市场营销专业保险精算配套全册教学课件.ppt

1、市场营销专业保险精算配套市场营销专业保险精算配套 全册教学课件全册教学课件 保险精算学保险精算学 课堂纪律 n务必请同学们不要在课堂内饮食或者嚼食口香 糖，否则将会被请出教室外。 n不要迟到早退，有事请提前向老师请假，需要 有辅导员签名（章）请假条方认为有效； n上课时间请最好将手机关机，或调至震动，禁 止在课堂内接听电话。 教学内容 n利息理论及应用利息理论及应用 q基本概念 q应用之一：年金 n寿险精算寿险精算 q生命表概述 q保费计算 q责任准备金计算 q保单的现金价值与红利计算 n非寿险精算（边文龙博士主讲）非寿险精算（边文龙博士主讲） q损失模型 q费率厘定 q责任准备金计算 成绩组

2、成 n出勤情况和上课参与程度 q不定期考勤机会+多次上课参与机会 q占总成绩的20% n课后作业完成情况 q每次抽查部分学号 q占总成绩的20-40% n期末考试 q闭卷笔试 q占总成绩的40-60% 教学参考书 n教材：保险精算（第二版），李秀芳等，中国教材：保险精算（第二版），李秀芳等，中国 人民大学出版社人民大学出版社 n寿险精算实务，李秀芳 主编，中国精算师资 格考试用书，中国财政经济出版社 n保险精算通论，卓志 主编，西南财经大学出 版社 第一章 精算基础知识 精算科学的发展历程 精算师职业与工作环境 精算工作的基础流程 精算考试体系 一、精算科学的发展历程 1、精算 一门应用各种数

3、理模型来估计和分析未 来不确定事件（风险）产生的影响（特别 是财务方面）的科学。它以概率论和数理 统计为基础，是与经济学、金融学及保险 理论相结合的应用与交叉性的学科。 2、精算源于寿险业的发展： 17世纪初，复利理论研究结果发表奠定了保险和养老 金资产投资的研究基础； 1657年，荷兰数学家哈根斯(Huygens)发表关于概率计算 的文章奠定了精算科学的概率基础； 1662年，格兰特(Graunt)运用英国的死亡数据研究了一组 人的死亡和生产规律奠定了生命表的基础； 1693年，英国天文学家哈雷(Hally)编制了第一张生命表 精算学诞生！ 1756年，英国数学家道森(Dodson)将精算思

4、想正式引入寿 险经营； 1764年，爱德沃(Endward)创办伦敦公平人寿保险社 世界上第一家人寿保险公司。 3、精算科学的现状与应用 n从人寿和年金保险中对人口死亡率的估计人寿和年金保险中对人口死亡率的估计扩展 到在非寿险、养老金和社会保障非寿险、养老金和社会保障中的应用。 n保险领域：研究人寿、健康、财产、意外伤害、 退休等事故的出险规律、损失的分布规律、保 费的厘定、保险产品的设计、准备金的提取、 盈余的分配、基金的投资、资产负债管理、偿 付能力管理等。 n社会保障领域：研究养老、医疗、失业、生育、 工伤等保障的成本与债务分配方案以及基金投 资方案等。 1、专门职业 通过专门知识的学习

5、和长期的从业训练， 在某个特定劳动服务领域获得从业垄断权，从 而能够唯一为该领域消费者解决信息不完全问 题、提供高质量服务的职业。 二、精算师职业与工作环境 运用精算学知识分析研究经济风险的专职 从业人员。他们被称为金融、保险、投资和风 险管理的工程师，通过对风险损失的预先评价， 对风险事件做出预先的财务安排，保证风险经 营的财务稳健性。 2、精算师 3、精算师的工作领域 寿险和养老金业务非寿险、健康保险、社会 保障银行、投资、公司财务、金融工程等。 在英国，40%的精算师就职于保险公司，45%的 就职于与风险评估相关的咨询公司，7%就职于其 他金融机构。 4、精算师的工作职责 在保险公司，精

6、算师主要就职于产品开发部、精 算部、财务部等，工作职责主要有经验数据分析、 新产品设计、保费定价、负债评估、利润分析等。 经济和商业环境经济和商业环境 职业环境职业环境 三、精算工作的基础流程 发现问题发现问题 解决问题解决问题监控并反馈经验监控并反馈经验 四、精算考试体系 1、如何才能成为合格的精算师？ 在中国，重要的途径就是通过职业资格考 试来获取精算师资格。 三项基本素质： 职业道德职业道德+ +专业素质专业素质+ +沟通能力沟通能力 2、中国的精算职业制度 n我国保险法规定，保险公司必须聘用经保险监督管理 机构认可的精算专业人员，建立精算报告制度。 n1999年保监会组织了中国首次精算

7、师资格考试，2006年 中国精算师协会正式成立。 n中国精算师的职业制度基本思路在考试认可制度下，取得 精算师考试合格证书仅是精算师职业制度的开端： q须申请注册，在取得执业证书才能从业 q应加入中国精算师协会，每年参加职业培训 q保险公司聘请首席精算师，或首席精算师离职都应报保监会备案 3、主流精算师资格考试体系介绍 1）中国精算师考试课程 n第一层次，准精算师考试：9门必考课程（现已增设 非寿险方向），目的在于考察考生对保险精算的基本 原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务。 n第二层次，精算师考试：10门课程，3门必考、2门选 考课程，3门必考课程内容主要涉及保险公司运营管 理、财务、

8、投资以及中国保险业法规、税收、财务制 度等。 n考生在通过全部课程的考试后，要请一名资深的中国 精算师指导，在专业领域工作两年，并有一篇专业报 告，经答辩合格后，方取得精算考试合格证书。 2）北美精算师考试SOA nASA（准精算师）资格：要求完成初级教育课程 考试（包括P、FM、MFE、MLC、C五门考试和 三门VEE课程）、精算实践基础课程（FAP）和 准会员职业课程（APC），才能获得准会员资格。 n发展中国家折扣计划（Examination and Study Material Fee Discount Program）：申请折扣可 先登录www.soa.org网站， 打开Examin

9、ation and Study Material Fee Discount Program网页下载申 请表，然后传真到指定电话，过一段时间，SOA 会发一封信件到EMAIL邮箱，里面有相应的折扣 号以及报考内容。 第二章 利息理论及应用 第一节 基本概念 n积累值（终值A） n现实值（现值P or 本金S） n实质利率 n单利 n复利 n名义利率 n贴现率 n利息力 nAccumulated value nPresent value nEffective annual rate nSimple interest nCompound interest nNominal interest nDis

10、count rate nForce of interest 汉英名词对照 一、单利与复利 1、利息的定义 某人在银行开设一个账户并存入10 000元，之后他没有动 用过这个账户，1年后，他结清账户得到了10 200元。这 个数目可以看做是本金10 000元和利息200元。这里所说 的利息就是银行在账户存在期间因使用此人的资本而对他 支付的报酬，也可以认为是一个附加的补偿。 定义定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它 的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿 所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 利率：利率：单位本金在单位时间（1个计息期）所赚取的利息与 本

11、金的比率即有效利率，简称利率。常用百分数表示。 2、单利 1）定义：假定一个单位本金的投资在每一个计息期 所得到的利息是相等的，而利息并不用于再投资， 按这种形式增长的利息称为单利。 某人在银行存入100元，如果单利的年利率为6%，那么每年他将 得到6元。1年后账户里有106元，2年后有112元 2）单利的计算公式：I=Pin 其中，P表示本金，i表示利率，n表示计息期，I表示利息 单利的本利和=本金+利息=P+I=P+Pin=P(1+in) 3）基本特征：利息本身不再赚取利息利息受益水平在 下降！ 3、复利 1）定义：将本金所产生的利息加入本金，以本利 和作为计算各期利息的一种计息方法。 某

12、人在银行存入100元，如果复利的年利率为6%，那么1年后 账户的本利和为106元，这106元作为第2年的本金，到第2年末， 账户的本利和为106（1+0.06）=112.36元 2）复利利息的计算公式：第一年末 =Pi 第二年末=P(1+i) i 复利的本利和：第一年末 =P(1+i） 第二年末= P(1+i)+P(1+i) I 第n年末= P(1+i)n n计息期n=1时，两者本利和相等； n计息期n1时，复利的本利和要大于单利的本 利和（按复利计算，利息还要产生利息）； n在利率不变且初始本金一定的条件下，按照单 利计算时，每期的利息额是常数，而按复利计 算每期的利息额非常数，但利息增长率

13、为常数。 4、单利与复利的区别 二、复利的终值和现值 1、复利的终值 终值：若干计息期后包括本金和利息在内的积累值，又 称本利和。用A 或者 表示。 1元经过n年后变成(1+i)n元(1+i)n为1元n年后的终值 P元经过n年后变成P(1+i)n元（同理） 复利终值公式 = P (1+i)n ( )A t ( )A t 例1-1.某人将10 000元进行投资，在年利 率是8%的情况下，投资5年后的终值是 多少？ 解：已知P=10 000，i=8%，n=5，得 5 (5) 10000(1 8%)10000 1.4693 14693A 2、复利的现值 现值：指未来一定时间的特定资金按照复利计算的现

14、在 价值，或是为取得将来一定本利和现在所需要的本金。 用P 或者 表示。 假定各年利率水平不变，1元经过n年变成(1+i)n元，那 么反过来，多少钱经过n年变成1元呢？ 答案： 复利现值公式 1 (1 ) n i (0)A 1 (0)( ) (1)n AA t i 三、利率与贴现率 1、利率 实际利率：是指某时期期末得到利息的金额与此时期开 始时投资的本金金额之比。 如果在每个计息周期内利息支付的次数不止一次，就涉及 到另外一个概念“名义利率”。 例如：假设银行贷款利率8%，借款人如果从银行借得期 限为1年、金额100元的贷款，那么1年的利息额是8元。 如果银行要求借款人在年末支付8元利息，那

15、么上述贷款 利率就是实际利率。如果银行要求每半年支付4元，那么 8%就是名义利率。 原因：如果每半年支付一次利息，尽管全年支 付的利息总额仍是8元，但由于平均支付时间 提前，使得借款人的实际利息成本增加。即， 每半年支付4元利息时，每年则计息2次，每半 年的实际利率为4%经过2个半年后，贷款的本 利和为 100（1+0.04） （1+0.04）=108.16元 相当于1年的实际利率为8.16%。 8%为名义利率 名义利率。如果在一个计息周期内利息支付的次数不止一 次，那么名义利率就等于分段周期内的实际利率乘以利息 支付的次数。 假设一笔投资的年名义利率为8%，每个季度结转一次利 息，那么每季实

16、际利率为8%4=2%，由于按每季实际利 率计算的年末积累值应等于按年实际利率计算的年末积累 值，因此有(1+2%)4=1+i，从而年实际利率为 i=(1+2%) 4-18.24%8% 名义利率与实际利率的关系 ：1年结转m次利息的名义利率 ：每次结转利息的实际利率 ： 1年结转m次利息的名义利率的年末累积值 ：实际利率i的年末累积值 m i m m i 1 i (1) m m i m (1)1 m m i i m n由名义利率表示的实际利率为 n由实际利率表示的名义利率为 1 (1)1 m m imi (1)1 m m i i m 例1-2. 某人准备按照10%的年利率存入银 行614元，每半

17、年结转1次利息，试计算 其5年后的本利和。（两种解法） n解法一 每半年的实际利率为10%2=5% 5年一共包含10个半年 因此，614(1+5%)10 1000元 n解法二 先求出实际利率 再用复利终值公式求解 2 10% (1)110.25% 2 i 5 614 (1 10.25%)1000 2、贴现率 某人用他未到期的1元，从银行换得（1-d）元的现值。 这就相当于银行用（1-d）元的投资，在期末可以累积到 1元，在期末赚d元的利息。 d：贴现率 实际贴现率的定义：一定时期内利息与期末累积 值的比率（期初付利息）。 1 i d i 利率与贴现率的关系 l二者计算基础不同 例如，某人用一张

18、1年后到期的面额100元的票据去银行兑现， 银行只给他90元，即预先扣除贴现值10元，那么贴现率为 10100=10%。银行期初支出90元，期末票据到期后可得到 100元，这90元产生的利息为10元，利率为1090=11.11%。 注意：虽然利息和贴现值相同，但利息是由银行在期末收取， 贴现值是有持票人在期初收取（负值）；利率是利息与期初本 金（现值）的比率。贴现率是贴现值与期末累积值（终值）的 比率。 因此，利率表明资本在期末获得利息的能力，贴现率说明资本因此，利率表明资本在期末获得利息的能力，贴现率说明资本 在期初获取利息的能力。在期初获取利息的能力。 用贴现率表示利率： 用期末得到的利息

19、按贴现因子v向期初贴现，得到期初预收的利息d 期末的1元在期初的现值可表示为v，v为贴现因子，也可表示为（1-d） 1 d i d 1 11 11 i dv ii 换算关系 1 11 i dii v ii 四、利息力 n关于利率的讨论是基于一个时期的，度量的是资本在 一定时期内获得利息的能力 n为了掌握资本在任意一个时点获得利息的能力，需要 引入“利息力”或“利息强度”的概念。 q累积函数：期初的1元本金在t时刻的累积值 。 q基本公式： q复利条件下： ( ) ( ) (0) A t a t A ( )(1)ta ti ( )a t 0t ( )A t 1、利息力的定义 n利息力是确定时点上

20、的利息强度，也就是在无穷小时 间区间上的利息。可以用累积函数的相对变化率来表 示。 ( ) ( ) t a t a t 累积函数的导数，表示在 时点t的斜率（变化速率） 1元从时点0到时点t的累积值 ( ) () ( )( )(0) ( )(0)( ) ( ) ( )( ) (0) t A t a tA tA A tAa t A t a tA t A 常常 数数 n利息力是确定时点上的利息强度，也就是在无穷 小时间区间上的名义利率水平，证明如下： () () () 11 ()( )()( ) 1 ( ) ( ) 1 ()( ) ( ) limlim 1 ( ) ( ) m m m mm a t

21、a ta ta t i mm i ma t a t m a ta t a t m i a t a t m 2、利息力与累积函数的关系 n上式表明：累积函数可由利息力和时间长度唯一表示。 0 00 ( ) ln ( ) ( ) ln ( )ln ( )ln (0)ln ( )ln1ln ( ) ( ) t s t tt s ds a t a t a t dsa sdsa taa ta t a te 00 ( )( ) n( )( )( )(0) t nn t dtA tdtA tdt A tdtA t dtA nA 时间段 内所赚取的利息为： 时间跨度为 时，总利息收入 金额金额A(t)在在dt

22、时期内因利息力作用时期内因利息力作用 而赚取的利息，而赚取的利息，将其积分即得到 n个度量期所赚取的利息总额 3、常数利息力 n理论上，利息力可以是变化的；实际上，利息力通 常是常数。 n从上式和复利累积函数 可知： 0 ( ) t ds t t a tee ( )(1)ta ti (1)(1)ln(1) 1 tt eieii andie n当利息力为常数时，利率也为常数； n利息力度量的是每个时点上的利息强度，实际利率度利息力度量的是每个时点上的利息强度，实际利率度 量的是一个时期的平均利息强度，所以当每个时点上量的是一个时期的平均利息强度，所以当每个时点上 的利息强度为常数时，这一时期的平

23、均利息强度必为的利息强度为常数时，这一时期的平均利息强度必为 常数；反之则不保证！常数；反之则不保证！ 4、思考：单利条件下的利息力 n单利条件下的利息力如何表示，与复利条件下的利 息力有何不同？ n单利条件下的利息力是时间的减函数，复利条件下单利条件下的利息力是时间的减函数，复利条件下 的利息力与时间无关。的利息力与时间无关。 ( )(1) ( )11 ln(1) t a titi a titit i 五、利息问题求解 1、利息问题求解四要素 q原始投资额（本金） q投资时期长度 q利率（含计息方式） q本金在投资期末的累积值 ( )(0) (1)tA tAi n复利条件下的基本公式： 2、

24、求解原则 n本质：只要知道四要素中的三个，就能求出第四个 要素 n分析工具：现金流量图 现金流 参考时点 n方法：根据现金流特征进行分析建立求值方程 n原则：在任意时间参考点，求值方程等号两边的现 时值相等 1 p 2 pn p 0 1 t 0 p 2 t n t 3、求本金 n例1-3 某人为了能在第7年末得到10元款项， 他愿意在第1年末付出1元，第3年末付出4 元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，请问X=？ 64 1.0641.06103.74 1.06 x x n以第7年末为时间参考点： n以第8年末为时间参考点： 75 1.064 1.0610 1.063.74xx

25、n还可以其它时间为参考点，请自行练习 4、求累积值 n例1-4 某人现在(0时点)投资1000元，第3年 末再投资2000元，第5年末再投资2000元。 其中前4年以1年结转2次利息的名义利率5% 复利计息，后3年以恒定利息力3%计息。请 问到第7年末此人的投资可以获得多少钱？ n解： 43132 123 2 40.03 32 10.03 30.03 2 0.05,20.025 0.03 (7)(1)(1) 1000 (1 0.025)2000 (1 0.025)2000 5756 m m mm mm i im m ii Apepep e mm eee 5、求利率 n例1-5 某人1995年1

26、月1日在银行账户上存入 2000元，1998年1月1日又存入3000元，其间 一直没有取出款项，到2000年1月1日其账户余 额为7100元，请计算存款的实际年利率。 52 52 2000(1)3000(1)7100 ( )2000(1)3000(1)71000 ii f iii n线性插值法 ( )(0)(1)( )0 t f iAiA t n函数f(i)是i的增函数，如果能够找到一个i，使得上述函数值为0， 那么此i就是要求的未知利率。 n假设先设定两个关于i的粗估计值，分别记做i1和i2（ i1i2 ）， 并且函数值满足： n由于f(i)是i的增函数，所以未知利率i一定落在i1和i2之间

27、。 n该方法假设，在区间（ i1，i2 ）内，f(i)近似呈线性变化，区间 （ i1，i2 ）的距离越短，这种近似程度越好，所得的结果越准 确。因此有： 12 ( )0,( )0f if i 111 212121 1 121 21 ( )( )0( ) ()( )()( ) ( ) () ()( ) iif if if i iif if if if i f i iiii f if i 6、求时间 n例1-6 期初的2000元，按照每年结转4次利息的 年名义利率5%投资，请问经过多长时间可以得 到4000元？ 44 ln( )ln(0) ln(1) 0.05 5%(1)10.05095 4 ln

28、 4000ln 2000 13.948 ln(10.05095) A tA t i ii t 求翻倍时间的粗略方法：72法则 n作业1-1，假定i12分别为12%和6%，请问在这 两种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别 需要多少年？（请分别用精确法和72法则求解， 比较求解结果） 0 .7 2 t i (12) (6) (12) (1)2ln(1)ln 2 ln 2ln 2ln 2 0.080.72 0.08 ln(1)ln(1)ln1.08 0.72 (1)12%6 0.12 0.72 (2)12%12 0.06 0.72 (1)2%36 0.02 n ini i ni iiiii iin

29、 iin iin 72法则原理： 第二节 年 金 汉英名词对照 n年金 n支付期 n期末付年金 n期初付年金 n永续年金 n变额年金 n递增年金 n递减年金 nAnnuity nPayment period nAnnuity-immediate nAnnuity-due nperpetuity nVarying annuity nIncreasing annuity nDecreasing annuity 一、年金的定义与分类 n定义 q按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始 含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间 隔长度的系列付款。 n分类 q支付时间与支付金额是否确定：确定

30、年金vs风险年金 q支付期限长短：定期年金vs永续年金 q支付周期不同：年付年金、月付年金连续年金 q每期支付时点不同：期初付年金vs期末付年金 q开始支付的时间不同：即期年金vs延期年金 q每次付款金额是否相等：等额年金vs变额年金 二、基本年金 n基本年金 q相等的时间间隔付款 q付款频率与利息转换频率一致 q每次付款金额恒定 n代表种类 q付款时刻不同：期初付年金/期末付年金 q付款期限不同：定期年金/永续年金 1、基本年金图示 0 1 2 3 - n n+1 n+2 - 1 1 1 - 1 0 0- 1 1 1 - 1 0 0 0- 1 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1

31、 1- 期末付永续年金 期初付永续年金 期末付定期年金 期初付定期年金 2、基本年金的现值 n期末付年金现值 n期初付年金现值 n期末付永续年金现值 n期初付永续年金现值 21 (1)1 . 1 1 nn nn n n n vvv avvvv vi iav . 21 . 1 (1)1 1. 1 (1)1 nn n n nnnn vv avvv vd ai aaa 11 limlim n n nn v aa ii . . 11 limlim (1) n n nn v aa dd ai a n例2-1一项年金在20年内每半年末付500元， 设利率为每半年转换年名义利率9%，求此项 年金的现时值。

32、400.045 500500 18.40169200.8a . . 6% 6% 5000050000 500007596 6.5824 n n RaR a n例2-2 某企业租用了一间仓库，一次性支付 50000元的租金后可以使用8年，假设年实际 利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该 仓库的年租金应该是多少？ n设每年初的租金为R： n（思考）例2-3 有一企业想在一学校设立一永 久奖学金，假如每年末发出5万元奖金，问在 年实际利率为20%的情况下，该奖学金基金的 本金至少为多少？ 0.2 5 525 0.2 Pa n此题为一个期末付永续年金问题 10 6% 7.3601a n（思考）例2

33、-4 有一笔10000元的贷款，为期 10年。如果年实际利率为6%，比较下面三种 还款方式，哪种支付的利息总额最多？ q（1）在第10年末一次性偿付所有本息 q（2）每年末支付当年的利息，在第10年末再偿付 本金 q（3）10年内每年偿付相等的金额，在第10年末刚 好付清 已知：1.0610=1.7909， 10 6% 1000010000 1359 7.3601 A a n（1）第10年末的累计值 10000 1.0610 =17909 利息总额=17909-10000=7909 n（2）每年年末支付利息为 10000 0.06=600 10年共支付利息总额为600 10=6000 n（3）

34、期末付定期年金，每年年末偿付金额A： 10年共偿付的总金额为13590，利息总额为3590 3、基本年金的终值 n期末付年金终值 n期初付年金终值 21 1 (1)(1)1 1 (1)(1).(1) 1 (1) (1)1 nn n n n n ii siii ii iis . 21 . 1 (1)1 (1) (1)(1).(1)(1) 1 (1) (1)1(1)1 1 1 n nn n nn nn ii siiii i ii vd ss 4、现值与终值之间的换算关系 . (1) ,(1) nn nnnn saisai n期末付定期年金现值与终值之间存在倒数关系，如下： 如何证明？ 11 nn

35、i as 1(1)1 (1)1(1)1 (1)1 (1)11 n nn n n nn n iiii ii sii iii iva . 11 nn d as n作业2-1，请同学们证明： 5、年金在任意时点上的值 n年金在支付期限开始前任意时点上的值（延期年金） q延期m个时期的期末付定期（n期）年金的现值 q延期m个时期的期末付永续年金的现值 q延期m个时期的期初付定期（n期）年金的现值 q延期m个时期的期初付永续年金的现值 (1) mm m nnnm nm aaia vaa lim m m m n n v aa v i . (1) mm nnnm nmm aaia vaa . lim m m

36、 nm n v aa v d n年金在支付期限内任意时点上的值 q求解方法：可将原来的年金分解成两个新的年金， 一个由该时点之前的付款组成，另一个由该时点之 后的付款组成，因此，原来的年金在该时点上的值 等于第一个年金的终值加上第二个年金的现值。 n例2-5 某企业从银行获得一笔贷款，年实际利 率为6%。假设企业每年末向银行偿付20000 元，10年后可以还清贷款的所有本息。如果企 业打算在5年零3个月时一次付清所有贷款本息， 试计算企业应该一次性偿付多少。 n再计算3个月的复利累计值，即为题目所求 0.25 5 5 20000()(1)199880sai n分析：这实际是要计算10年期的期末

37、付年金在5年零3个月 末的值。可以先计算年金在5年末的值，再计算它在5年零 3个月末的值。 n该年金在5年末的值可以表示为前5年付款的终值与后5年 付款的现值之和。 5 5 20000()sa n年金在支付期限结束后任意时点的值 q求解方法：可以先计算年金的终值，再按年金支付 期限末到该时点的时间长度，计算其复利累积值即 可。 补充： 之间的换算关系, , ,i d v 1 d d 1 1 v 1e 1 i i 1 v 1e 1 1i 1 d e ln(1) iln(1) dlnv 利息力 贴现因子v 实际贴现率d 实际利率i 利息力贴现因子v实际贴现率d实际利率i 三、一般年金 n1、等额支

38、付条件下的一般年金 q（1）利息结转周期等于年金支付周期，但各时期 利率不相同的情况可变利率年金 n利息结转周期：结转一次利息所需的时间长度。比如每月 结转一次利息，则利息周期为一月。 n年金支付周期：支付一次年金所需的时间长度。比如每年 支付一次，则支付周期为一年。 n解题的关键：参考时点，现金流量图 （）每笔年金支付款项都以其支付时的利率计算 n以i1,i2,it分别表示第1,2,t期的利率。 q期末付年金的现值： q期初付年金的现值： q期末付年金的终值： q期初付年金的终值： 12 12 (1)(1).(1) n n n aiii . 12(1) 121 1 (1)(1).(1) n

39、n n aiii 21 12 1 (1)(1).(1) n nn n siii . 2 11 (1)(1).(1)n n nn siii （）每笔年金支付款项经历哪个时期，就以哪个 时期的利率计算 q期末付年金的现值： q期初付年金的现值： q期末付年金的终值： q期初付年金的终值： . 111111 112121 1 (1)(1) (1).(1) (1) .(1) n n aiiiiii 111111 11212 (1)(1) (1).(1) (1) .(1) n n aiiiiii . 111 (1)(1)(1).(1)(1).(1) n nnnnn siiiiii 112 1 (1)(1

40、)(1).(1)(1).(1) nnnnn n siiiiii 换算关系式： （请大家自行推导） . 1 1 nn aa . 1 1 nn ss 例例2-6 某人每年年初向一基金投资某人每年年初向一基金投资1000元，元， 为期为期5年。如果该基金前两年的年收益率年。如果该基金前两年的年收益率 为为5%，后三年的年收益率为，后三年的年收益率为6%。计算。计算 该项投资在第该项投资在第5年末的价值。年末的价值。 n前两年的投资在第5年末的价值： n后三年的投资在第5年末的价值： n该项投资在第5年末的总价值： 2 . 3 0.051000(10.06)s 3 . 0.061000s 23 . 3

41、 0.050.061000(10.06)10005938.28ss n思考：如果收益率保持5%不变，该项投资在第5年末 的价值是多少？如果收益率保持6%呢？请将这两个 结果与题目所求结果比较。 例例2-7 某人每年年初向一基金投资某人每年年初向一基金投资1000元，元， 为期为期5年。如果前两年的投资年。如果前两年的投资按年实际按年实际 利率利率5%计算计算，后三年的投资，后三年的投资按年实际利按年实际利 率率6%计算计算。计算该项投资在第。计算该项投资在第5年末的年末的 价值，并把结果与例价值，并把结果与例2-6比较。比较。 n前两年的投资在第5年末的价值： n后三年的投资在第5年末的价值：

42、 n该项投资在第5年末的总价值： 2 3 23 . 3 0.05 . 0.06 . 3 0.050.06 1000(1 0.05) 1000 1000(1 0.05)10005866.4 s s ss （2）各时期利率相同，但利息结算周期不等 于年金支付周期的情况 n（）每个支付周期结算k次利息（结算周期 支付周期） 0 第m次每 次支付 第2m次每 次支付 第nm次每 次支付 计息 支付 12 n i m 1 m 1 m 1 n:总的利息总的利息 结算次数结算次数 m:每个利息每个利息 结算周期包结算周期包 含的支付次含的支付次 数数 nm 表示表示 年金的支年金的支 付次数付次数 i:每个

43、利息结算周期的实际利每个利息结算周期的实际利 率（注意不是支付周期哦！）率（注意不是支付周期哦！） 方法一：利率转换 n例2-10 一笔50000元的贷款，计划在今后的5 年内按月偿还，如果每年结转2次利息的年名 义利率为6%，试计算每月末的还款金额。 2 6% (1)16.09% 2 n年实际利率为： n月实际利率为： n期末付年金的支付次数有512=60次，设其每 次支付金额为X，则有： 1 12 (1 0.0609)10.49386% 60 0.49386% 50000965X aX 方法二：建立新的年金公式，n为利息结算总次数，m为结算周期 内支付的次数，每年支付总额为1，每次支付1/

44、m 期末付年金 现值 终值 期初付年金 现值 终值 永续年金（现值） 期末付 期初付 11 121 () 1 1()() 11 .(.). 1 11 (1)1 n mm n mn mmm n m nn mmn m vv avvvv mm v vvi a ii mi ()() ()() (1)(1) mnmn mmnnnn ii siaias ii 121() . 1 . 1()() 111 .(1.). 1 11 1(1) mn n mmm n m nn mmn m v avvv mm v vvd a dd md ()() . ()() (1)(1) mm nn nn mmnn dd siai

45、as dd ()() ()() 1 limlim mm mmnn nn i aaa ii ()() . ()() 1 limlim mm n mmn nn d aaa dd 例2-11 对于例2-10，请按新建的年金公 式法重新计算结果。 n根据题意可知，总的利息结转次数n=52=10， 每个利息结转周期（半年）的年金支付次数m=6， 每个利息结转周期的实际利率i=3%。设每月还 款金额为X，那么每半年的还款就是6X，根据期 末付年金公式可得： (6) 10 3% (6) 10 3% 50000 (6)50000965 6 XaX i a i 例2-12 某人现在投资20000元，希望在今 后

46、的每月末领取100元，并无限期领取下 去，那么年实际利率应该为多少？ n期末付永续年金问题，每个利息结转周期支付 m=12次，每个支付周期末领取100元，则每个利 息结转周期（每年）领取1200元，设年实际利率 为i，有： 1(12) 12 11200 120020000200006.1678% 12(1)1 i i i m趋于无穷大时的特例：连续年金 n定义：在一个利息结转周期内支付次数趋于无 穷时的年金，也就是连续不断进行支付的年金。 q连续年金在现实生活中并不存在，但可以将一些支 付频率很高的年金，比如每日支付一次的年金，近 似考虑为连续年金。 q对于连续年金，期初与期末融为一点，即无所

47、谓期 初付或期末付。 假定总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的实 际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付的年金 的支付总量为1元，那么： n连续年金的现值 n连续年金的终值 n连续年金与基本年金的关系 0 0 () () 11 lnln 111 limlim n tnn tn n nnn m n mn mm vvv av dt vv vve oraa i 0 0 () () (1)(1)1 (1) ln(1) (1)1(1)11 limlim n tn tn n nnn m n mn mm ii si dt i iie orss i , nn nn ii aass 例2-13 当利息力为

48、多少时,有 151052sss 15105 15105 15105 510 5 10 111 2 112(1) 220 (1)(2)0 1:0 ln 2 20.06931 10 eee eee eee ee e e 2、非等额支付条件下的一般年金：变额年金 n（1）等差年金 q（）递增年金：假设一项年金在第一期末支付1元， 第二期末支付2元，第n期末支付n元，那么此项年金 是按算术级数递增的期末付年金，其现值： 其终值： 23 231 . 231 . ()23. (1) (1)()1234. ()(1.) () n n n n nnn n n n n n Iavvvnv i i Iavvvnv

49、 iIavvvvnvanv anv Ia i . 1 (1) ()(1) () n n n nn sn sn IsiIa ii 期初付递 增年金 现值 终值 永续年金 （现值） 期初付 期末付 . . ()(1)() n n nn anv I ai Ia d . . 1 (1) ()(1)() n n nn sn sn I si Is dd . 111 ()lim()lim(1) n n n nn anv IaIa idiii . . 2 2 11 ()lim()lim(1) n n n nn anv I aI a ddi （）递减年金：假设一项年金在第一期末支付n元， 第二期末支付n-1元，

50、第n期末支付1元，那么此项 年金是按算术级数递减的期末付年金，其现值： 其终值： 23 21 2 ()(1)(2). (1) (1)()(1)(2). ()(.) () n n n n n nn n n Danvnvnvv i i Dannvnvv iDanvvvna na Da i (1) ()(1) () n n n nn nis DsiDa i 期初付递 减年金 现值 终值 . ()(1)() n nn na Dai Da d . (1) ()(1)() n n nn nis Dsi Ds d 例2-14 某人希望购买一项年金，该年金 在第一年末的付款为1000元，以后每年增 加100元