福建省福州市2020-2021学年高一下学期期末数学试题.docx

1、1 福州市福州市 2020-2021 年第二学期质量检查数学试卷年第二学期质量检查数学试卷 （完卷时间：120 分钟；满分：150 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足 i 1 i 2i z ，则复数z （） A.2iB.12iC.3iD.32i 2.设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EBFC （） A.AD B. 1 2 AD C. 1 2 BC D.BC 3.若 2 log 31x，求33 xx （） A. 5 2 B.13 6 C.10 3 D. 3 2 4.某校新

2、成立 3 个社团，规定每位同学只能参加其中一个社团，假定每位同学参加各个社团的可能性相同，则该校甲、 乙两位同学参加同一个社团的概率为（） A. 1 9 B. 1 6 C. 2 3 D. 1 3 5.已知复数 1 z， 2 z，则“ 12 ,z z R”是“ 12 zz”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.将曲线 1: 2sinCyx上各点的战坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，得到的曲线 2 C，把 2 C向左平移 6 个单位 长度，得到曲线 3: Cyf x，则下列结论正确的是（） A. f x的最小正周期为4B. 12 x 是

3、f x的一条对称轴 C. f x在, 3 6 上的圾大值为3D. f x在, 3 6 上单调递增 7.在我国国旗的正五角星图形中有许多黄金分割点，如图所示的正五角星几何图形中，CDE是顶角为36的等腰三 角形，C，D为线段AB上的两个黄金分割点，则有 51 2 ACBD ABAB CD BC .据此计算cos216 （） A. 51 2 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 4 8.如图所示的一个圆锥形的金瓜配件，重 75.06 克，其轴截面是一个等边三角形，现将其打磨成一个体 积最大的球形配件，则该形配件的重量约为（） A.34.37 克B.34.03 克C.33.36 克D.32.6

4、9 克 二、选择题：本题共 4 小题，每小陋 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9.某地区经过一年的新农村延设，农村的经济收入增加了一倍，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了 该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 2 则下面结论中正确的是（） A.新农村建设后，种植收入减少了B.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 C.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 10.已知a ，b 是平面内夹角为 3

5、的两个单位向量，向量c 在该平面内，且 0abc ，则下列结论正确的是（） A.1ab B.1ab C.acb D.c 的最小值为 1 2 11.在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点P、E、F分别为 1 CC、BC、CD的中点，则下列说法正确的是 A.AP与EF所成角为60B.点 1 A到平面PEF的距离为 3 3 4 C.直线 1 AB与平面PEF所成角的正弦值为 6 3 D.平面 1 PED减正方体得到的截面图形是梯形 12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2 cb ab，则以下结论正确的是（） A.cbB.2CBC.acD.0 4 B 三、填空题

6、：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上. 13.“幸福感指数”是某个人对自己目前生活状态满意程度的主观指标数值，常用区间0,10内的一个数来表示，该数 越接近 10 表示满意程度越高，现随机抽取 6 位小区居民进行调查，他们的“幸福感指数”分别为 5，6，7，8，9，5， 则这组数据的第 80 百分位数是_. 14.已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为 2，则这个球的表面积为_. 15.设向量 1 1,0e ， 2 0,1e .若 12 27aee ， 12 43bee ，则a b _，向量a 在向量b 上的投影向量 为_.

7、 16.某小微企业生产一种如下图所示的电路子模块：要求三个不同位置 1，2，3 接入三个 不同的电子元件A，B，C，它们正常工作的概率分别为 0.9，0.8，0.7，假设接入三个 位置的元件能否正常工作相互独立， 当且仅当 3 号位元件正常工作同时 1 号位与 2 号位元 件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作，则该电路子模块能正常工作的概 率最大值为_. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD 平面BCD. （1）求证：ADAC； （2） 已知2DEEA，2D

8、FFC， 则棱BD上是否存在点G， 使得平面/EFG平面ABC？ 若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由. 3 18.（12 分）已知 1 sincos 5 ，0,， （1）求tan的值； （2）若 2 sin 10 ，0, 2 ，求的值. 19.（12 分）2021 年是“十四五”规划开局之年，也是建党 100 周年.为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担 使命”的知识竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取 100 人的成绩作为样本，进行适当分组后（每组为左闭右开的区 间） ，画出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分x（同一组中的数

9、据用该组区间中点值代表） ； （2）若根据成绩对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于 75 分的学生中随机抽取 7 人查看他们的 答题情况，再从这 7 人中随机抽取 2 人进行调查分析，求这 2 人中至少有 1 人成绩在85,95内的概率. 20.（12 分）已知函数 ee xx f x . （1）根据函数单调性的定义，研究 f x的单调性； （2）若 2 21g xxxaf x有唯一零点，求a的值. 4 21.（12 分）如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点.某学习小组准备了两种工具：测角仪（可 测量仰角与俯角）与米尺（测量长度）.请你利用准备好的工具，设计

10、一种测量建筑物高度AB的方案，包括： 指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中） ；用文字和公式写出计算AB的步骤. 22.（12 分）如图，已知正四棱锥SABCD与正四面体SA B C 所有的棱长均为a. （1）若M为SB的中点，证明：/SD平面MAC； （2）把正四面体SA B C 与正四棱锥SABCD全等的两个面重合，排成一个新的几何体，问该几何体由多少个 面组成？并说明理由. 5 福州市福州市 2020-2021 年第二学期质量检查年第二学期质量检查 数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同， 可根据

11、试题的主要考查内容比照评分标准制定 相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定 后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1.B2.A3.A4.D5.B 6.B7.C8.C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9.BCD10.BD11.CD12.AB 三、填空题：本大题共 4

12、小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.814.2015.13； 52 39 , 25 25 或 12 5239 ee 2525 16.0.846 12.【解答】因为 2 cb abbc，所以cb，故 A 正确； 由余弦定理得， 2222 22 cos 22 acbaababc acac B cb ，所以co2scBb， 由正弦定理得， csinC bsinB ，所以 2 sinC cosB sinB ，即2sinCsinBcosB， 所以2sinCsin B，所以2CB或2CB， 因为ABC，若2CB，可得AB，所以ab， 又 2 ()cb ab，所以 222 cab，此时 2 C ，

13、4 AB ，满足2CB，故 B 正确； 当 4 AB ， 2 C 时，ac，故 C 错误； 由 B 选项可知2CB，故20ABCBB，即 3 B ，故 D 错误。 15. 【解答】 因为2,7a ，4,3b ， 所以13a b ， 向量a 在向量b 上的投影向量为 52 39 , 25 25 a bb a abb 。 16.【解答】将A，B，C型电子元件分别接入 3 号位，1 号位，2 号位，或者将A，B，C型电子元件分别接入 3 号 位，2 号位，1 号位时，该电路子模块能正常工作的概率最大，记事件E “A元件正常工作” ，事件F “B元件正 常 工 作 ”， 记 事 件G “C元 件 正

14、常 工 作 ”， 记 事 件H “ 电 路 子 模 块 能 正 常 工 作 ”， 则 10.911 0.81 0.70.846P HP EP F P G . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 17.【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查空间想象能力、逻辑推理能 力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性. 6 【解答】 （1） 因为平面ABD 平面BCD， 平面ABD平面BCDBD，BC 平面BCD，BCBD， 所以BC 平面ABD2 分 因为AD 平面ABD，所以BCAD， 又ABAD，而AB

15、BCB，AB 平面ABC， BC 平面ABC，所以AD 平面ABC.4 分 又因为AC 平面ABC，所以ADAC.5 分 （2）存在点G，满足2DGGB时，使得平面/EFG平面ABC.6 分 理由如下：在平面ABD内，因为2DEEA，2DGGB，即 DGDE GBEA ， 所以/EG AB.7 分 又因为EG 平面ABC，AB 平面ABC，所以/EG平面ABC， 同理可得/FG平面ABC.9 分 又EGFGG，EG 平面EFG，又FG 平面EFG， 故平面/EFG平面ABC. 故存在点G，满足2DGGB时，使得平面/EFG平面ABC.10 分 18.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的关系

16、、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力； 考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养；体现基础性. 【解答】解法一： （1）由 22 1 sincos 5 sincos1 ， 联立可得 2 25sin5sin120，1 分 解得 4 sin 5 或 3 sin 5 ，3 分 又0,，sin0，故 3 sin 5 不合题意，舍去.4 分 13 cossin 55 ，5 分 于是 4 tan 3 ，6 分 （2）由 2 sin 10 ，0, 2 ，可得 7 2 cos 10 ，7 分 所以 47 2322 sinsincoscossin 5105102

17、.9 分 又因为0,， 3 cos0 5 ， 7 所以, 2 ， 所以 3 , 22 ，10 分 所以 3 4 .12 分 解法二： （1）由 1 sincos 5 ， 可知 21 sincos12sincos 25 ， 所以 12 sincos 25 2 分 即 222 sincostan12 sincostan125 3 分 解得 4 tan 3 或 3 tan 4 。4 分 又0,，则sin0， 当 4 tan 3 时， 4 sin 5 ， 3 cos 5 ，符合题意. 当 3 tan 4 ， 3 sin 5 ， 4 cos 5 ，不合题意，舍去.5 分 综上所述， 4 tan 3 6

18、分 （2）同解法一.12 分 19.【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、数字特征、古典概型等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与 转化思想、必然与或然的思想；考查数据分析、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、 应用性. 【解答】解法一： （1）由频率分布直方图可得， 0.0050.025 20.01101a ，解得0.035a .2 分 样本数据的平均数为： 50 0.0560 0.2570 0.35 80 0.2590 0.171.5 分 （2）由频率分布直方图可知，成绩在75,85，85,95内的频率分别为 0.25，0.1， 所以采用分层抽样的方法从样本中

19、抽取的 7 人中，成绩在75,85内的有 5 人，成绩在85,95的有 2 人.7 分 从这 7 人中随机抽取 2 人进行调查分析，记事件A “2 人中至少有 1 人成绩在85,95内” ， 事件 1 A “2 人中恰有 1 人成绩在85,95内” ， 事件 2 A “2 人成绩都在85,95内” ，则 12 AAA. 因为 1 A与 2 A互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 12 P AP AP A. 将成绩在75,85内的 5 个人分别记为 1 B， 2 B， 3 B， 4 B， 5 B，将成绩在85,95内 2 个人分别记为 1 C， 2 C， 8 设从这 7 人中第一次抽取的人

20、记为 1 x，第二次抽取的人记为 2 x，则可用数组 12 ,x x表示样本点. 可知样本空间 121314151112 ,B BB BB BB BB CC C ， 1111221223125 ,AB CB CB CB CB CCB， 21221 ,AC CC C， 因为样本空间包含的样本点个数为 42n ，8 分 且每个样本点都是等可能的，又因为 1 20n A ， 2 2n A，10 分 由古典概型公式可得 20211 424221 P A 12 分 解法二： （1）同解法一.5 分 （2）由频率分布直方图可知，成绩在75,85，85,95内的频率分别为 0.25，0.1，所以采用分成抽样

21、的方法从样本 中抽取的 7 人中，成绩在75,85内的有 5 人，成绩在85,95的有 2 人7 分 从这 7 人中随机抽取 2 人进行调查分析，记事件A “2 人中至少有 1 人成绩在85,95内” ， 事件 1 A “2 人中恰有 1 人成绩在85,95内” ， 事件 2 A “2 人成绩都在85,95内” ，则 12 AAA. 因为 1 A与 2 A互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 12 P AP AP A. 将成绩在75,85内的 5 个人分别记为 1，2，3，4，5，将成绩在85,95内 2 个人分别记为 6，7，设从这 7 人中抽取 的 2 个 人 记 为 1 x， 2

22、x， 不 妨 设 12 xx， 则 可 用 数 组 12 ,x x表 示 样 本 点 . 可 知 样 本 空 间 121212 ,1,2,3,4,5,6,7 , x xx xxx 且 1 1,6 , 2,6 , 3,6 , 4,6 , 5,6 ,5,7A ， 2 6,7A ， 因为样本空间包含的样本点个数为 21n ，8 分 且每个样本点都是等可能的，又因为 1 10n A ， 2 1n A，10 分 由古典概型公式可得 20211 424221 P A 12 分 20.【命题意图】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、函数与方程等基础知识；考查逻辑推理能力、直观想象能力、 运算求解能力；考查化

23、归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心 素养；体现基础性、综合性. 【解答】解法一： （1） f x的定义域为, ，对任意的x，有 ee xx fxf x ， 所以函数 ee xx f x 为偶函数1 分 9 考虑 f x在, 上的单调性： 12 ,0,x x，且 12 xx， 有 1122 12 eeee xxxx fxfx 2 分 1212 eeee xxxx 21 12 12 ee ee e xx xx xx 1212 12 eee1 e xxxx xx 4 分 由 21 0 xx，得 12 ee0 xx ， 12 e1 xx ， 12 e0

24、xx ，于是 12 0f xf x， 即 12 f xf x，所以 f x在0,上单调递增.5 分 又因为 f x是偶函数，所以 f x在,0上单调递减. 综上所述， f x在区间0,上单调递增，在区间,0上单调递减.6 分 （2）因为 211 2ee xx xxxag 11 2 11ee xx ax 将 g x的图像向左平移 1 个单位得到 2 ee1 xx h xxa ，7 分 对任意的x，有 hxh x，故 h x是偶函数.9 分 要使 g x有唯一零点，即 h x有唯一零点，而 h x的图像关于y轴对称， 故 00h，求得 1 2 a .11 分 由（1）可知，当 1 2 a 时， h

25、 x在区间0,上单调递增，在,0上单调递减，又 00h，故可知 h x有 唯一零点 0，符合题意，故 1 2 a 12 分 解法二： （1）同解法一6 分 （2）因为 211 2ee xx xxxag 11 2 11ee xx ax 212 2 1 222 2ee xx gxxxa 211 4442ee xx xxxa 211 2ee xx xxa ， 10 所以 2gxg x，即1x 为 g x的对称轴.9 分 要使函数 g x有唯一零点，所以 g x的零点只能为1x ，10 分 即 21 11 1 12 1ee01ag ，解得 1 2 a 11 分 由（1）可知，当 1 2 a 时， g

26、x在区间1,上单调递增，在,1上单调递减， 又 10g，故可知 g x有唯一零点 1，符合题意，故 1 2 a 12 分 21.【命题意图】本小题主要考查正弦定理等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数 形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象等核心素养；体现基础性、综合性、创新性、 应用性. 【解答】解法一：作图如下 3 分 选择一条水平基线HG（如图） ，使得H，G，B三点在同一条直线上4 分 在H，G两点用测角仪测得A的仰角分别为，.5 分 用米尺测得HGa，即CDa，测得测角仪的高度是h.（若没有做出DH，扣掉 1 分） 6 分 在AC

27、D中，由正弦定理，可得 sinsin ACCD ，即 sin sin a AC ，8 分 在RtACD中，有 sinsin sin sin a AEAC ，10 分 所以建筑物的高度 sinsin sin a ABAEhh （若漏掉h，扣一分）.12 分 解法二：同解法一.6 分 在RtACE，RtADC中分别有 tan AE DE ， tan AE CE ，8 分 所以 tantan tantantantan AEAEAE CDDECE ， 所以 tantan tantan a AE .10 分 所以建筑物的高度 tantan tantan a ABAEhh （若漏掉h，扣一分）.12 分

28、11 22.【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、平面与平面所成角等基础知识； 考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、 数学运算等核心素养；体现基础性和综合性. 【解答】解法一： （1）连接DB交AC于O，连接OM，1 分 因为M，O分别为SB，DB的中点，所以/SD MO2 分 又因为SD 平面MAC，MO 平面MAC，所以/SD平面MAC.4 分 （2）因为SCBCABSASBa，所以CMSB，AMSB， 故AMC为二面角ASBC的平面角.6 分 因为2ACa， 3 2 CMAaM ， 所以

29、由余弦定理可得， 222 1 cos 23 AMCMAC C CM AM AM 7 分 取 S B 的中点N，连接AN，C N， 因为S CBCBAS Aa ，所以A NS B ，C NS B ， 故ANC为二面角AS BC 的平面角.9 分 因为 3 2 A NC Na， 由余弦定理可得， 222 1 cos 23 A NC NA C A NC A N C N .10 分 故180AMCA NC，即二面角ASBC的平面角与二面角AS BC 的平面角互补.11 分 故当S与 S ，B与 B ，C与 C 重合时，正四面体SA B C 的侧面S AB 与正四棱锥SABCD的侧面SAB为同 一平面，

30、 由对称性同理可得，正四面体SA B C 的侧面SAC 与正四棱锥SABCD的侧面SDC为同一平面，故拼成的新 的几何体由 5 个面组成.12 分 解法二： （1）同解法一.4 分 （2）如图所示， 12 由于S平面SAB，S平面SCD，故设平面SAB平面SCDl，在直线l上取一点 A ，使其在S点的右侧，并 满足SASBSCa ，连接A C与A B，下证ASBC 是棱长为a的正四面体： 因为/DC AB，DC 平面SAB，AB 平面SAB，所以/DC平面SAB.6 分 又因为平面SCD平面SAB SA ，DC 平面SCD，所以DC SA ， 所以60A SCSCD 8 分 又SASCa ，故SAC为边长为a的正三角形，所以ACa.10 分 同理可得A Ba，所以ASBC 是棱长为a的正四面体， 所以正四面体ASBC 的侧面SA C与正四棱锥SABCD的侧面SDC为同一平面，正四面体ASBC 的侧面 SAB与正四棱锥SABCD的侧面SAB为同一平面，故拼成的新的几何体由 5 个面组成.12 分