1993年数学三真题答案解析.pdf

1、1 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 6 5 【解析】 22 2 2 sin 35235 limsin2limlim 2 5353 xxx xx x xxxx x , 极限 0 2 sin sin limlim1 2 xt t x t x , 而 2 2 3563 limlim 53105 xx xx xxx 洛, 所以 2 35236 limsin21 5355 x x xx

2、. (2)【答案】 3 4 【解析】令 32 32 x g x, x 则有 01g, 2 12 32 gx x ,则 03g, 由复合函数求导法则知 0 3 00313arctan1. 4 x dy fggf dx (3)【答案】 2 2ln3 【解析】利用几何级数求和公式 0 1 (1), 1 n n xx x 令 ln3 2 x ,即得 0 (ln3)12 . ln3 22ln3 1 2 n n n (4)【答案】0 【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义. 由于 2r A ,说明A中 3 阶子式全为 0,于是A的代数余子式0 ij A,故0 * A . 所以秩0 * r A. 若

3、熟悉伴随矩阵 * A秩的关系式 2 11 01 * n,r An, r A,r An, ,r An, 易知0 * r A. 注注：按定义 11211 12222 12 n n* nnnn AAA AAA A, AAA 伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是1n阶子式. (5)【答案】(4.804,5.196) 【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以 用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间. 因X的方差为1,设X的期望为,则(0,1) / X UN n . 当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知 0.025 2 1.96uu .因此

4、用公式： 22 (,)Ixuxu nn . 将 2 5,1,100,1.96xnu代入上式,得到所求的置信区间为(4.804,5.196)I . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(C) 【解析】利用函数连续定义判定. 由于当0 x 时, 2 1 sin x 为有界变量,x为无穷小量,则 2 00 1 limlimsin0 xx f xx x ,且 00f. 于是 f x在0 x 处连续.故(A)(B)不正确. 又因为 22 2 000 11 sin0sin 11 limlimlims

5、in 0 xxx xfx xx xxxx 不存在,所以 f x 在0 x 处不可导,所以选(C). 【相关知识点】 函数连续定义： 如果函数在 0 x处连续,则有 00 0 lim( )lim( )() xxxx f xf xf x . 3 (2)【答案】(A) 【解析】 22 ln11111 ln. fx Fxfxff xxxxxx 【相关知识点】积分上限函数的求导公式： x x d f t dtfxxfxx dx . (3)【答案】(B) 【解析】AA 有n个线性无关的特征向量. 由于当特征值 12 时,特征向量 12 , 线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时, 矩阵A有n个线性无关的

6、特征向量,那么矩阵A可以相似对角化. 因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其 几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B). (4)【答案】(D) 【解析】()1P B A 的充分必要条件是 () 1 ( ) P AB P A ,即()( )P ABP A.显然四个选项中, 当AB时,ABA,可得()( )P ABP A.因此AB是()1P B A 的充分条件.因此 选(D). (5)【答案】(B) 【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识. 由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有 ()( )(

7、 )( ), xt aa a Fax dxt dtx dx 随机变量X的密度函数为( )x,则( )1x dx ,又由于()( )xx,所以 0 0 1 ( )( ) 2 x dxx dx ,(偶函数积分的性质) 即 0 0 1 ( )( )( )( ) 2 aa aa x dxx dxx dxx dx . 于是 000 1 ()( )( )( )( )( ) 2 aaa a Fax dxx dxx dxx dxx dx . 故应选(B). 三、(本题满分 5 分)三、(本题满分 5 分) 【解析】方法一：方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得 0 z y xz y x dzdy

8、dxedxxedzdydx. 整理后得111 z y xz y xz y xz y x xedzxeedxxedy. 4 由此,得 1 1 z y xz y x z y x xee dzdxdy xe . 方法二方法二：应先求出函数对, x y的偏导数,将0 z y x zyxxe 两边分别对, x y求偏导, 110 110 z y xz y x xx z y x yy zexez, zxez, 解之得 11 1 z y x x z y x xe z xe , 1 y z . 故 11 1 z y x xy z y x xe dzz dxz dydxdy xe . 四、(本题满分 7 分)四

9、、(本题满分 7 分) 【解析】 2 2 22 limlim 1lim 1 x aax xx ax a xxx xaaa xaxaxa , 令 2a t xa ,则当x 时,0t , 1 2 0 2 lim 1lim 1 x a a t xt a te xa , 所以 2 2 lim 2 2 2 lim 1 x x aax ax ax a ax a x a ee xa . 而 2222222 4224 xxxx aaaa x edxx dex exedx 22222 lim222 bax ab b ea exde 2222 222 axx aa a exeedx 222222 2lim22li

10、m ababa bb a ebeaeee 2222 22 aaa a eaee , 由 22222 22 aaaa ea eaee, 得 2 0aa,所以0a 或1a. 五、(本题满分 9 分)五、(本题满分 9 分) 【解析】(1) 利润函数为 5 22 ()()()()LpqCdeq qaqbqcdb qea qc, 对q求导,并令0 dL dq ,得()2()0 dL dbea q dq ,得 2() db q ea . 因为 2 2 2()0, d L ea dq 所以,当 2() db q ea 时为利润函数的极大值点,根据题意也是利 润的最大值点,所以 2 max () 4() d

11、b Lc ea . (2) 因为 1 ( )()q pdp e ,所以 1 ( )q p e ,故需求对价格的弹性为 peqd q qeq . (3) 由1,得 2 d q e . 六、(本题满分 8 分)六、(本题满分 8 分) 【解析】由题设可得示意图如右.设 12 ( ,( ),( ,1) x P x f xP x e ,则 12 SPP, 即 0 ( )1( ) x x f t dtef x . 两端求导,得( )( ) x f xefx,即( )( ) x f xfxe. 由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得 ( )( ) ( )( ) p x dxp x dx f xeq x ed

12、xC () dxdx x ee edxC 1 (). 2 xxxxx e e dxC eCee 由初始条件(0)0f,得 1 2 C .因此,所求函数为 1 ( )() 2 xx f xee. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程( )( )yp x yq x 的通解公式为: ( )( ) ( ) p x dxp x dx yeq x edxC ,其中C为常数. 七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分) 【解析】因为( )f x分别在0, c和 ,1c上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在 12 (0, ),( ,1)cc,使得 12 ( )(0)(1)( ) ( ),(), 01 f

13、cfff c ff cc 6 由于点C在弦AB上,故有 ( )(0)(1)( )(1)(0) (1)(0), 011 0 f cfff cff ff cc 从而 12 ( )()(1)(0).ffff 这表明( )fx在区间 12 , 上满足罗尔定理的条件,于是存在 12 ( ,) (0,1),使得 ( )0f. 八、(本题满分 10 分)八、(本题满分 10 分) 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换, 第一行和第三行互换,再第一行分别乘以 1、1加到第二行和第三行上,再第二行和 第三行互换,再第二行乘以 1 2 k 加到第三行上,有 22 1141124 1111 1124114 k A

14、kkkk k 2 2 11241124 01340228 02280134 kkk kkk 1124 0228 (1)(4) 00(4) 2 k kk k k . (1)当1k 且4k 时,( )( )3r Ar A,方程组有唯一解,即 22 123 2242 ,. 111 kkkkk xxx kkk (2)当1k 时,( )3, ( )2r Ar A方程组无解. (3)当4k 时,有 11241030 02280114 00000000 A . 因为( )( )23r Ar A,方程组有无穷多解. 取 3 x为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0)T. 7 又导出组的基础解系为( 3, 1

15、,1)T ,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵AA b的秩,即( )( )r Ar A.(或者说,b可由A的列向量 12 , n 线表出,亦 等同于 12 , n 与 12 , n b 是等价向量组) 设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则 （1）有唯一解( )( ).r Ar An （2）有无穷多解( )( ).r Ar An （3）无解( ) 1( ).r Ar A b不能由A的列向量 12 , n 线表出. 九、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分

16、) 【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为 110 1,1 112 AB . 由于P是正交矩阵,有 1 P APB , ,即知矩阵A的特征值是 0,1,2.那么有 22 20, 0. 20. A EA 【相关知识点】 二次型的定义： 含有n个变量 12 , n x xx的二次齐次多项式(即每项都是二 次的多项式) 12 11 , nn nijij ij f x xxa x x 其中 ijji aa, 称为n元二次型,令 12 , T n xx xx, ij Aa,则二次型可用矩阵乘法表示为 12 , T n f x xxx Ax 其中A是对称矩阵 T AA,称A为二次型 12 , n f x

17、xx的矩阵. 十、(本题满分 8 分)十、(本题满分 8 分) 【解析】(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则 8 P AP XaP YaP B, 又事件AXaBYa和独立,故 P ABP A P B. 估计广义加法公式： 23 2 4 P ABP AP BP A P BP AP A. 解以( )P A为未知量的方程 23 20 4 P AP A. 得 1 ( ) 2 P A ,(因 3 ( ) 2 P A 不合题 意). 再依题设条件可知 2 23 131 ( )( )(8) 288 aa P AP Xaf x dxx dxa . 再解以a为未知量的方程: 3 84a,得 3 4a .

18、(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望: 22 22 0 222 00 1113333 8884 Ef x dxx dxdxx. Xxx 十一、(本题满分 8 分)十一、(本题满分 8 分) 【解析】 本题的关键在于理解随机变量 N t的意义,事件 N tk表示设备在任何长为t 的时间内发生k次故障,其概率为 () (0,1,2) ! k t t P N tkek k . 由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当0t 时, 0;F tP Tt当0t 时, 事件Tt与Tt是互逆事件,并且Tt表示在长为t的时间内没有发生故障,它等 价于事件 0N t . (1)易见T是只取非负值的连续型随机变量. 当0t 时, 0;F tP Tt 当0t 时,事件Tt与 0N t 等价.于是有 1101 t F tP TtP TtP N te. 因此 1,0 0, t et F t t . 计算得知T服从参数为的指数分布. (2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此 88 16|88181(8)1 (1)QP TTP TP TFee .