2002年数学三真题答案解析.pdf
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- 考研 真题
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1、1 2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】 1 1 2a 【详解】ln“”里面为1“ ”型,通过凑成重要极限形式来求极限, 1 (1 2 ) 1 2 211 limlnlimln 1 (1 2 )(1 2 ) nna a nn nna nana (1 2 ) 11 limln 1 1 2(1 2 ) na n ana 11 ln 1 21 2 e aa (2)【答案】 2 1 2 0 ( , ) x x dxf x y dy 【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域 1 D与 2 D,将它们的
2、并集记为D 于是 111 422 1 0 4 ( , )( , ) y yy dyf x y dxdyf x y dx ( , ) D f x y d 再将后者根据积分定义化为如下形式,即 2 1 0 2 xyxx从, 从,所以 2 1 2 0 ( , )( , ). x x D f x y ddxf x y dy (3)【答案】1 【详解】 122 212123 , 304134 aa Aa a 由于A与线性相关,(两个非零向量线性相关,则对应分量成比例),所以有 2 2334 11 aaa a ,得2334,1.aaa 或,(0)Akk(两个非零向量线性相关,则其中一个可以由另一个线性表出
3、) 即231 341 aa ak a ,得23 34 aka ak ak ,得1.(1)ak (4)【答案】0.02 【详解】 2 X、 2 Y和 2 X 2 Y都是0 1分布,而0 1分布的期望值恰为取1时的概率p 由离散型随机变量X和Y的联合概率分布表可得 2 X的可能取值为 0 和 1,且 2 Y的可 能取值也为 0 和 1,且X和Y的边缘分布为 00.070.180.150.4P X ;10.080.320.200.6P X ; 10.070.080.15P Y ;00.180.320.5P Y ; 10.150.200.35P Y ; 故有 X01 0.40.6 Y101 0.150
4、.50.35 22 0,00,00.18,P XYP XY 22 0,10,10,10.070.150.22,P XYP XYP XY 22 1,01,00.32,P XYP XY 22 1,11,11,10.080.200.28,P XYP XYP XY 而边缘分布律: 2 000.4P XP X, 2 110.6P XP X, 2 000.5P YP Y, 2 1110.150.350.5P YP YP Y 所以, 22 (,)XY的联合分布及其边缘分布为 3 2 Y 2 X 01 0018022040 1032028060 0500501 由上表同理可求得 22 X Y的分布律为 22
5、X Y 01 P072028 所以由0 1分布的期望值恰为取 1 时的概率p得到: 2222 222222 ()0.5()0.60,(0.28 cov() ()0.280.6 0.50.02 E XE YE X Y XYE X YE XE Y ,) (,) () (5)【答案】1X 【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只 需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 () ()( )1 x E Xxf x dxxedx 样本均值 1 1 n i i XX n 用样本均值估计期望有EXX,即 1 1 1 n i i X n , 解
6、得未知参数的矩估计量为 1 1 11 n i i XX n 二、选择题二、选择题 (1)【答案】(B) 【详解】方法方法 1:论证法由题设( )f x在开区间( , )a b内可导,所以( )f x在( , )a b内连续, 因此, 对于( , )a b内的任意一点, 必有lim ( )( ). x f xf 即有lim ( )( )0 x f xf 故 选(B) 方法方法 2:排除法 (A)的反例: 1( , ( ) 1 xa b f x xa ,有( )1,( )1,( ) ( )10f af bf a f b , 4 但( )f x在( , )a b内无零点 (C)与(D)的反例, (
7、1,1 ( ) 11 xx f x x ( 1)(1)1ff,但( )1fx(当 ( 1,1)x ),不满足罗尔中值定理,当然也不满足拉格朗日中值定理的结论故选(B) (2)【答案】(D) 【详解】方法方法 1:A是m n矩阵,B是n m矩阵,则AB是m阶方阵,因 ()min( ( ), ( )r ABr A r B 当mn时,有()min( ( ), ( )r ABr A r Bnm(系数矩阵的秩小于未知数的 个数)方程组0AB x 必有非零解,故应选(D) 方法方法 2:B是n m矩阵, 当mn时,,则( )r Bn,(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方 程组0Bx 必有非零解,即存在 0
8、0 x ,使得 0 0Bx ,两边左乘A,得 0 0ABx , 即0ABx 有非零解,故选(D) (3)【答案】(B) 【详解】方法方法 1:由题设根据特征值和特征向量的定义,A,A是n阶实对称矩阵, 故 T AA设 1 T P APB ,则 111 () TT TTTTT BP A PP APP A P 上式左乘 1 T P ,右乘 T P,得 111 ()()() TTTTTT PBPPP A PP ,即 1 TT APBP , 所以 1 () TT APBP 两边左乘 T P,得 1 ()() TTTT P PBPP 得() TT B PP 根据特征值和特征向量的定义,知 1 ()TBP
9、 AP 的对应于特征值的特征向量为 T P,即应选(B) 方法方法 2:逐个验算(A),(B),(C),(D)中哪个选项满足,由题设根据特征值和特征向量的定 义,A,A是n阶实对称矩阵,故 T AA设 1 T P AP 属于特征值的特征 5 向量为,即 1 T P AP ,其中 111 TTT TTT P APP A PP AP 对(A),即令 1 P ,代入 111 () T T P APPP 对(B), 1 () T TT P APP 1 () T TT P A PP 1 () TTT P A PP T P A() T P 成立故应选(B) (4)【答案】C 【分析】(i) 2 变量的典型
10、模式是: 2222 12n XXX,其中 i X要求满足: i X相互 独立,(0,1) i XN称 2 为参数为n的 2 变量 (ii)F变量的典型模式是: 1 2 / / X n F Y n ,其中,X Y要求满足:X与Y相互独立, 22 12 (),()XnYn,称F为参数为 12 ,n n的F变量 【详解】方法方法 1:根据题设条件,X和Y均服从(0,1)N故 2 X和 2 Y都服从 2(1) 分布, 答案应选(C) 方法方法 2:题设条件只有X和Y服从(0,1)N,没有X与Y的相互独立条件因此, 2 X与 2 Y 的独立条件不存在,选(B)、(D)项均不正确 题中条件既没有X与Y独立
11、,也没有(, )X Y正态,这样就不能推出XY服从正 态分布的选项(A)根据排除法,正确选项必为(C) 三三【详解】 22 0000 00 3 arctan(1)arctan(1) limlim 1 (1 cos ) 2 xuxu xx t dt dut dt du xx x 等 2 0 0 2 arctan(1) lim 3 2 x x t dt x 洛洛 2 0 arctan(1) 2 lim 3 x xx x 2 3 46 四四【详解】方法方法 1:用一阶微分形式不变性求全微分 123 duf dxf dyf dz ( , )zz x y由 xyz xeyeze所确定,两边求全微分,有
12、()()()()() xyzxyz d xeyed zed xed yed ze 6 xxyyzz xe dxe dxye dye dyze dze dz, 解出 (1)(1) ,(10). (1) xy z exdxeydy dzz ez 设 所以du 123 (1)(1) (1) xy z exdxeydy f dxf dyf ez 1323 (1)(1) (1)(1) xy zz exey ffdxffdy ezez 方法方法 2: 1323 , uzuz ffff xxyy (根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到 z x , z y 由 xyz xeyeze两边对x求
13、偏导数,有 (), xxzz z xeezee x 得 xx zz zxee xzee ,(10)z 设类似可得, yy zz zyee yzee ,代入, uu xy 表达式 1323 (),() xxyy zzzz uxeeuyee ffff xzeeyzee , 再代入 uu dudxdy xy 中,得 du 1323 (1)(1) (1)(1) xy zz exey ffdxffdy ezez 五五【详解】首先要从 2 (sin) sin x fx x 求出( )f x 命 2 sinux,则有sin xu,arcsinxu,于是 arcsin ( ) u f u u (通过换元 求出
14、函数的表达式) arcsin ( ) 11 xxx f x dxdx xxx arcsin 1 x dx x sin 2sin cos cos xt t ttdt t (换元积分法) 7 sinttdt 2cossintttC(分部积分法) 21arcsinxxxC 六六【分析】旋转体的体积公式:设有连续曲线:( )()yf x axb,( )0f x 与直线 ,xa xb及x轴围成平面图形绕x轴旋转一周产生旋转体的体积 2 ( ) b a Vf xdx. 【详解】(1) 2 2 25 1 4 2(32) 5 a Vxdxa 2 2 2224 2 0 202 a Vaax dyaa (2) 5
15、4 12 4 (32) 5 VVVaa 根据一元函数最值的求法要求驻点,令 3 4(1) 0 dV aa da =, 得1a . 当01a时0 dV da ,当12a时0 dV da ,因此1a 是V的唯一极值点且 是极大值点,所以是V的最大值点, 129 max 5 V 七七【解】(1) 36933 1 ( )11 3(3 )!(3 )! nn n xxxxx y x nn + ! 6! 9! , 由收敛半径的求法知收敛半径为,故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得 33 11 ( )(1) (3 )!(3 )! nn nn xx y x nn 31 1 3 (3 )! n n nx n 31
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