2021届江西省九江市高考数学二模试卷（理科）（解析版）.doc

1、2021 年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）年江西省九江市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1已知集合 Mx|x25x60，Nx|lnx0，则 MN（） Ax|0 x1Bx|1x6Cx|1x3Dx|2x3 2已知复数 z，则|z|（） A0BC2D2 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a37，S1020，则 a8（） A5B3C3D5 4若实数 x，y 满足，则 zx2y 的最小值为（） A6B1C2D6 5将函数 f（x）cosx 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位， 得到函数 g（x）的图象，则 g（x）是

2、（） A周期为 4的奇函数B周期为 4的偶函数 C周期为的奇函数D周期为的偶函数 6恩格尔系数（EngelsCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重居民可支 配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入如图 为我国 2013 年至 2019 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图 给出三个结论： 恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系； 一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕； 一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小 其中正确的是（） ABCD 7如图所示，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，E

3、是边 BC 上靠近 C 的三等分点，F 为 CD 的中点，则（） A2BCD2 8已知抛物线 E：y22px（p0），斜率为 1 的直线 l 过抛物线 E 的焦点，若抛物线 E 上 有且只有三点到直线 l 的距离为，则 p（） A4B2C1D 9古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数 描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究形数就是指平面上 各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一如图是三角形 数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列an，四边形数组成数列bn，记 cn ，则数列cn的前 10 项和为（） ABCD

4、 10如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G，H，I，J 分别是棱 A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面 EFGHIJ 内随机取一点 M，则此点 满足|AM|+|MC1|4 的概率为（） ABCD 11若不等式 xm（ex+x）emx+mxm（xlnx）恒成立，则实数 m 的取值范围是（） A，+）B1，+）C，+）De1，+） 12已知双曲线1（a，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1且倾斜角为 的直线 1 与双曲线的左、右支分别交于点 A，B，且|AF2|BF2|，则该双曲线的离心率为 （） AB C2D2 二、填

5、空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分）. 13 已知函数 f （x） alnxx2图象在点 （1， f （1） ） 处的切线平行于 x 轴， 则实数 a 14（2x）6展开式中常数项为（用数字作答） 15孙子算经是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第 26 题：“今有物 不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一 元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出 的结果是 16如图所示，已知直四棱柱 ABCDA1BC1D1的底面是有一个角为的菱形，且该直四 棱柱有内切球 （球与四棱柱的每个面都相切） ， 设其内切球的

6、表面积为 S1， 对角面 BB1D1D 和 AA1C1C 的面积之和为 S2，则的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosA2sin（C）cosB （）求角 B 的大小； （）若ABC 的周长为 3，且 a，b，c 成等比数列，求 b 18如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，CD2， PDAD，E 为 DC 的中点 （）求证：AE平面 PBD； （）求二面角

7、CPBE 的余弦值 19已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆 C 上位 于 x 轴上方一点，线段 MF1与圆 x2+y21 相切于该线段的中点，且MF1F2的面积为 2 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且AMB90，求直线 l 的方程 20已知函数 f（x）ex+ax（aR） （）讨论 f（x）在（0，+）上的单调性； （）若对任意 x（0，+），xex+ax2+（xln|a|）20 恒成立，求 a 的取值范围 212020 年 12 月 16 日至 18 日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021 年

8、要抓好 八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地、藏粮于技战 略要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设要尊重科学、严格监管，有序推进 生物育种产业化应用某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法 进行保存，即对种子实行定期更换和种植通过以往的相关数据表明，该植物种子的出 芽率为 p（0p1），每颗种子是否发芽相互独立现任取该植物种子 2n1 颗进行种 植，若种子的出芽数 X 超过半数，则可认为种植成功（n2） （）当 n3，p时，求种植成功的概率及 X 的数学期望； （）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？ 请考生在第请考生在第 22-23

9、 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标坐标 系与参数方程系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22在极坐标系 Ox 中，射线 l 的极坐标方程为（0），曲线 C 的极坐标方程为2 4sinr24（r0），且射线 l 与曲线 C 有异于点 O 的两个交点 P，Q （）求 r 的取值范围； （）求+的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x+2|ax2|（aR） （）当 a2 时，解不等式 f（x）1； （）当 x2，2时，求证：

10、f（x）+f（x）0 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1已知集合 Mx|x25x60，Nx|lnx0，则 MN（） Ax|0 x1Bx|1x6Cx|1x3Dx|2x3 解：集合 Mx|x25x60 x|1x6， Nx|lnx0 x|x1， MNx|1x6 故选：B 2已知复数 z，则|z|（） A0BC2D2 解： |z| 故选：B 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a37，S1020，则 a8（） A5B3C3D5 解：设等差数列an的公差为 d， 由题意得， 解得 a111，d2， 故 a811+7（2）3 故选：B 4若实数 x，y

11、 满足，则 zx2y 的最小值为（） A6B1C2D6 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx2y 得 yxz， 平移直线 yxz，由图象知当直线经过点 C 时，直线截距最大，此时 z 最小， 由得，即 C（2，2）， 此时 z2226， 故选：A 5将函数 f（x）cosx 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位， 得到函数 g（x）的图象，则 g（x）是（） A周期为 4的奇函数B周期为 4的偶函数 C周期为的奇函数D周期为的偶函数 解：将函数 f（x）cosx 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，可得 ycos2x 的图 象， 再向左平移个单位，得到函数 g（x）c

12、os（2x+）sin2x 的图象， 故 g（x）是周期为的奇函数， 故选：C 6恩格尔系数（EngelsCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重居民可支 配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入如图 为我国 2013 年至 2019 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图 给出三个结论： 恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系； 一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕； 一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小 其中正确的是（） ABCD 解：由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降， 居民人均可支配收入

13、在逐年增加， 故两者之间存在负相关关系，恩格尔系数越小， 居民人均可支配收入越多，经济越富裕，故选项正确 故选：C 7如图所示，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，E 是边 BC 上靠近 C 的三等分点，F 为 CD 的中点，则（） A2BCD2 解：+， （）（） 故选：C 8已知抛物线 E：y22px（p0），斜率为 1 的直线 l 过抛物线 E 的焦点，若抛物线 E 上 有且只有三点到直线 l 的距离为，则 p（） A4B2C1D 解：设 l：yx，设 l1：yx+m 与抛物线 E 相切， 由，可得 x2+2（mp）x+m20， 4（mp）24m20，解得 p2m，且 m0， 平行线

14、 l1与 l 的距离为：d， 所以 p2， 故选：B 9古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数 描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究形数就是指平面上 各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一如图是三角形 数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列an，四边形数组成数列bn，记 cn ，则数列cn的前 10 项和为（） ABCD 解：由题意可得， 所以， 设数列cn的前 n 项和为 Sn， 所以， 所以 故选：D 10如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G，H，I，J 分别是棱

15、 A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面 EFGHIJ 内随机取一点 M，则此点 满足|AM|+|MC1|4 的概率为（） ABCD 解：连接 AC1交平面 EFGHIJ 于 O，则 O 为 AC1和 GJ 的交点， 由正方体的性质可得 AC1平面 EFGHIJ，AC1OM， 设|OM|x，AOOC1， ，即 x1， 满足|AM|+|MC1|4 的点 M 的轨迹所围成的面积为， 又截面 EFGHIJ 的面积为， 故所求概率 P 故选：D 11若不等式 xm（ex+x）emx+mxm（xlnx）恒成立，则实数 m 的取值范围是（） A，+）B1，+）C，+）De1，+）

16、解：不等式 xm（ex+x）emx+mxm（xlnx）恒成立ex+x+m（xlnx）em （xlnx） +m（xlnx）， 令 f（x）ex+x，则原不等式等价于 f（x）f（m（xlnx）恒成立 f（x）ex+x 在（0，+）上单调递增， xm（xlnx）， 令 g（x）xlnx，则 g（x）1， 可得：x1 时函数 g（x）取得极小值，即最小值 g（x）g（1）10 xm（xlnx）m， 令 h（x），x（0，+） h（x） h（e）0，x（0，e）时，h（x）0，h（x）在（0，e）上单调递增； x（e，+）时，h（x）0，h（x）在（e，+）上单调递减 h（x）maxh（e） 实数 m

17、 的取值范围是，+） 故选：C 12已知双曲线1（a，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1且倾斜角为 的直线 1 与双曲线的左、右支分别交于点 A，B，且|AF2|BF2|，则该双曲线的离心率为 （） AB C2D2 解：过 F2作 F2NAB 于点 N，设|AF2|BF2|m， 因为直线 l 的倾斜角为， 所以在直角三角形 F1F2N 中，|NF2|c，|NF1|c， 由双曲线的定义可得|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a+m， 同理可得|AF1|m2a，所以|AB|BF1|AF1|4a， 即|AN|2a， 所以|AF1|c2a，因此 mc， 在直角三角形 ANF2中，|A

18、F2|2|NF2|2+|AN|2， 所以（c）24a2+c2，所以 ca， 则 e 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 已知函数 f （x） alnxx2图象在点 （1， f （1） ） 处的切线平行于 x 轴， 则实数 a2 解：由 f（x）alnxx2，得 f（x）， f（1）a2， 由题意，a20，得 a2 故答案为：2 14（2x）6展开式中常数项为60（用数字作答） 解： （2x） 6展开式的通项为 令得 r4 故展开式中的常数项 故答案为 60 15孙子算经是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的

19、是卷下第 26 题：“今有物 不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一 元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出 的结果是6 解：模拟程序的运行，可得 n3，i1 n7，i2 不满足判断框条件，n11，i3 不满足判断框条件，n15，i4 不满足判断框条件，n19，i5 不满足判断框条件，n23，i6 满足判断框条件，故输出的 i 的值为 6 故答案为：6 16如图所示，已知直四棱柱 ABCDA1BC1D1的底面是有一个角为的菱形，且该直四 棱柱有内切球 （球与四棱柱的每个面都相切） ， 设其内切球的表面积为 S1， 对角

20、面 BB1D1D 和 AA1C1C 的面积之和为 S2，则的值为 解：设ABC，ABa，内切球的半径为 R，则 2Rasin，R， 四棱柱的高为：asin，S14R2，由题意可得 AC+BD2a（sin+cos）， S22a（sin+cos）asina2（sin+cos）sin， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosA2sin（C）cosB （）求角 B 的大小； （）若ABC 的周长为 3，且

21、 a，b，c 成等比数列，求 b 解：（）因为 cosA2sin（C）cosB， 所以 cosA2（sinCcoscosCsinB）cosB，可得 cosAsinCcosBcosCcosB， 因为 cosAcos（B+C）sinBsinCcosBcosC， 所以 sinBsinCcosBcosCsinCcosBcosBcosC，可得 sinBsinCsinCcosB， 因为 sinC0， 所以 sinBcosB，可得 tanB， 因为 B（0，）， 所以 B （）由余弦定理可得 b2a2+c22accos，即 b2a2+c2ac， 因为 a，b，c 成等比数列， 所以 b2ac， 所以 aca

22、2+c2ac，可得 ac， 所以ABC 是等边三角形， 又 a+b+c3， 所以 b1 18如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，CD2， PDAD，E 为 DC 的中点 （）求证：AE平面 PBD； （）求二面角 CPBE 的余弦值 【解答】（）证明：因为 PD平面 ABCD，AE平面 ABCD， 所以 PDAE， 因为四边形 ABCD 为矩形，CD2，AD，E 为 DC 的中点 所以 tanEAD，tanCDB， 于是DAECDB，因为DAE+DEA90，所以EDF+DEF90，所以 AE BD， 因为 PDBDD，PD、BD平面 PBD，所以

23、AE平面 PBD； （）解：建立如图所示的空间直角坐标系， （，2，），（0，1，），（0，2，）， 设平面 PBE 和平面 PBC 的法向量分别为 （x，y，z）， （u，v，w）， ，令 y， （1，1）， ，令 v1， （0，1，）， 因为二面角 CPBE 为锐角， 所以二面角 CPBE 的余弦值为 19已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆 C 上位 于 x 轴上方一点，线段 MF1与圆 x2+y21 相切于该线段的中点，且MF1F2的面积为 2 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且AMB90，求直线 l

24、的方程 解：（）设线段 MF1的中点为 N，则|ON|1， 又 ON 是MF1F2的中位线， 所以|MF2|2，MF1MF2， 由椭圆的定义知|MF1|2a2， 因为MF1F2面积为 S（2a2）22a22，解得 a2， 因为|F1F2|2，解得 c2， 所以 b， 所以椭圆 C 的方程为+1 （）当直线 l 的斜率为 0 时，此时AMB90，不合题意， 当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 xmy+，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得（2+m2）y2+2my20， 所以 y1+y2，y1y2， 由（）知 M（0，）， 因为AMB90， 所以 MAMB， 所以 x1

25、x2+（y1）（y2）0， 所以（1+m2）y1y2+（m1）（y1+y2）+40， 所以+40， 所以 m22m30， 解得 m1 或 m3， 当 m1 时，直线 l 过点 M，不符合题意， 所以直线 l 的方程为 x3y0 20已知函数 f（x）ex+ax（aR） （）讨论 f（x）在（0，+）上的单调性； （）若对任意 x（0，+），xex+ax2+（xln|a|）20 恒成立，求 a 的取值范围 解：（I）f（x）ex+a，当 a1 时，x0，ex1，f（x）ex+a0，f （x）在（0，+）上的单调递增 当 a1 时，ln（a）0，xln（a）时，f（x）0；xln（a）时，f（x）

26、 0 f（x）在（0，ln（a）上的单调递减，在（ln（a），+）上的单调递增 综上可得：当 a1 时，f（x）在（0，+）上的单调递增 当 a1 时，f（x）在（0，ln（a）上的单调递减，在（ln（a），+）上的单 调递增 （II）当 a1 且 a0 时，由（I）可知：f（x）在（0，+）上的单调递增，f（x） f（0）1 x0 时，xex+ax2+（xln|a|）20 恒成立ex+ax+x+2ln|a|0 恒成立 a1 时，令 u（x）ex+ax+x+2ln|a|， yx+2ln|a|，在（0，ln（a）上的单调递减，在（ln（a），+）上 的单调递增 由（I）可知：f（x）ex+ax，

27、在（0，ln（a）上的单调递减，在（ln（a），+） 上的单调递增 u（x）在（0，ln（a）上的单调递减，在（ln（a），+）上的单调递增 u（x）minu（ln（a）eln （a）+aln（a）+ln（a）+ 2ln（a） eln （a）+aln（a）a+aln（a）a（ln（a）1）， a（ln（a）1）0，解得：ea1 综上可得：a 的取值范围是e，0）（0，+） 212020 年 12 月 16 日至 18 日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021 年要抓好 八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地、藏粮于技战 略要加强种质资源保护和利用，加强种子库

28、建设要尊重科学、严格监管，有序推进 生物育种产业化应用某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法 进行保存，即对种子实行定期更换和种植通过以往的相关数据表明，该植物种子的出 芽率为 p（0p1），每颗种子是否发芽相互独立现任取该植物种子 2n1 颗进行种 植，若种子的出芽数 X 超过半数，则可认为种植成功（n2） （）当 n3，p时，求种植成功的概率及 X 的数学期望； （）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？ 解：（）由题意可知，X 服从二项分布 B（5，），故 P（Xk）（k3， 4，5）， 故种植成功的概率为， E（X）； （）设种植 2n1 颗种子时，种植成

29、功的概率为 P1，拟加种两颗该植物种子时，种植 成功的概率为 P2， 当种植 2n+1 颗种子时，考虑前 2n1 颗种子出芽数， 为了种植成功，前 2n1 颗种子中至少要有 n1 颗种子出芽， 前 2n1 颗种子中恰有 n1 颗出芽，它的概率为， 此时后两颗种子必须都要出芽， 所以这种情况下种植成功的概率为p2； 前 2n1 颗种子恰有 n 颗出芽，它的概率为， 此时后两颗种子至少有一颗出芽即可， 所以这种情况下种植成功的概率为1（1p）2； 前 2n1 颗种子至少有 n+1 颗出芽，它的概率为，此时种植 一定成功 所 以P2 p2+ 1 （ 1 p ） 2+ ， 故 P2 P1 p2+ 1

30、（ 1 p ） 2 ， ， 因为， 所以， 所以当时，P2P1，种植成功率会降低； 当时，P2P1，种植成功率不变； 当时，P2P1，种植成功率会提高 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标坐标 系与参数方程系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22在极坐标系 Ox 中，射线 l 的极坐标方程为（0），曲线 C 的极坐标方程为2 4sinr24（r0），且射线 l 与曲线 C 有异于点 O 的两个交点 P，Q （）求 r 的取值范围； （）求+的取值范围 解：（）射线

31、l 的极坐标方程为（0），转换为直角坐标方程为（x 0） 曲线 C 的极坐标方程为24sinr24（r0），根据，转换为直角 坐标方程为 x2+（y2）2r2 且射线 l 与曲线 C 有异于点 O 的两个交点 P，Q 所以圆心（0，2）到直线 y的距离 d， 所以 1r2 （）把为，代入24sinr24， 得到， 所以， 由于 r（1，2）， 所以 4r2（0，3） 所以+ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x+2|ax2|（aR） （）当 a2 时，解不等式 f（x）1； （）当 x2，2时，求证：f（x）+f（x）0 解：（）当 a2 时，f（x）1 即|x+2|2x2|1 等价为或 或， 解得 x或x1 或 1x3， 所以原不等式的解集为，3； （）证明：当 x2，2时，f（x）|x+2|ax2|x+2|ax2|， f（x）2x|ax+2|，f（x）+f（x）4（|ax2|+|ax+2|）， 因为|ax2|+|ax+2|ax2（ax+2）|4，当（ax2）（ax+2）0 时，取得等号， 所以 4（|ax2|+|ax+2|）0， 即 f（x）+f（x）0