全国2021年统一新高考数学试卷(新高考1卷)及答案.doc
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1、第 1页(共 20页) 2021 年全国统一新高考数学试卷(新高考卷) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1设集合 | 24Axx ,2B ,3,4,5,则(AB ) A2B2,3C3,4D2,3,4 2已知2zi,则()(z zi) A62iB42iC62iD42i 3已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为() A2B2 2C4D4 2 4下列区间中,函数( )7sin() 6 f xx 单调递增的区间是() A(0,) 2 B( 2 ,)C 3 ( ,) 2 D 3 ( 2 ,2
2、) 5已知 1 F, 2 F是椭圆 22 :1 94 xy C的两个焦点,点M在C上,则 12 | |MFMF的最大值 为() A13B12C9D6 6若tan2 ,则 sin (1sin2 ) ( sincos ) A 6 5 B 2 5 C 2 5 D 6 5 7若过点( , )a b可以作曲线 x ye的两条切线,则() A b eaB a ebC0 b aeD0 a be 8有 6 个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次 取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1” ,乙表示事件“第二次取出的球的数 字是 2” ,丙表示事件“两次取出的球
3、的数字之和是 8” ,丁表示事件“两次取出的球的数字 之和是 7” ,则() A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。 9有一组样本数据 1 x, 2 x, n x,由这组数据得到新样本数据 1 y, 2 y, n y,其中 (1 ii yxc i,2,)n,c为非零常数,则() A两组样本数据的样本平均数相同 B两组样本数据的样本中位数相同 C两组样本数据的样本标准差相同 D两组样本数据的样本极差相
4、同 10已知O为坐标原点,点 1(cos ,sin )P, 2(cos , sin)P, 3(cos( )P,sin(), (1,0)A,则() A 12 | |OPOP B 12 | |APAP 第 2页(共 20页) C 312 OA OPOP OP D 123 OA OPOP OP 11已知点P在圆 22 (5)(5)16xy上,点(4,0)A,(0,2)B,则() A点P到直线AB的距离小于 10B点P到直线AB的距离大于 2 C当PBA最小时,| 3 2PB D当PBA最大时,| 3 2PB 12在正三棱柱 111 ABCA BC中, 1 1ABAA,点P满足 1 BPBCBB ,其
5、中0, 1,0,1,则() A当1时, 1 AB P的周长为定值 B当1时,三棱锥 1 PA BC的体积为定值 C当 1 2 时,有且仅有一个点P,使得 1 APBP D当 1 2 时,有且仅有一个点P,使得 1 A B 平面 1 AB P 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13已知函数 3 ( )(22 ) xx f xx a 是偶函数,则a 14已知O为坐标原点,抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴 垂直,Q为x轴上一点,且PQOP若| 6FQ ,则C的准线方程为 15函数( ) |21| 2f xxlnx的最小值为 16某校
6、学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规 格为2012dmdm的长方形纸,对折 1 次共可以得到1012dmdm,206dmdm两种规格的 图形,它们的面积之和 2 1 240Sdm,对折 2 次共可以得到512dmdm,106dmdm, 203dmdm三种规格的图形,它们的面积之和 2 2 180Sdm,以此类推则对折 4 次共可以 得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么 1 n k k S 2 dm 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)已知数列 n a满足 1 1a , 1 1, 2, n
7、 n n an a an 为奇数 为偶数 (1)记 2nn ba,写出 1 b, 2 b,并求数列 n b的通项公式; (2)求 n a的前 20 项和 18 (12 分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题每位参加比赛的同 学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束; 若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答, 无论回答正确与否, 该同学比赛结 束A类问题中的每个问题回答正确得 20 分,否则得 0 分;B类问题中的每个问题回答正 确得 80 分,否则得 0 分 已知小明能正确回答A类问题的概率为 0.8,能正确回答B类问题的概率为 0
8、.6,且能正确 回答问题的概率与回答次序无关 (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由 19 (12 分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知 2 bac,点D在 边AC上,sinsinBDABCaC 第 3页(共 20页) (1)证明:BDb; (2)若2ADDC,求cosABC 20 (12 分)如图,在三棱锥ABCD中,平面ABD 平面BCD,ABAD,O为BD的 中点 (1)证明:OACD; (2) 若OCD是边长为 1 的等边三角形, 点E在棱AD上,2DEEA, 且二面角EBC
9、D 的大小为45,求三棱锥ABCD的体积 21 (12 分)在平面直角坐标系xOy中,已知点 1( 17F ,0), 2( 17 F,0),点M满足 12 | 2MFMF记M的轨迹为C (1)求C的方程; (2)设点T在直线 1 2 x 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且 | | | |TATBTPTQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 22 (12 分)已知函数( )(1)f xxlnx (1)讨论( )f x的单调性; (2)设a,b为两个不相等的正数,且blnaalnbab,证明: 11 2e ab 第 4页(共 20页) 2021 年全国统一新高考数学试卷(新高
10、考卷) 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1设集合 | 24Axx ,2B ,3,4,5,则(AB ) A2B2,3C3,4D2,3,4 【思路分析】直接利用交集运算得答案 【解析】 : | 24Axx ,2B ,3,4,5, | 242ABxx ,3,4,52,3 故选:B 【归纳总结】本题考查交集及其运算,是基础题 2已知2zi,则()(z zi) A62iB42iC62iD42i 【思路分析】把2zi代入()z zi,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解析】 :2zi, 2 ()(
11、2)(2)(2)(22 )442262z ziiiiiiiiii 故选:C 【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为() A2B2 2C4D4 2 【思路分析】设母线长为l,利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长,圆锥的母线长 即为侧面展开图半圆的半径,列出方程,求解即可 【解析】 :由题意,设母线长为l, 因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长,圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径, 则有22l,解得2 2l , 所以该圆锥的母线长为2 2 故选:B 【归纳总结】 本题考查了旋转体的理解
12、和应用, 解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展 开图半圆的弧长, 圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径, 考查了逻辑推理能力与运算能 力,属于基础题 4下列区间中,函数( )7sin() 6 f xx 单调递增的区间是() A(0,) 2 B( 2 ,)C 3 ( ,) 2 D 3 ( 2 ,2 ) 【思路分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解 【解析】 :令22 262 kxk ,kZ 则 2 22 33 kxk ,kZ 第 5页(共 20页) 当0k 时, 3 k , 2 3 , (0,) 23 , 2 3 , 故选:A 【归纳总结】本题考查正弦函数单调性,是基础题 5已知
13、 1 F, 2 F是椭圆 22 :1 94 xy C的两个焦点,点M在C上,则 12 | |MFMF的最大值 为() A13B12C9D6 【思路分析】利用椭圆的定义,结合基本不等式,转化求解即可 【解析】 : 1 F, 2 F是椭圆 22 :1 94 xy C的两个焦点,点M在C上, 12 | 6MFMF, 所以 212 12 | | |()9 2 MFMF MFMF ,当且仅当 12 | | 3MFMF时,取等号, 所以 12 | |MFMF的最大值为 9 故选:C 【归纳总结】本题考查椭圆的定义,基本不等式的应用,是基础题 6若tan2 ,则 sin (1sin2 ) ( sincos
14、) A 6 5 B 2 5 C 2 5 D 6 5 【思路分析】 由题意化简所给的三角函数式, 然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的 值 【解析】 :由题意可得: 22 sin (1sin2 )sin (sincos2sin cos ) sincossincos 2 sin (sincos ) sin (sincos ) sincos 22 222 sinsin costantan sincos1tan 422 145 故选:C 【归纳总结】 本题主要考查同角三角函数基本关系, 三角函数式的求值等知识, 属于中等题 7若过点( , )a b可以作曲线 x ye的两条切线,则() A b e
15、aB a ebC0 b aeD0 a be 【思路分析】画出函数的图象,判断( , )a b与函数的图象的位置关系,即可得到选项 【解析】 :函数 x ye是增函数,0 x ye 恒成立, 函数的图象如图,0y ,即取得坐标在x轴上方, 如果( , )a b在x轴下方,连线的斜率小于 0,不成立 点( , )a b在x轴或下方时,只有一条切线 如果( , )a b在曲线上,只有一条切线; ( , )a b在曲线上侧,没有切线; 第 6页(共 20页) 由图象可知( , )a b在图象的下方,并且在x轴上方时,有两条切线,可知0 a be 故选:D 【归纳总结】本题考查曲线与方程的应用,函数的单
16、调性以及切线的关系,考查数形结合思 想,是中档题 8有 6 个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次 取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1” ,乙表示事件“第二次取出的球的数 字是 2” ,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8” ,丁表示事件“两次取出的球的数字 之和是 7” ,则() A甲与丙相互独立B甲与丁相互独立 C乙与丙相互独立D丙与丁相互独立 【思路分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况,然后根据独立事件的定义判断即可 【解析】 :由题意可知,两点数和为 8 的所有可能为:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2
17、), 两点数和为 7 的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), P(甲 1 ) 6 ,P(乙 1 ) 6 ,P(丙 55 ) 6636 ,P(丁 61 ) 666 , :A P(甲丙)0P(甲)P(丙), :B P(甲丁) 1 36 P(甲)P(丁), :C P(乙丙) 1 36 P(乙)P(丙), :D P(丙丁)0P(丙)P(丁), 故选:B 【归纳总结】本题考查相互独立事件的应用,要求能够列举出所有事件和发生事件的个数, 属于中档题 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对
18、的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。 9有一组样本数据 1 x, 2 x, n x,由这组数据得到新样本数据 1 y, 2 y, n y,其中 (1 ii yxc i,2,)n,c为非零常数,则() A两组样本数据的样本平均数相同 B两组样本数据的样本中位数相同 第 7页(共 20页) C两组样本数据的样本标准差相同 D两组样本数据的样本极差相同 【思路分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可 【解析】 :对于A,两组数据的平均数的差为c,故A错误; 对于B,两组样本数据的样本中位数的差是c,故B错误; 对于C,标准差()()( ) iii D yD xcD
19、 x, 两组样本数据的样本标准差相同,故C正确; 对于D,(1 ii yxc i,2,)n,c为非零常数, x的极差为 maxmin xx,y的极差为()() maxminmaxmin xcxcxx, 两组样本数据的样本极差相同,故D正确 故选:CD 【归纳总结】本题考查命题真假的判断,考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础 知识,是基础题 10已知O为坐标原点,点 1(cos ,sin )P, 2(cos , sin)P, 3(cos( )P,sin(), (1,0)A,则() A 12 | |OPOP B 12 | |APAP C 312 OA OPOP OP D 123 OA OP
20、OP OP 【思路分析】由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标,然后逐一验证四个选项得答案 【解析】 : 1(cos ,sin)P, 2(cos , sin)P, 3(cos( )P,sin(),(1,0)A, 1 (cos ,sin)OP , 2 (cos, sin)OP , 3 (cos()OP ,sin(),(1,0)OA , 1 (cos1,sin)AP , 2 (cos1, sin)AP , 则 22 1 |1OPcossin , 22 2 |( sin)1OPcos ,则 12 | |OPOP ,故A正确; 2222 1 |(cos1)2cos122cosAPsincossin ,
21、2222 2 |(cos1)( sin)2cos122cosAPcossin , 12 | |APAP ,故B错误; 3 1 cos()0sin()cos()OA OP , 12 coscossinsincos()OP OP , 312 OA OPOP OP ,故C正确; 1 1 cos0sincosOA OP , 23 coscos()sinsin()cos()cos(2 )OP OP , 123 OA OPOP OP ,故D错误 故选:AC 【归纳总结】 本题考查平面向量数量积的性质及运算, 考查同角三角函数基本关系式及两角 和的三角函数,考查运算求解能力,是中档题 11已知点P在圆 22
22、 (5)(5)16xy上,点(4,0)A,(0,2)B,则() A点P到直线AB的距离小于 10B点P到直线AB的距离大于 2 C当PBA最小时,| 3 2PB D当PBA最大时,| 3 2PB 第 8页(共 20页) 【思路分析】求出过AB的直线方程,再求出圆心到直线AB的距离,得到圆上的点P到直 线AB的距离范围, 判断A与B; 画出图形, 由图可知, 当过B的直线与圆相切时, 满足PBA 最小或最大,求出圆心与B点间的距离,再由勾股定理求得|PB判断C与D 【解析】 :(4,0)A,(0,2)B, 过A、B的直线方程为1 42 xy ,即240 xy, 圆 22 (5)(5)16xy的圆
23、心坐标为(5,5), 圆心到直线240 xy的距离 22 |1 5254|1111 5 4 55 12 d , 点P到直线AB的距离的范围为 11 5 4 5 , 11 5 4 5 , 11 5 5 5 , 11 5 41 5 , 11 5 410 5 , 点P到直线AB的距离小于 10,但不一定大于 2,故A正确,B错误; 如图, 当过B的直线与圆相切时, 满足PBA最小或最大(P点位于 1 P时PBA最小, 位于 2 P 时PBA最大) , 此时 22 |(50)(52)25934BC , 22 |4183 2PBBC,故CD正确 故选:ACD 【归纳总结】本题考查直线与圆的位置关系,考查
24、转化思想与数形结合思想,是中档题 12在正三棱柱 111 ABCA BC中, 1 1ABAA,点P满足 1 BPBCBB ,其中0, 1,0,1,则() A当1时, 1 AB P的周长为定值 B当1时,三棱锥 1 PA BC的体积为定值 C当 1 2 时,有且仅有一个点P,使得 1 APBP D当 1 2 时,有且仅有一个点P,使得 1 A B 平面 1 AB P 【思路分析】判断当1时,点P在线段 1 CC上,分别计算点P为两个特殊点时的周长, 即可判断选项A;当1时,点P在线段 11 BC上,利用线面平行的性质以及锥体的体积公 式,即可判断选项B;当 1 2 时,取线段BC, 11 BC的
25、中点分别为M, 1 M,连结 1 M M, 第 9页(共 20页) 则点P在线段 1 M M上, 分别取点P在 1 M,M处, 得到均满足 1 APBP, 即可判断选项C; 当 1 2 时,取 1 CC的中点 1 D, 1 BB的中点D,则点P在线的 1 DD上,证明当点P在点 1 D处 时, 1 A B 平面 11 AB D,利用过定点A与定直线 1 A B垂直的平面有且只有一个,即可判断选 项D 【解析】 :对于A,当1时, 1 BPBCBB ,即 1 CPBB ,所以 1 / /CPBB , 故点P在线段 1 CC上,此时 1 AB P的周长为 11 ABB PAP, 当点P为 1 CC
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