼准则得 1 33 3 1 ( )lim| (1)| . | n n n f xxx x =+= 更多考研资料分享+q q

8、810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 所以 3 1,| 1 ( ) ,| 1 x f x xx = 再讨论( )f x的不可导点. 按导数定义，易知1x = 处( )f x不可导，故应选(C). (8)【答案】A 【详解】 方法方法 1：应用函数奇偶性的定义判定， 函数( )f x的任一原函数可表示为 += x CdttfxF 0 )()(，且).()(xfxF= 当( )F x为 偶 函 数 时 ， 有)()(xFxF=， 于 是)() 1()(xFxF=， 即 )()(xfxf=，亦即)()(xfxf=，可见( )f x为奇函数； 反过来， 若( )f x为奇函

9、数， 则 0 ()( ) x Fxf t dtC =+ ， 令tk= ， 则有dtdk= ， 所以 000 ()( )()( )( ) xxx Fxf t dtCfk dkCf k dkCF x =+= +=+= ， 从而 += x CdttfxF 0 )()( 为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法方法 2：排除法， 令( )1f x =, 则取( )1F xx=+, 排除(B)、(C); 令( )f xx=， 则取 2 1 ( ) 2 F xx=, 排除(D); (9)【答案】A 【详解】当3x =时，有32 2 =+ tt，得 12 1,3tt= (舍去，此时y无意义)， 曲线( )yy

10、 x=的导数为 2 1 1 1 222(1) dy dy dtt dx dxtt dt + = + ， 所以曲线( )yy x=在3x =(即1t =)处的切线斜率为 1 8 于是在该处的法线的斜率为8, 所以过点(3,ln2)的法线方程为 )3(82ln=xy， 令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：32ln 8 1 +, 故应(A). (10)【答案】D 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 【详解】由于积分区域D是关于yx=对称的, 所以x与y互换后积分值不变, 所以有 = + + d yfxf yfbxfa D )()( )()(

11、d xfyf xfbyfa D + + )()( )()( = ( )( )( )( )1 2( )( )( )( ) D af xbf yaf ybf x d f xf yf yf x + + + = 2 1 2. 2242 D ababab d + = 应选(D). (11)【答案】B 【详解】因为)()()()(yxyxyxyx x u += ， )()()()(yxyxyxyx y u += ， 于是 )()()()( 2 2 yxyxyxyx x u + + = ， )()()()( 2 yxyxyxyx yx u + + = ， )()()()( 2 2 yxyxyxyx y u

12、+ + = ， 可见有 2 2 2 2 y u x u = ，应选(B). (12)【答案】D 【详解】由于函数( )f x在0 x =，1x =点处无定义，因此是间断点. 且 = )(lim 0 xf x ，所以0 x =为第二类间断点； 0)(lim 1 = + xf x ，1)(lim 1 = xf x ，所以1x =为第一类间断点，故应选(D). (13)【答案】B 【详解】 方法方法 1：利用线性无关的定义 12 , 分别是特征值 12 , 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 11

13、1222 ,AA = 121122 ()A +=+. 设有数 12 ,k k，使得0)( 21211 =+Akk，则 0 22211211 =+kkk 1211222 ()0kkk +=. 因 12 ，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故 21, 线性无关，则 = =+ . 0 , 0 22 121 k kk 当 1 2 2 1 0 0 =时，方程只有零解，则0, 0 21 =kk，此时 1 ，)( 21 +A线性 无关；反过来，若 1 ，)( 21 +A线性无关，则必然有0 2 (否则， 1 与 )( 21 +A= 11 线性相关)，故应选(B). 方法方法 2：将向量组的表出关系表示成

14、矩阵形式 12 , 分别是特征值 12 , 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 111222 ,AA = 121122 ()A +=+. 由于 ()()() 1 1121112212 2 1 , (), 0 A +=+= ， 因 12 ， 因不同特征值对应的特征向量必线性无关， 知 21, 线性无关. 若 1 ， )( 21 +A线性无关，则() 112 , ()2rA+=，则 ()() 111 1212 222 111 2,min,2 000 rrrr = ， 故 1 2 1 22 0 r ，从而 1 2 1 2 0 r = ，从而 1 2 2 1 0 0 = 若 1 2 2 1

15、 0 0 =，则 1 2 1 2 0 r = ，又 21, 线性无关，则 () 11 12 22 11 ,2 00 rr = ， 则 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 ()() 1 11212 2 1 , (),2 0 rAr += 从而 1 ，)( 21 +A线性无关的充要条件是. 0 0 1 2 2 1 = 故应选(B). 方法方法 3：利用矩阵的秩 12 , 分别是特征值 12 , 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 111222 ,AA = 121122 ()A +=+. 因 12 ，因不同特征值对应的特征向量必线性

16、无关，故 21, 线性无关，又 121122 ()A +=+，故 1 ，)( 21 +A线性无关 112 (, ()2rA+= 又因为 ()() 2 11122122 , += 11 将的-倍加到第 列 则 111221222 (,)(,)20rr +=(若 2 0=，与 122 (,)2r =矛盾) 方法方法 4：利用线性齐次方程组 12 , 分别是特征值 12 , 对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 111222 ,AA = 121122 ()A +=+. 由 12 ，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故 21, 线性无关， 112 , ()A+线性无关 11122 , +

17、线性无关 11122 ,0 +， () 11122 ,0X +=只有零解，又()() 1 1112212 2 1 , 0 += () 11 12 22 1 ,0 0 x x = 只有零解 12 , 线性无关时() 12 ,0Y =只有零解，故 11 22 1 0 0 x Y x = ，只有零解， 11 22 1 0 0 x Y x = 的系数矩阵是个可逆矩阵， 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 1 2 2 1 0 0 =，故应选(B) 方法方法 5：由 12 ， 21, 线性无关 12 , 分别是特征值 12 , 对应的特征向量，根据特

18、征值、特征向量的定义，有 111222 ,AA = 121122 ()A +=+. 向量组( ) 12 I :, 和向量组( ) 1121122 II :, ()A +=+. 显然向量组( )II可 以由向量组( )I线性表出；当 2 0时，不论 1 的取值如何，向量组( )I可以由向量组 ( )II线性表出 11 =， 11 211122112 2222 11 ()()()A = += +， 从而( )I，( )II是等价向量组当 2 0时，()() 1211122 ,2rr =+= (14)【答案】(C) 【详解】 方法方法 1：由题设，存在初等矩阵 12 E(交换n阶单位矩阵的第 1 行

19、与第 2 行所得)，使得 BAE= 12 ，(A进行行变换，故A左乘初等矩阵)，于是 * 1212 ()BE AA E=， 又初等矩阵都是可逆的，故 * 1 12 12 12 E E E =， 又 12 1EE= = (行列式的两行互换，行列式反号)， 1 1212 EE =，故 *1*1* 1212121212 BA EA EEA EA E = = ， 即 * 12 * BEA=,可见应选(C). 方法方法 2：交换A的第一行与第二行得B，即 12 BE A=. 又因为A是可逆阵， 12 1EE= = ，故 1212 0BE AEAA= ， 所以B可逆，且 111 1212 ()BE AA

20、E =. 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 又 11 , AB AB AB =，故 12 BA E BA =，又因BA= ，故 * 12 * BEA=. 三、解答题三、解答题 (15)【详解】 作积分变量代换，命xtu =，则 0 00 ()( )()( ) xx x f xt dtf uduf u du= , 于是 = x xx x x x x duufx dtttfdttfx dttxfx dttftx 0 00 0 0 0 0 )( )()( lim )( )()( lim= 洛必达法则 + + x x x xxfduuf xxf

21、xxfdttf 0 0 0 )()( )()()( lim = 整理 + x x x xxfduuf dttf 0 0 0 )()( )( lim 0 0 0 1 ( ) lim 1 ( )( ) x x x x f t dt x f xf t dt x = + 上下同除 而 0 0000 ( ) 1 lim( )limlim( )(0) x x xxx f t dt f t dtf xf xx = 所以由极限的四则运算法则得， 原式 0 0 0 1 ( ) lim 1 ( )( ) x x x f t dt x f xf t dt x = + 00 00 1 lim( ) 1 lim( )l

22、im( ) x x x x f t dt x f xf t dt x = + (0) (0)(0) f ff = + (0) 0 1 2 f = . (16) 【详解】由题设图形知， 3 C在 1 C的左侧，根据平面图形的面积公式得， =+= x xtt xedteexS 0 1 ) 1( 2 1 )1 ( 2 1 )(， = y dtttyS 1 2 )(ln)(， 由)()( 21 ySxS=，得 = y x dtttxe 1 )(ln) 1( 2 1 ， 注意到( , )M x y是 x ey =的点， 于是 = y dtttyy 1 )(ln) 1ln( 2 1 O 1 x y 1 l

23、y lx M(x,y) C1 C3 C2 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 两边对y求导得 )(ln) 1 1 ( 2 1 yy y =， 整理上面关系式得函数关系为：. 2 1 ln)( y y yyx = (17)【详解】 由直线 1 l过(0,0)和(2,4)两点知直线 1 l的斜率为 2. 由直线 1 l是曲线C在点(0,0) 的切线，由导数的几何意义知(0)2 f =. 同理可得(3)2 f = . 另外由点(3,2)是曲线C的 一个拐点知(3)0. f = 由分部积分公式， 33 22 00 ()( )()( )xx fx

24、dxxx dfx+=+ 3 3 2 0 0 ()( )( )(21)xx fxfxxdx=+ 3 22 0 (33)(3)(00)(0)( )(21)fffxxdx=+ =dxxfxfxx f d x +=+ 3 0 3 0 3 0 )(2)() 12()() 12( 3 0 (2 3 1)(3)(2 0 1)(0)2( )fffx dx= + + =.20)0()3( 216=+ff (18)【详解】 由题设)0(cos=ttx，有sin dx t dt = ，由复合函数求导的链式法则得 dt dy tdx dt dt dy y sin 1 =，) sin 1 ( sin 1 sin cos

25、 2 2 2 tdt yd tdt dy t t dx dt dt yd y= = ， 代入原方程， 2 2 22 cos111 (1 cos) ()cos ()0 sinsinsinsin t dyd ydy tty t dtt dttt dt +=， 化简得0 2 2 =+ y dt yd ， 其特征方程为 2 10r + =， 特征根 1,2 ri= , 通解为 12 cossinyCtCt=+ 所以 2 2121 1sincosxCxCtCtCy+=+=， 将初始条件 0 1, x y = =代入得， 2 122 101 0CCC= +=，即 2 1C =. 而 2 121 2 2 (

26、 1) 2 1 x yC xCxC x =+=+ ， 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 将 0 2 x y = =代入得 11 2 2 0 2 2 1 0 CC =+= ，即 1 2C =. 将 12 2,1CC=代入通解公式得满足条件的特解为 2 21,11.yxxx=+ (19)【详解】 (I) 令xxfxF+=1)()(，则( )F x在0，1上连续，且(0)10F= , 于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在),1 , 0( 使得0)(=F，即=1)(f. (II) 在, 0和 1 ,上对( )f x分别应用拉格朗日中值定理，知

27、存在两个不同的点 ) 1 ,(), 0(，使得 0 )0()( )( = ff f， = 1 )() 1 ( )( ff f 于是 . 1 1 1 1 )(1)( )()(= = = ff ff (20) 【 详 解 】 由ydyxdxdz22=知2 ,2 zz xy xy = . 对2 z x x = 两 边 积 分 得 2 ( , )( )zf x yxc y=+. 将 2 ( , )( )z x yxc y=+代 入2 z y y = 得( )2c yy=. 所 以 2 ( )c yyc=+. 所以 22 zxyc=+.再由1,1xy=时2z =知， 2c =. 于是所讨论的函 数为 2

28、2 2zxy=+. 求z在 2 2 1 4 y x +中 的 驻 点 . 由2 ,2 zz xy xy = 得 驻 点(0,0)， 对 应 的 (0,0)2zf=. 讨论 22 2zxy=+在D的边界 2 2 =1 4 y x +上的最值，有两个方法. 方法方法 1：把 22 4(1)yx=代入z的表达式，有 222 2=52zxyx=+，11x 10 x zx = 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 命0 x z =解得0 x =，对应的2y = ， 0,2 2 xy z = = 还要考虑11x 的端点1x = ，对应的0y =， 1,

29、0 3 xy z = = 由2,2,3zzz= =比较大小，故 min2z = (对应于0 x =，2y = )，max3z =(对应于0 x =，2y = ) 方法方法 2：用拉格朗日乘数法，作函数 2 222 ( , , )2(1) 4 y F x yxyx=+ 解方程组 2 2 22(1)0, 1 20 22 10 4 x y f Fxx x fy Fyy y y Fx = +=+= = += += = + = 由上面的第一个方程解得0 x =或1= ： 当0 x =时由最后一个方程解得2y = ； 当 1= 是由第二个方程解得0y =， 这时由最后一个方程解得1x = . 故解得 4

30、个可能的极 值点(0,2),(0, 2),(1,0),( 1,0).计算对应z的值： (0,2)(0, 2)(1,0)( 1,0) 2,2,3,3zzzz = = = 再与 (0,0) 2z=比较大小，结论同方法 1. (21) 【详解】D： 22 10 xy+ =为以O为中心半径为 1 的圆周， 划分D如下图为 1 D与 2 D. 这时可以去掉绝对值符号 22 222 22 1 1,( , ) 1 1,( , ) xyx yD xy xyx yD + += 方法方法 1： 22 1 D xyd+ = + 1 ) 1( 22 D dxdyyx + 2 ) 1( 22 D dxdyyx 后一个积

31、分用直角坐标做， D1 D2 x2+y2=1 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 2 2 11 2222 01 (1)(1) x D xydxdydxxydy +=+ 3 1 2222 2 0 11 (1)(1) 1(1-) 33 xxxxdx=+ 33 22 1111 2222 0000 2222 ()(1) (1) 3333 xxdxx dxdxxdx=+=+ 4 2 0 12 cos 33 tdt = + 2 2 0 121 cos2 () 332 t dt + = + 2 2 0 121 (12cos2cos 2 ) 334 tt

32、dt = + 2 0 1211 cos4 (12cos2) 3342 t tdt + = + 2 0 1211cos4 (12cos2) 33422 t tdt = + 2 0 121321cos4 (2cos2) 33422342 t tdt = + 121 0 3834 = + 1 38 = +. 前一个积分用极坐标做， 1 1 222 22 000 11 (1)(1)() 248 D xydxdydrrdrd = . 所以 22 1 D xyd+ = 8 + 1 38 +=. 3 1 4 方法方法 2：由于区域 2 D的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将 2 D内的函数“扩充”到整个区

33、域D= 12 DD，再减去“扩充”的部分，就简化了运算. 即 2 22 (1)d D xy+= 22 (1) D xyd+ 1 22 (1) D xyd+ 因此 22 1 D xyd+ = 1 22 (1) D xyd 2 22 (1) D xyd+ 1 22 (1) D xyd= + 22 (1) D xyd+ 1 22 (1) D xyd+ 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 1 22 2(1) D xyd= + 22 (1) D xyd+ 由极坐标 1 1 222 22 000 11 (1)(1)() 248 D xydxdydrr

34、drd = . 而 3 111 22222 000 1 (1)(1)(1) 0 3 D x xyddyxydxyxdy+=+=+ 3 11 22 00 1 1221 1()0 33333 y ydyydyy=+= 所以 22 1 D xyd+ =2 8 1 3 =. 3 1 4 (22)【详解】 方法方法 1：记 123123 (,),(,)AB =. 由于 123 , 不能由 123 , 线性表出， 故 ( )3r A ，(若( )3r A =，则任何三维向量都可以由 123 , 线性表出)，从而 11 11 11 a Aa a = 222 2 3 11 1 11 aaa a a + 把第

35、、行 加到第 行 111 1 (2) 11 (2) 11 aa a a + + 提取第 行的 公因子 111 21 (2)010 31 100 aa a + 行行 行行 1 3 01 3(2) ( 1)1 10 a a a + + 按第 列展开 2 (2)(1)a a= +0= (其中 1 3 ( 1) + 指数中的 1 和 3 分别是1所在的行数和列数) 从而得1a =或2a = . 当1a =时， 1231 1,1,1T=，则 123123 00=+ + ， 故 123 , 可由 123 , 线性表出，但 2 2,1,4T= 不能由 123 , 线性表出(因 为方程组 2123 2111

36、1111 4111 kkk =+ ，即 123 123 123 2 1 4 kkk kkk kkk += += += 无解)，故1a =符 合题意. 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 当2a = 时,由于 122112 122121 242211 B A = 122112 21 000033 312 006000 + 行行， 行行 因 2 ( )2()3r Br B=，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，故方程组 2 BX=无解，故 2 不能由 123 , 线性表出，这和题设矛盾，故2a = 不合题意. 因此1a =. 方法方法 2：对矩

37、阵),( 321321 =A作初等行变换，有 ),( 321321 =A= 114 111 11221 aaa aaa a 12211 21 022010 31 0423011 a aaa a aaaa + + 行行， 行行 12211 322 022010 00403(1)1 a aaa aaa + 行行， 当2a = 时，A 330600 030000 211221 , 不存在非零常数 123 ,k k k， 使得 123 1122 3000 3006 kkk =+ ， 2 不能由 321 ,线性表示， 因此2a； 当4a =时， A 390000 030660 411221 ， 3 不

38、能 由 321 ,线 性 表 示 ， 不 存 在 非 零 常 数 123 ,k k k， 使 得 123 4122 0066 3000 kkk =+ . 因此4a. 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 而当2a且4a时，秩3),( 321 =r，此时向量组 321 ,可由向量组 321 ,线性表示. 又 = aaa aaa a B 411 111 22111 ),( 321321 2 11122 21 011022 31 0110423 a aaaa a aaaa + + 行行， 行行 2 11122 32011022 00206342

39、a aaaa aaaa + + 行行， 由 题 设 向 量 组 321 ,不 能 由 向 量 组 321 ,线 性 表 示 ， 则 方 程 组 () 1231 x =或() 1232 x =或() 1233 x =无解，故系数矩阵的秩 增广矩阵的秩，故() 123 ( )r Br . 又当2a且4a时，( )3r B =，则必有01=a或02 2 =aa，即1a = 或2=a. 综上所述，满足题设条件的a只能是：1a =. 方法方法 3：记()() 123123 ,AB =，对矩阵()A B 作初等行变换，得 () 123123 11122 (,)111 114 a A Baaa aaa =

40、2 11122 21 011022 31 0110423 a aaaa a aaaa + + 行行， 行行 2 11122 32011022 00206342 a aaaa aaaa + + 行行， 由于 123 , 不能由 123 , 线性表出，故( )3r A 则( )f x严格单调增加；因为( )0,fx 则( )f x是凹函数，又 0 x ，画 2 ( )f xx=的图形 y y=f(x) y d 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy. 方法方法 2：用两次拉格朗日中值定理 000 ()(

41、)()ydyf xxf xfxx=+(前两项用拉氏定理) 0 ( )()fxfxx= (再用一次拉氏定理) 0 ( )()fxx =, 其中 000 ,xxx x+，从而0ydy. 又由于 0 ()0dyfxx=，故选 A 方法方法 3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式： 000 ( )()()()f xf xfxxx =+ ( ) 2 00 00 ()() ()() 2! n n n fxfx xxxxR n +， 其中 (1) 0 0 () () (1)! n n n fx Rxx n + = + . 此时n取 1 代入，可得 2 000 1 ()()()( )()0 2 ydyf

42、 xxf xfxxfx =+ = 又由 0 ()0dyfxx= ，选( )A . (8)【答案】(B) 【详解】 方法方法 1：赋值法 特殊选取 1,0 ( )0,0 1,0 x f xx x = ，满足所有条件，则 0 ,0 ( ) ,0 xxx f t dtx xx = . 它是连续的偶函数. 因此，选(B) 方法方法 2：显然( )f x在任意区间, a b上可积，于是 0 ( )( ) x F xf t dt= 记 处处连续，又 000 ()( )()( )( ) st xxx Fxf t dtft dtf s dsF x = = = 即( )F x为偶函数 . 选 (B) . (9)

43、【答案】(C) 【详解】利用复合函数求导法 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 1( ) ( ) g x h xe + =两边对x求导 1( ) ( )( ) g x h xg x e + = 将1x =代入上式， 1(1) 12 g e + = 1 (1)ln1ln2 1 2 g= = . 故选(C). (10)【答案】(C) 【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两 步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项. 因为 2 12 xxx yc ec exe =+是某二阶线性常系数

44、非齐次方程的通解， 所以该方程对应的 齐次方程的特征根为 1 和-2，于是特征方程为 2 (1)(2)20+=+=，对应的齐次 微分方程为-20yyy+= 所以不选(A)与(B)，为了确定是(C)还是(D)，只要将特解 x yxe =代入方程左边， 计算得()() -23 x yyye +=，故选(D). (11) 【答案】( )C 【详解】记 1 4 00 ( cos , sin )( , ) D df rrrdrf x y dxdy = ，则区域D的极坐标表示是： 01r ，0 4 . 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形 可以看出，直角坐标的积分范围（注意 yx=

45、与 22 1xy+= 在第一象限的交点是 22 22 （，） ，于是 2 2 :0,1 2 Dyyxy 所以，原式 2 2 1 2 0 ( , ) y y dyf x y dx = . 因此选 ( )C (12) 【答案】D 【详解】 方法方法 1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。 已知 00 (,)0 xy=，由( , )0 x y=，在 00 ,)xy（邻域，可确定隐函数( )yy x=， 满足 00 ()y xy=， dy xydx = 。 00 ,)xy（是( , )f x y在 条 件( , )0 x y=下 的 一 个 极 值 点 0 xx=是 ( , ( )zf x y x=

46、的极值点。它的必要条件是 00 0000 (,)(,) x xx x f xyf xydzdy dxxydx = =+ 0 00 00 0000 (,) 0 (,) (,)(,) x y x x xy xy xy fxyfxy = = 若 00 (,)0 x fxy=，则 00 (,)0 y fxy=，或 00 (,)0 x xy=，因此不选( )A，( )B. 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy(否则 0 0 x x dz dx = ). 因此选()D 方法方法 2：用拉格

47、朗日乘子法. 引入函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y=+，有 ( , )( , )0(1) ( , )( , )0(2) ( , )0 xxx yyy Ffx yx y Ffx yx y Fx y =+= =+= = 因为 00 (,)0 y xy，所以 00 00 (,) (,) y y fxy xy = ，代入(1)得 0000 00 00 (,)(,) (,) (,) yx x y fxyxy fxy xy = 若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy，选()D (13) 【答案】A 【详解】 方法方法 1：若 12 , s 线性相关,

48、 则由线性相关定义存在不全为0的数 12s ,k kk使得 1122 0 ss kkk+= 为了得到 12 , s AAA的形式，用A左乘等式两边, 得 1122 0 ss k Ak Ak A+= 于是存在不全为0的数 12s ,k kk使得成立，所以 12 , s AAA线性相关. 方法方法2：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是: 1. 12 , s 线性相关 12 (,) s rs ；2. ()( )r ABr B. 矩 阵 1212 (,)(,) ss AAAA =, 设 12s B(,) =， 则 由 ()( )r ABr B得 1212 (,)(,) ss

49、 r AAArs . 所以答案应该为(A). (14) 【答案】B 【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变 换或列变换)得出 更多考研资料分享+q q 810958634 更多考研资料分享+q q 810958634 将A的第 2 行加到第 1 行得B，即 110 010 001 BA = 记 PA 将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，即 110 010 001 CB = 记 BQ 因为PQ = 110 010 001 110 010 001 E=，故 1 QP E = 1 P=. 从而 11 CBQBPPAP = ,故选(B). 三、解答题

50、三、解答题 (15) 【详解】 方法方法 1：用泰勒公式 将 23 3 1() 26 x xx exo x= +代入题设等式整理得 233 11 1 (1)()()1() 226 B BxCBxCo xAxo x += + 比较两边同次幂函数得 1 1 0 2 1 0 26 BA CB B C + = += += ，由此可解得 1 3 A =， 2 3 B = ， 1 6 C = 方法方法 2： 用洛必达法则. 由 () 23 11(),(0) x eBxCxAxo xx+= + () 2 3 0 11 lim0 x x eBxCxAx J x + = (记) 2 2 0 (1)(2) lim