2021届四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）（解析版）.doc

1、2021 年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x240，BN，则 AB（） A1B0，1C1，01Dx|2x2 2若复数 z 满足（2+i）z4，则复数 z 在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3已知an为等差数列，a45，a77，则其前 10 项和 S10（） A40B20C10D8 4若 l，m 是平面外的两条不同直线，且 m，则“lm”是“l”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5某学校调查了高三 100

2、0 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率 分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5） ， 22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，以下结论不正确的是（） A估计这 1000 名学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数是 300 B估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是 23.85 C估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75 D估计这 1000 名学生每周的自习时间的平均数是 23.875 6中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框 图

3、，若输入 x2，n2，依次输入 a 的值为 1，2，3，则输出的 s（） A10B11C16D17 7函数 f（x）的部分图象大致为（） AB CD 8已知直线 l：yx+2 与圆 O：x2+y24 相交于 A，B 两点，则的值为（） A8B4C4D2 9设 a0.60.4，b0.40.6，clog0.60.4，则 a，b，c 的大小关系为（） AabcBbcaCcabDbac 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn+an3，则+（） A543B546C1013D1022 11已知 A，B 是以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点，点 A 在第一象限且3，以 AB 为直径的

4、圆与准线的公共点为 C，则点 C 的纵坐标为（） A1BCD 12已知函数 f（x）1，下列说法正确的是（） Af（x）既不是奇函数也不是偶函数 Bf（x）的图象与 ysinx 有无数个交点 Cf（x）在（0，+）上为减函数 Df（x）的图象与 y2 有两个交点 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13二项式（x）6展开式中的常数项为 14已知双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（1，3），则 C 的离 心率为 15将函数 y3sin（2x+）的图象向右平行移动个单位长度得到函数 yf（x）的图 象，若 f（），则 f（2+） 16在三棱锥 DABC 中，ABC 是边长为

5、 2的等边三角形且平面 ABC平面 ABD，若 三棱锥 DABC 的四个顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为 20，则三棱维 D ABC 体积的最大值为 三三、解答题解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答.（一一）必考题必考题：共共 60 分分. 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinAacos（B） （1）求 B； （2）设 a2，b，

6、延长 AC 到点 D 使 AC2CD，求BCD 的面积 18某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二为了了解运动员对活 动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了 100 名运动员，获得数据如 表： 方案一方案二 支持不支持支持不支持 男运动员20 人40 人40 人20 人 女运动员30 人10 人20 人20 人 假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立 （1）根据所给数据，判断是否有 99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？ （2）视频率为概率，从全体男运动员中随机抽取 2 人，全体女运动员中随机抽取 1 人； （）估计这 3 人中恰有 2 人支持方案

7、二的概率； （）设抽取的 3 人中支持方案二的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 附：K2，na+b+c+d P（K2k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 19已知四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，C45，CD4，BC2，E，F 分别 为 CD、BC 的中点（如图 1），以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 S 的位置且 平面 SAE平面 ABCE（如图 2） （1）求证：AS平面 SEF； （2）求二面角 CSEF 的余弦值 20已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 为 C 上的一点，PF 恰好垂

8、直平分线段 OB（O 为坐标原点），|PF| （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过 F 的直线 l 交 C 于 M， N 两点， 若点 Q 满足+（Q， M， N 三点不共线） ， 求四边形 OMQN 面积的取值范围 21已知函数 f（x） （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求实数 a 的值； （2）讨论 f（x）在（0，1）上的单调性； （3）证明：在（1）的条件下 f（x）+xex0 四四、（二二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答题中选一题作答.如果多做如果多做，则按所做的第则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参

9、数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（cossin）2 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点 P（3，1），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x5| （1）解不等式 f（x）6； （2）若正实数 a，b 满足 a+bab，且函数 f（x）的最小值为 m，求证：a+bm 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择

10、题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x240，BN，则 AB（） A1B0，1C1，01Dx|2x2 解：Ax|2x2，BN， AB0，1 故选：B 2若复数 z 满足（2+i）z4，则复数 z 在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 解：因为（2+i）z4，所以， 故复数 z 在复平面内对应的点为，位于第四象限 故选：D 3已知an为等差数列，a45，a77，则其前 10 项和 S10（） A40B20C10D8 解：由等差数列的性质可得：a1+a10a4+a75+72， 则其前 10 项和 S105210， 故选：C 4若 l，m 是平面外的两条不

11、同直线，且 m，则“lm”是“l”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解：l，m 是平面外的两条不同的直线，m， 若 lm，则推出“l”， 若 l，则 lm 或 l 与 m 相交， 故若 l，m 是平面外的两条不同直线，且 m，则“lm”是“l”的充分不必要条 件 故选：A 5某学校调查了高三 1000 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率 分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20），20，22.5） ， 22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，以下结论不正确的是（） A估计这

12、 1000 名学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数是 300 B估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是 23.85 C估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75 D估计这 1000 名学生每周的自习时间的平均数是 23.875 解：对于 A，每周的自习时间不小于 25 小时的频率为（0.08+0.04）2.50.3， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间不小于 25 小时的人数是 0.31000300，故选 项 A 正确 对于 B，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， 故估计这 1000 名学生每周的自习时间的众数是（22

13、.5+25）223.75，故选项 B 错误； 对于 C，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行 于 y 轴的直线横坐标， 设中位数为 x，则有 0.022.5+0.12.5+（x22.5）0.160.5，解得 x23.75， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间的中位数是 23.75，故选项 C 正确； 对于 D，在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中 点的横坐标之和， 所以估计这 1000 名学生每周的自习时间的平均数是 0.022.518.75+0.12.5 21.25+0.162.523.75+0.082.526.25+0

14、.042.528.2723.875，故选项 D 正确 故选：B 6中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框 图，若输入 x2，n2，依次输入 a 的值为 1，2，3，则输出的 s（） A10B11C16D17 解：输入的 x2，n2， 当输入的 a 为 1 时，S1，k1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的 a 为 2 时，S4，k2，不满足退出循环的条件； 当输入的 a 为 3 时，S11，k3，满足退出循环的条件； 故输出的 S 值为 11， 故选：B 7函数 f（x）的部分图象大致为（） AB CD 解：f（x）f（x），函数 f（x）为奇函数，排除选

15、项 B 和 C， 当 x+时，ex比 x 增长的快，f（x）0，排除选项 D， 故选：A 8已知直线 l：yx+2 与圆 O：x2+y24 相交于 A，B 两点，则的值为（） A8B4C4D2 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立得 x2+2x0， 解得 x0，x2， 设 A（0，2），则 B（2，0）， 则（2，2）（0，2）20+224 故选：C 9设 a0.60.4，b0.40.6，clog0.60.4，则 a，b，c 的大小关系为（） AabcBbcaCcabDbac 【解答】解指数函数 y0.4x为减函数，00.40.60.40.41， 幂函数 yx0.4为增函数，10

16、.60.40.40.40， 1ab0 对数函数 y为减函数，c1，即 c1， cab 故选：D 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn+an3，则+（） A543B546C1013D1022 解：2Sn+an3， 2Sn1+an13（n2）， 两式相减得：2an+anan10，即 anan1，n2， 又当 n1 时，有 2S1+a13，可得：a11， 数列an是首项为 1，公比为的等比数列， ， +（3+32+33+36）63543， 故选：A 11已知 A，B 是以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点，点 A 在第一象限且3，以 AB 为直径的圆与准线的公共点为 C，则点

17、 C 的纵坐标为（） A1BCD 解：如图， 根据抛物线的定义，可得 AAAF，BBBF， AABBAD2BF， AF+BF4BF， DAB60， 即直线 AB 的倾斜角为 60， AB：y（x1），A（3，2），B（，）， 设 C（1，m），因为 C 为圆上的点， 故 ACBC，（4，m2），（，m）， 0mm2+4+2m0m2m+0m 故选：D 12已知函数 f（x）1，下列说法正确的是（） Af（x）既不是奇函数也不是偶函数 Bf（x）的图象与 ysinx 有无数个交点 Cf（x）在（0，+）上为减函数 Df（x）的图象与 y2 有两个交点 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，函数

18、f（x）1，其定义域为x|x0， 则 f（x）+f（x）1+1 20，则 f（x）为奇函数，A 错误； 对于 B，函数 f（x）111+log3（1+） ， 当 x0 时，0，1+1，log3（1+）0，f（x）1sinx， 又由 f（x）为奇函数，则当 x0 时，f（x）1， 则 f（x）的图象与 ysinx 没有交点，B 错误； 对于 C，当 x0 时，1+都是单调递减，log3（1+）单调递减， 故 f（x）单调递减，C 正确； 对于 D，若 f（x）2，则有12，即 log3（9x+1）3x，变形可得 9x+1 27x，即（）x+（）x1， 设 g（x）（）x+（）x，则 g（x）为减

19、函数且在其值域为（0，+）， 则 g（x）1 有且只有 1 解，即 f（x）的图象与 y2 只有一个交点，D 错误， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13二项式（x）6展开式中的常数项为60 解：的展开式的通项公式为 Tr+1C6rx6 r（ ）r（2）rC6rx6 3r， 令 63r0，求得 r2，展开式中常数项为（2）260 故答案为：60 14已知双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（1，3），则 C 的离 心率为 解：双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（1，3）， 可得双曲线的一条渐

20、近线方程 bx+ay0， b3a， c， e 故答案为： 15将函数 y3sin（2x+）的图象向右平行移动个单位长度得到函数 yf（x）的图 象，若 f（），则 f（2+） 解：将函数 y3sin（2x+）的图象向右平行移动个单位长度， 得到函数 yf（x）3sin（2x）的图象， 若 f（）3sin（2），则 sin（2）， f（2+）3sin2（2+）3sin（4+）3cos（4）3cos（4 ） 3123（12）， 故答案为： 16在三棱锥 DABC 中，ABC 是边长为 2的等边三角形且平面 ABC平面 ABD，若 三棱锥 DABC 的四个顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为 20

21、，则三棱维 D ABC 体积的最大值为 解：取 AB 的中点 E，连结 CE，设 O为ABC 的中心，则 O在直线 CE 上， 因为平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB，CE平面 ABC，所以 CE平面 ABD， 设ABD 所在的截面圆的圆心为 O1， 过 O1作 CE 的平行线，过 O作 O1E 的平行线，两平行线交于点 O， 则 O 为外接球的球心，连结 OC， 设外接球的半径为 R，则有 4R220，故 R，即 OC 在等边ABC 中，所以， 在 RtCOO 中，故 O1E1， 在 RtEO1E 中，O1B， 所以ABD 所在的截面圆的半径为 r2， 故点 D 到直线

22、AB 距离的最大值为 O1E+r1+23， 所以三棱维 DABC 体积的最大值为 故答案为： 三三、解答题解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答.（一一）必考题必考题：共共 60 分分. 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinAacos（B） （1）求 B； （2）设 a2，b，延长 AC 到点 D 使 AC2CD，求BCD 的面积 解：（

23、1）bsinAacos（B）由正弦定理，可得 bsinAasinB， 可得：asinBacos（B），可得：sinBcos（B），化简可得：tanB， B（0，）， B （2）由，可得 sinA， 可得 cosA， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB， 所以 SABC2SBCDabsinC2，可得 SBCD 18某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二为了了解运动员对活 动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了 100 名运动员，获得数据如 表： 方案一方案二 支持不支持支持不支持 男运动员20 人40 人40 人20 人 女运动员30 人1

24、0 人20 人20 人 假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立 （1）根据所给数据，判断是否有 99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？ （2）视频率为概率，从全体男运动员中随机抽取 2 人，全体女运动员中随机抽取 1 人； （）估计这 3 人中恰有 2 人支持方案二的概率； （）设抽取的 3 人中支持方案二的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 附：K2，na+b+c+d P（K2k）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 解：（1）由题意可得16.66710.828， 有 99%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关 （2）（i）男生支持的概率

25、为，男生不支持的概率为 1； 女生支持的概率为，女生不支持的概率为 1； 3 人中恰有 2 人支持的概率为+； （ii）X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X0）； P（X1）+； P（X2）； P（X3）； 所以 X 的分布列为： X0123 P E（X）0 19已知四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，C45，CD4，BC2，E，F 分别 为 CD、BC 的中点（如图 1），以 AE 为折痕把ADE 折起，使点 D 到达点 S 的位置且 平面 SAE平面 ABCE（如图 2） （1）求证：AS平面 SEF； （2）求二面角 CSEF 的余弦值 【解答】（1）证明：因为平面 SAE平面

26、 ABCE， 由题意得 EFAE，平面 SAE平面 ABCEAE，所以 EF平面 SAE， 又因为 SA平面 SAE，所以 SAEF， 又因为 SASE，SEEFE，SE、EF平面 SEF，所以 AS平面 SEF （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， E（0，0，0），C（，0），S（，0，），F（0，0）， （，0，），（0，0），（，0）， 设平面 ESF 和平面 ESC 的法向量分别为 （x，y，z）， （u，v，w）， ，令 z1， （1，0，1）， ，令 u1， （1，1，1）， 所以二面角 CSEF 的余弦值为 20已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右顶点分别为 A，B，右焦点

27、为 F，点 P 为 C 上的一点，PF 恰好垂直平分线段 OB（O 为坐标原点），|PF| （1）求椭圆 C 的方程； （2） 过 F 的直线 l 交 C 于 M， N 两点， 若点 Q 满足+（Q， M， N 三点不共线） ， 求四边形 OMQN 面积的取值范围 解：（1）由题意可知 F（c，0），B（a，0）， PF 恰好垂直平分线段 OB， a2c， 令 xc，代入+1 得：y， ， ，解得， 椭圆 C 的方程为： （2）由题意可知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy+1， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程，消去 x 得：（3m2+4）y2+6my90

28、， 36m2+36（3m2+4）0， ， 设 MN 的中点为 E，则+2， MN 与 OQ 互相平分，四边形 OMQN 为平行四边形， S平行四边形OMQN 2SOMN 2 |y1y2| ， 令 t1，则 S平行四边形OMQN（t1）， y3t+3（t+）在1，+）上单调递增， 3t+4，（0，3， 0S平行四边形OMQN3 综上所述，四边形 OMQN 面积的取值范围为（0，3 21已知函数 f（x） （1）若 f（x）在 x1 处取得极值，求实数 a 的值； （2）讨论 f（x）在（0，1）上的单调性； （3）证明：在（1）的条件下 f（x）+xex0 【解答】（1）解：因为 f（x）， f

29、（x）在 x1 处取得极值，则 f（1）0， 所以1a+ln10，解得 a1， 验证知 a1 符合条件 （2）解：f（x）， 当 a1 时，在 x（0，1）上，f（x）0 恒成立，f（x）单调递减； 当 a1 时，令 f（x）0，解得 xea+1， 当 x（0，ea+1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（ea+1，1）时，f（x）0， f（x）单调递增 综上，当 a1 时，f（x）在（0，1）上单调递减； 当 a1 时，f（x）在（0，ea+1）上单调递减，在（ea+1，1）上单调递增 （3）证明：由（1）知 f（x），则 f（x）+xex， 令 g（x）x2exlnx1，g（x）2x

30、ex+x2ex，g（x）在（0，+）上单调递增， 当 x0 时，g（x），当 x时，g（）20， 则x0（0，），使 g（x0）0，即， 则当 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，当（x0，+）时，g（x）0， g（x）单调递增， 所以 g（x）g（x0）lnx01， 令 h（x）lnx1，x（0，），h（x）0，所以 h（x） 单调递减， 所以 h（x）h（）ln20， 所以 g（x）0， 所以 f（x）+xex0，得证 四四、（二二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中选一题作答题中选一题作答.如果多做如果多做，则按所做的第则按所做的第 一题计

31、分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为（cossin）2 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点 P（3，1），直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值 解：（1）曲线 C 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为 ， 直线 l 的极坐标方程为（cossin）2，根据，转换为直角坐标方程 为 xy20 （2） 直线l的直线坐标方程转换为参数方程为：（t为参

32、数） ， 代入， 得到， 所以， 所以：|PA|+|PB| 五、五、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|x5| （1）解不等式 f（x）6； （2）若正实数 a，b 满足 a+bab，且函数 f（x）的最小值为 m，求证：a+bm 解：（1）因为 f（x）|x1|+|x5|，f（x）6， 所以当 x1 时，不等式即为x+1x+56，解得 x0，得 0 x1 当 1x5 时，不等式即为 x1x+5646，得 1x5 当 x5 时，不等式即为 x1+x56，解得 x6，得 5x6 综上，不等式 f（x）6 的解集为0，6 （2）证明：f（x）|x1|+|x5|（x1）（x5）|4，所以 m4 正实数 a，b，a+bab， 所以， （当且仅当，即 ab2 时等号成立） 所以 a+bm