全国2021年统一高考数学试卷（天津卷）及答案.doc

1、2021 年全国统一高考数学试卷（天津卷） 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设集合1,0,1A ，1,3,5B ，0,2,4C ，则ABC （A） 0（B）0,1,3,5（C）0,1,2,4（D）0,2,3,4 2.已知aR，则“6a ”是“ 2 36a ”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 3.函数 2 ln 2 x y x 的图像大致为 （A）（B） （C）（D） 4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部， 统计其平分数据， 将所得 400 个评分数据分为 8 组： 66,70，70,74，94,

2、98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86内的 影视作品数量为 （A）20（B）40（C）64（D）80 5.设3 . 0log2=a，4 . 0log 2 1 =b， 3 . 0 4 . 0=c，则a、b、c的大小关系为 （A）cba（B）bac （C）acb（D）bcaba的右焦点与抛物线pxy2 2 =（0p）的焦点重合，抛物线 的准线交双曲线于BA、两点，交双曲线的渐近线与DC、两点，若ABCD2=,则双曲线的离 心率为 （A）2（B）3（C）2（D）3 9.设Ra,函数 ax ax axax ax xf , 5) 1(2 ),22cos( )( 22 ,若)(xf在

3、区间）（ , 0内恰好有 6 个零点， 则a的取值范围是 （A） 4 11 2 5 4 9 2， （B） 4 11 2 5 2 4 7 ， （C） 3 4 11 4 9 2， （D） 3 4 11 2 4 7 ， 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分， 全部答对的给 5 分 10.i是虚数单位，复数 92 2 i i =_. 11 在 36 1 (2)x x 的展开式中， 6 x的系数是_. 12.若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆 22 (1)1xy相切与点 B，则|AB=_. 13.若0,0,ab则 2 1 + a b a

4、b 的最小值为_. 14.甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否 则本次平局。已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为 5 6 和 3 5 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不 影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_;3 次活动中，甲至少获胜 2 次的 概率为_. 15.在边长为 1 的等边三角形ABC中。D为线段BC上的动点，DEAB且交AB与点E，DFAB 交AC于点F，则|2|BEDF 的值为_;()DEDFDA 的最小值为_. 三解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 1

5、4 分）在ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 sin:sin:sin2:1:2ABC 2b （I）求a的值； （II）求cosC的值； （III）求sin 2 6 C 的值 17（本小题满分 15 分）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点， (1)求证： 1 / /D F平面 11 AEC; (2)求直线 1 AC与平面 11 AEC所成的角的正弦值; (3)求二面角 11 AACE的正弦值. 18. （本小题满分 15 分）已知椭圆 2 2 x a + 2 2 1(0) y ab b 的右焦点为F,上顶点为

6、B，离心率为 2 5 5 ，且5BF . (1)求椭圆的方程； (2)直线 l与椭圆有唯一的公共点M， 与y轴的正半轴交于点N， 过N与BF垂直的直线交x 轴于点P，若MPBF/，求直线l的方程 19.（本题满分15分）已知 n a是公差为2的等差数列，其前8项的和为64. n b是公比大于0的 等比数列， 1 4b ， 32 48bb. （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 * 2 1 , nn n cbnN b . （i）证明 2 2nn cc是等比数列； （ii）证明 1 2 1 2 2 2 n kk k kk a a cc . 20. (本小题满分 16 分)已知0a,函数 x

7、 exaxxf)(. (1) 求函数)(xfy 在点)0(, 0(f处的切点的方程； (2) 证明)(xf存在唯一极值点; (3) 若存在a,使得baxf)(对于任意的Rx成立，求实数 b 的取值范围. 初高中数学教研微信系列群简介： 目前有 15 个群（13 个高中群，2 个初中群） ，共 5000 多优秀、特、高级教师，省、市、区县 教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展 开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明： 1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题； 2.由于本群是集

8、“研究写作发表（出版） ”于一体的“桥梁” ，涉及 业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片： 教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名 欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入， 大家共同研究，共同提高！ 群主二维码：见右图 2021 年全国统一高考数学试卷（天津卷） 参考答案与试题解析 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设集合1,0,1A ，1,3,5B ，0,2,4C ，则ABC （A） 0（B）0,1,3,5（C）0,1,2,4（D）0,2,3,4 【思路分析】考

9、查集合的运算，要看清楚题目是取交集还是并集 【解析】 （河南洛阳刘友友老师解析）由1,0,1A ，1,3,5B 得 1AB ，所以 10,2,40,1,2,4ABC ，选 C 【归纳总结】此类型题较为基础，考查学生对集合基本运算的掌握情况 2.已知aR，则“6a ”是“ 2 36a ”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【思路分析】要把 2 36a 这一条件进行整理或化简，进而判断是充分还是必要条件 【解析】 （河南洛阳刘友友老师解析） 2 36a 等价于66aa或6a ，故66aa，即 2 36a ，但66aa，因此6a ”是“ 2 36a

10、 的充分不必要条件 【归纳总结】本题考查充分条件与必要条件，可以借助口诀： “小充分大必要” ，提升做题速度 3.函数 2 ln 2 x y x 的图像大致为 （A）（B） （C）（D） 【思路分析】先判断函数 2 ln 2 x y x 的奇偶性，然后取特殊值即可得到正确选项 【解析】 （河南洛阳刘友友老师解析）易得 2 ln 2 x y x 为偶函数，故可排除 A，C 选项，当2x 时， ln2 0 42 y ，故可排除 D 选项即答案选 B 【归纳总结】判断函数的大致图像，一般步骤是判断奇偶性、单调性，然后结合特殊值的情况加以 确定图像 4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，

11、统计其平分数据， 将所得 400 个评分数据分为 8 组： 66,70，70,74，94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间82,86内的 影视作品数量为 （A）20（B）40（C）64（D）80 【思路分析】要求分布在区间82,86人数，只需要知道总人数及该区间的频率就可以算出 【解析】 （河南洛阳刘友友老师解析）由频率分布直方图可得评分在区间82,86内的频率为： 0.05040.2，所以影视作品数量为：0.240080，选 D 【归纳总结】频率分布直方图的纵截距是频率/组距，千万别忽略组距而导致计算错误 5.设3 . 0log2=a，4 . 0log 2 1 =b， 3

12、. 0 4 . 0=c，则a、b、c的大小关系为 （A）cba（B）bac （C）acb（D）bca 【思路分析】 【解析】 （甘肃庆阳柳广社解析）01log3 . 0log 22 =a， 15 . 0log4 . 0log4 . 0log 22 2 1 b，14 . 04 . 00 03 . 0 =c， bcaba的右焦点与抛物线pxy2 2 =（0p）的焦点重合，抛物线 的准线交双曲线于BA、两点，交双曲线的渐近线与DC、两点，若ABCD2=,则双曲线的离 心率为 （A）2（B）3（C）2（D）3 【思路分析】统一用 a、b、c 表示出 CD 和 AB 间的等式，最后转化成 a、c 间的关

13、系求 e. 【解析】（甘肃庆阳柳广社解析） 根据题意知抛物线准线方程为cx， a b AB 2 2 =， a bc CD 2 =， ABCD2= ， bc2= ，又 222 bac+=，ba=， 双曲线的离心率2= a c e，故选 A. 【归纳总结】本题考查抛物线与双曲线图像及其简单的性质，属于中等题。 9.设Ra,函数 ax ax axax ax xf , 5) 1(2 ),22cos( )( 22 ,若)(xf在区间）（ , 0内恰好有 6 个零点， 则a的取值范围是 （A） 4 11 2 5 4 9 2， （B） 4 11 2 5 2 4 7 ， （C） 3 4 11 4 9 2， （

14、D） 3 4 11 2 4 7 ， 【思路分析】 【解析】 （甘肃庆阳柳广社解析） 因为二次方程最多有 2 个零点，所以 ）（axxf22cos)( 至少有 4 个根， 因为)(2cos22cos)(axaxxf）（，而 kax 2 2）（， 整理得)( , 4 1 2 Zka k x 2 1 2 1 2 4 1 2 0kaaa k 。 时，ax 当)(, 4 2 1 25xfa有 4 个零点，即 4 9 4 7 a， 当)(, 5 2 1 26xfa有 5 个零点，即 4 11 4 9 a， 当)(, 6 2 1 27xfa有 6 个零点，即 4 13 4 11 a， ax 时，, 512)

15、( 22 axaxxf）（, 0)5(4) 1(4 22 aa解得：2a， 当, 02 时，a)(xf无零点， 当, 02 时，a)(xf有 1 个零点， 当2a时，令, 05) 1(2)( 22 aaaaaf解得 2 5 a， 则当个零点，有时，2)( 2 5 2xfa 当个零点。有时，1)( 2 5 xfa 即ax 时，时，2a)(xf无零点，个零点，有时，或1)( 2 5 2xfaa 个零点。有时，2)( 2 5 2xfa 综上可得 4 9 2 4 11 2 5 ，a .故选 A. 【归纳总结】 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分试题中包含两个空的，答对 1 个的

16、给 3 分， 全部答对的给 5 分 10.i是虚数单位，复数 92 2 i i =_. 【思路分析】本题考查复数的运算，利用复数的运算法则计算即可。 【解析】 （河南洛阳李省伟老师解析） 92(92 )(2) = 2(2)(2) iii iii 2 22 18942 = 2 iii i 205 = 5 i =4i 【归纳总结】复数一般考查复数的运算法则，化简求运算结果、复数的模长、共轭复数、几何性质 象限判断、周期运算以及模长与圆锥曲线定义结合，偶尔也会考察一元二次方程的虚数根。难点在 于审题与计算，难度一般。 11 在 36 1 (2)x x 的展开式中， 6 x的系数是_. 【思路分析】本

17、题考查二项式的展开式系数，运用二项式定理第r+1 项公式 1 rn rr rn TC ab 展开求 解。 【解析】 （河南洛阳李省伟老师解析） 36 1 (2)x x 的第r+1 项为 3 6 16 1 (2)( ) rrr r TCx x 63(6) 62 rrrr Cxx 618 4 62 rrr Cx 18 46r xx 得r=3 6633 64 1602TxxC 6 x的系数是 160. 【归纳总结】二项式需要理解()nab展示的思想，一般考查二项式定理，常见题型为求某一项、 或者某一项系数，以及二项式的逆用，赋值法求二项式系数和或者展开项系数和。难点在于审题与 规范计算，难度中等。

18、12.若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆 22 (1)1xy相切与点 B，则| AB=_. 【思路分析】本题考查直线与圆位置关系，考察数形结合思想，画出图像，利用已知条件，用解三 角形的方式，计算求得切线长。 【解析】 （刘家范老师解析）设圆心为 M，由直线的斜率为3知此切线的倾斜角为 60，又切线与 y 轴 交 点 为 A ， 所 以 MAB =30 ， 又 ABM =90 ， 且 MB=1 ， 所 以 AM=2, 即 | AB= 3AM 22 BM 【归纳总结】解析几何，直线与圆的关系、圆锥曲线，作为选择填空小题出现，重点考查学生数形 结合能力，能否根据已知条件画出相应图形，根据几何关系

19、再进行运用。解题过程中如果能巧用图 形的几何关系，会大大降低计算量。难点在于审题作图与计算，难度中等。 13.若0,0,ab则 2 1 + a b ab 的最小值为_. 【思路分析】题中条件较少，求式子最值。求式子最值主要考察均值不等式，基本均值不等式为两 项关系，和为定值求积的最小值或者积为定值求和的最小值。而本题是 3 项，用均值不等式的一般 形式：如果a1，a2，an为n个正数，则 12 12 n n n aaa a aa n 当且仅当a1a2 an时，等号成立.代入运算法则计算即可。 【思路分析】对于给式求最值，考虑用均值不等式，其使用条件为： “一正二定三相等” ，当条件不 满足时，

20、要创造基本不等式的使用条件，注意“和定积最小”或者“积定和有最大” 。 【解析】解法一： （河南洛阳李省伟老师解析） 12 12 n n n aaa a aa n 2 1 + a b ab = 2 1 + 22 abb ab 4 2 1 4=2 2 2 2 ab b a b 当且仅当 2 1 = 22 abb ab 成立，即=2a b 时 2 1 + a b ab 取得最小值 解法二： （刘家范补解） ：0,0,ab 2 1 + a b ab . 22 2 2 21 2 2 b b b b b b a a 当 且仅当 2 a a 1 b 和 b b 2 同时成立，即 a=b= 2 时成立 ）

21、【归纳总结】利用均值不等式求最值是高考的重要的考点之一，常见考法是如何灵活地创造基本不 等式使用条件,如：凑系数、拆项、1 的替换等，对于两次使用基本不等式时要保证等式能同时成立， 难度中等。 14.甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否 则本次平局。已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为 5 6 和 3 5 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不 影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_;3 次活动中，甲至少获胜 2 次的 概率为_. 【思路分析】本题考查独立事件的概率与独立重复事件概率，分步与分类计数法的应用。甲、乙二 人猜谜语结果互不

22、影响，根据题中条件，甲获胜即为甲猜对乙猜错。3 次活动中，每次互不影响， 即独立重复事件概率。甲至少胜 2 次，即甲获胜 2 次或 3 次，分别求出再求和。 【思路分析】本题第一空考查独立事件的概率公式，第二空考查二项分布概率公式。 【解析】 （河南洛阳李省伟老师解析）(1)根据题中条件，事件甲获胜为甲猜对乙猜错。 531 (1) 653 P (2)根据独立重复事件的概率 甲获胜 2 次的概率为 22 3 112 (2)( )(1) 339 P XC 甲获胜 3 次的概率为 330 3 111 (3)( )(1) 3327 P XC 甲至少胜 2 次的概率为 217 += 92727 P 故：

23、甲获胜的概率为 1 3 ;3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 7 27 . 【归纳总结】事件的概率重点理解事件的独立性，是或事件还是并，分步分类。分析明白事件类型 后，求概率就相对容易了。此考点难点在于审题理解题意中事件的类型，难度中等。 【归纳总结】求解随机事件的概率首先要理清所求事件间的关系，然后利用概率的有关性质或者常 见的概率分布求解概率，难度中等。 16.在边长为 1 的等边三角形ABC中。D为线段BC上的动点，DEAB且交AB与点E，DFAB 交AC于点F，则|2|BEDF 的值为_;()DEDFDA 的最小值为_. 【思路分析】本题考查知识点向量，向量模长及最值。考察数形结

24、合思想，根据题中条件，作出图 形，再根据条件求解答案。 【解析】 （河南洛阳李省伟老师解析） 如图所示： 经验法：(1)根据条件可得，|2|BEDF 的值应不受动点D位置影响。 故若取D点与B点重合，则E点与B点重合，F点与A点重合。 则|2|BEDF =|0| 1BA （第一空速解：过 F 作 FHAB于 H，易证：四边形 DEHF 时平行四边形，所以 ，HABEEHDF所以1|BE|BE2|BAEHHADF） 普通法：建立如图所示坐标系,则A,B,C点坐标为 3 (0,) 2 , 1 (,0) 2 , 1 ( ,0) 2 设 D 点坐标为(x,0), 1 1 (, ) 2 2 x 则 1

25、| 2 BDx, 1 | 42 x BE ,E 点坐标为 333 (,) 4884 xx 1 | 2 CDx, 1 | 2 DFx,F点坐标为 133 (+,) 4242 xx (1)2BEDF = 133 2(+,) 4884 xx + 133 (,) 4242 xx = 13 ( ,) 22 |2|BEDF = 22 13 ( )()1 22 (2)DE = 3333 (,) 4884 xx DF = 133 (,) 4242 xx ;DA = 3 (,) 2 x ()DEDFDA = 51 3 33 (,) 4884 xx 3 (,) 2 x= 513 333 () ()() 48842

26、 xx x = 2 519 4416 xx 当 1 = 10 x时()DEDFDA 取得最小值 41 80 . 【归纳总结】本题以向量为载体考察动点定值与在最值问题，定值往往可以通过特殊点来判定，也 可以用普通方法，建立坐标系，求点坐标求值。最值一般转换为二次函数求，或者均值不等式，计 算量较大，考察综合运算能力。难点在于计算，难度较大。 三解答题：本大题共 5 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 14 分）在ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 sin:sin:sin2:1:2ABC 2b （I）求a的值； （II）求cosC的值； （I

27、II）求sin 2 6 C 的值 【思路分析】第（I）问用正弦定理即可求解，较为基础；第（II）问不仅需要正弦定理，还需要用 余弦定理；第（III）问在前面求解的条件基础上，需要用两角差的正弦公式和正余弦的二倍角公式 【解析】 （河南洛阳刘友友老师解析） （I）由正弦定理得sin:sin:2:1ABa b，2b ，所以2 2a （II）同（I）可得2c ，由余弦定理可得 2 2 2 222 222 3 cos 2422 22 abc C ab ； （III） 3 cos0 4 C ，则 2 37 sin1 44 C ， 733 7 sin22sincos2 448 CCC， 2 71 cos2

28、12sin12 168 CC ， 3 73113 211 sin 2sin2coscos2sin 666828216 CCC 【归纳总结】本题看似简单，实则考查了解三角形的正弦定理、余弦定理，三角函数中的二倍角公 式、两角差的正弦公式，可谓短小精悍 17（本小题满分 15 分）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点， (1)求证： 1 / /D F平面 11 AEC; (2)求直线 1 AC与平面 11 AEC所成的角的正弦值; (3)求二面角 11 AACE的正弦值. 【思路分析】 （1）连接 11 AC, 11 B D相

29、交于 O,连接 OE,EF,证明 1 / /OED F即可； （2）以 A 为坐标原点，AB，AD， 1 AA为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面 11 AEC的法向量即 可； （3）求出平面 11 A AC的法向量，结合（2）则可得到二面角. 【解析】 （代尔宁老师解析）(1)证明：如图所示，连接 11 AC, 11 B D相交于 O,连接 OE,EF, 因为 E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点 所以 11 / /EFB D且 11 1 2 EFB D 根据正方体有 111 1 2 ODB D,所以 1 EFOD 所以四边形 1 OEFD为平行四边形，所以 1 / /OED F

30、又因为OE 平面 11 AEC， 1 D F 平面 11 AEC 所以 1 / /D F平面 11 AEC; (2) 以 A 为坐标原点，AB，AD， 1 AA为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示 则 11 (0,0,0),(2,2,2),(2,1,0),(0,0,2)ACEA 则 111 (2,1, 2),(0,1,2),(2,2,2)AEECAC 设平面 11 AEC的法向量 1111 ( ,)nx y z 则 11111 11 11 220 20 nAExyz yz nEC ， 令 1 1z ，则 1 1 1 2 2 1 x y z ，则 1 (2, 2,1)n 设直线 1 AC与平面

31、11 AEC所成的角为， 则 11 11 |23 sin 9|3 2 3 n AC nAC (3) 在（2）建立的空间直角坐标系中，设平面 11 A AC的法向量 2222 (,)nxyz 则 212 222 21 20 2220 nAAz xyz nAC 令 2 y1，则 2 2 2 1 1 0 x y z ，则 2 ( 1,1,0)n 设二面角 11 AACE为，根据（2）有 12 12 222 2 cos 3|32 n n nn ，所以 81 sin1 93 【归纳总结】本题考查空间立体几何中线面位置关系以及空间线面角，二面角的求解，由于本题有 优良的建立空间直角坐标系的条件，所以直接借

32、助坐标系解决即可. 18. （本小题满分 15 分）已知椭圆 2 2 x a + 2 2 1(0) y ab b 的右焦点为F,上顶点为B，离心率为 2 5 5 ，且5BF . (1)求椭圆的方程； (2)直线 l与椭圆有唯一的公共点M， 与y轴的正半轴交于点N， 过N与BF垂直的直线交x 轴于点P，若MPBF/，求直线l的方程 【思路分析】 （1）先由BF的长求出a，再结合离心率求出c，根据 222 bac，求出 2 b，即得 椭圆方程.（2）解法一：由题设直线l的方程，联立直线与椭圆的方程组，解得直线的求出点N坐 标.根据直线NPBF，得直线NP方程.进而求出点P坐标，根据MPBF建立M点

33、横纵坐标 间的关系，再联立M点横纵坐标的方程组，即可解得M点，从而解出直线l的方程；解法二：根据 求导得直线l方程，根据点M求出点P坐标，根据NPMP列出点M横纵坐标间的关系，再联立 点M横纵坐标的方程组，即可解得M点，从而解出直线l的方程；解法三;由题设直线l的方程，求 出点N坐标.根据直线NPBF，得直线NP方程.进而求出点P坐标， 根据MPBF建立点M. 横纵坐标间的关系，再联立点M. 横纵坐标的方程组，即可解得M. 点，从而解出直线l. 的方程； 【解析】 （郭倩老师解析）(1)记半焦距为c. ，根据 2222 BFOBOFbca. ， 得5a . , 由离心率 2 5 5 c e a

34、 . , 得2c , 所以 222 1bac, 所以椭圆方程为 2 5 x + 2 1y （2）解法一： （郭倩老师解析）由题知直线联立方程组 2 2 1 5 , x y ykxm ， 得 222 1 510550kxkmxm 因为直线 l与椭圆有唯一的公共点M，所以0，化简得 22 510mk 由方程组 , 0, ykxm x 解得ym，因此点N坐标为0,m 因为0,1B,2,0F, 所以直线BF的斜率为 1 01 022 ， 因为NP与BF垂直的直线交x轴于点P，所以NPBF, 根据两直线垂直斜率之积为1，可得直线NP斜率为2， 因为0,Nm,所以直线NP方程为2yxm，因为直线NP交x轴

35、于点P， 由方程组 2, 0, yxm y 解得 2 m x ，因此点P坐标为,0 2 m ， 因为MPBF，所以直线MP与直线BF的斜率相等,所以直线MP的斜率为 1 2 ， 直线MP方程为 1 22 m yx 联立方程组 1 22 , m yx ykxm ， 解得 0 0 5 , 42 2 , 42 m x k kmm y k 因此点M坐标为 52 , 4242 mkmm kk 将M点坐标代入椭圆方程得 2 2 5 242 1 542 m kmmk k 解得 1, 6, k m 或 1, 6, k m （因为 ly直线 与轴的正半轴交于点N舍去） 所以，直线l方程为6yx 解法二： （郭倩

36、老师解析）直线 l与椭圆相切于点M，设 000 ,(0)M xyy ， 因为椭圆方程为 2 5 x + 2 1y ，则 2 1 5 x y , 所以 y = 2 5 5 1 5 xx y x , 直线 l与椭圆相切于点M 所以直线l方程为 0 00 0 5 x yyxx y 因为点N在y轴的正半轴，所以设点N坐标为0,Nt 因为点N在直线l上，所以 2 0 0 0 5 x ty y 因为0,1B,2,0F, 所以直线BF的斜率为 1 01 022 ， 因为N与BF垂直的直线交x轴于点P，所以NPBF, 根据两直线垂直斜率之积为1，可得直线NP斜率为2， 因为0,Nt,所以直线NP方程为2yxt

37、，因为直线NP交x轴于点P 由方程组 2, 0, yxt y 解得 2 t x ，因此点P坐标为,0 2 t 因为MPBF，NPBF，所以NPMP NP与MP垂直,所以NPMP ，因为, 2 t NPt ， 00 , 2 t MPxy 所以0NPMP ，化简得 00 24txy 将代入化简得 00 5xy ， 点 00 ,M xy在椭圆上满足 2 0 5 x + 2 0 1y 联立得 0 0 5 6 , 6 6 , 6 x y 所以，直线l方程为6yx 解法三： （郭倩老师解析）直线 l与椭圆相切于点M，设 000 ,(0)M xyy ，则 2 0 5 x + 2 0 1y， 则直线l方程为

38、0 5 x x+ 0 1y y , 因为直线l与y轴的正半轴交于点N, 由方程组 0 0 1, 5 0, x xy y x 解得 0 1 y y ，因此点N坐标为 0 1 0, y 因为0,1B,2,0F, 所以直线BF的斜率为 1 01 022 ， 因为N与BF垂直的直线交x轴于点P，所以NPBF, 根据两直线垂直斜率之积为1，可得直线NP斜率为2， 因为 0 1 0,N y ,所以直线NP方程为 0 1 2yx y ，因为直线NP交x轴于点P 由方程组 0 1 2, 0, yx y y 解得 0 1 2 x y ，因此点P坐标为 0 1 ,0 2y 因为MPBF，所以直线MP与直线BF的斜

39、率相等 直线MP的斜率为 00 0 0 0 0 0 1 1 2 2 yy x x y y ，直线BF的斜率为 1 2 所以 0 0 0 1 1 2 2 y x y ，整理得 2 000 2410 x yy ，化简得 2 0 0 0 41 2 y x y 因为点 00 ,M xy满足 2 0 5 x + 2 0 1y，联立解得 0 0 5 6 , 6 6 , 6 x y 所以，直线l方程为6yx 【归纳总结】解决直线与椭圆的位置关系问题问题，首先要适当设直线的方程，进而求出相应点的 坐标，根据题中几何关系联立方程或方程组求解. 19.（本题满分15分）已知 n a是公差为2的等差数列，其前8项的

40、和为64. n b是公比大于0的 等比数列， 1 4b ， 32 48bb. （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 * 2 1 , nn n cbnN b . （i）证明 2 2nn cc是等比数列； （ii）证明 1 2 1 2 2 2 n kk k kk a a cc . 【思路分析】本题主要考查等差、等比数列的求和以及数列的综合应用. （）根据题中已知条件，利用公式求出数列的通项公式。 （）根据 n c的定义将（）所求 n a和 n b代入 n c， （i）根据 n c的通项公式求出 2 2nn cc的通项公式，根据等比数列的定义判断 2 2nn cc是等比 数列； （ii） 设

41、 1 2 2 nn n nn a a t cc ， n t的前n项和 n T， 则可将其放缩得到2 2 n n n t ， 再构造数列 2 n n n r ， * nN，利用错位相减法求出 n r的前n项和 n R，可以判断出2 n R .从而得到 22 2 nn TR. 【解析】 ： （辽宁沈阳贺雷颖老师解析） （1）设 n a的公差为d， n a的前n项和为 n S， n b的公 比为0q q . 由题意得 8 2,64dS，根据等差数列前n项和公式得 81 82864Sad， 整理得 1 2716ad，将2d 代入得， 1 1a ，12121 n ann ， * nN. 根据题中 1 4

42、b ， 32 48bb，由等比数列通项公式得， 2 11 48bqbq，将 1 4b 代入得， 2 4448qq，化简得 2 120qq，即430qq，4q或3q 0q ，4q，根据等比数列通项公式得4n n b ， * nN. n a的通项公式公式为21 n an， * nN； n b的通项公式为：4n n b ， * nN. （）由（）得21 n an，4n n b ， * nN， 2 1 4 4 n n n c ， * nN， （i） 2 22444 2 222 1111 4442 442 4 4444 nnnnnn nn nnnn cc ， * nN. 21 121 2 4n nn c

43、c ， 2 121 2 2 4 nn nn cc cc （常数） ， 因为 2 224 12 2 11 448 44 cc . 2 2nn cc是以8为首项， 4为公比的等比数列. （ii）设 1 2 2 nn n nn a a t cc ， n t的前n项和为 n T， 2 212141 2 42 4 n nn nnn t ， 22 414 2 2 42 42 n nnn nnn t . * nN. 设 2 n n n r ， * nN.设 n r的前n项和为 n R. 则 121 =. nnn Rrrrr 21 121 =. 2222 n nn nn R 231 1121 =0. 2222

44、2 n nn nn R 得 231 11111 =. 222222 n nn n R 11 11 1 22 11 =1 1 2222 1 2 n n n nn nn R 2 =2 2 n n n R ， * nN. * nN， 2 0 2n n ，2 n R. 22 2 nn TR. 即 1 2 1 2 2 2 n kk k kk a a cc . 【归纳总结】 （1）等差数列、等比数列的通项公式在求解过程中要灵活运用公式； （2）证明数列是等差数列或是等比数列的证明方法，首选定义法，要注意明确首项和公差或公比； （3）在运用错位相减法数列求和时要注意适用范围及错位相减法的解题技巧； （4）在

45、数列中要理解并学会运用适当利用放缩法求解； （5）在求解复杂式子的时候要学会化繁为简。 20. (本小题满分 16 分)已知0a,函数 x exaxxf)(. (4) 求函数)(xfy 在点)0(, 0(f处的切点的方程； (5) 证明)(xf存在唯一极值点; (6) 若存在a,使得baxf)(对于任意的Rx成立，求实数 b 的取值范围. 【思路分析】本题主要考查导数的概念及其几何意义、导数的计算以及导数在研究函数中的应用。 【解析】 ： （张英杰老师解析） （1）,) 1()(0)0( x exaxff ，所以, 1)0(af所以函数在 )0(, 0(f处的切线方程为：0) 1(yxa。 （

46、2）若证明)(xf仅有一个极值点，即证, 0) 1()( x exaxf只有一个解， 即证 x exa) 1( 只有一个解， 令 x exxg) 1()(，只需证 x exxg) 1()(的 图像与直线)0( aay仅有一个交点， x exxg)2()(， 当2x时，0)( x g 当 2x时，0)( x g)(xg 单调递减， 当 2x时，0)( x g)(xg 单调递增， 当2x时，0)2( 2 eg . 当 x 时， )(xg ， 当 x 时， 0)(xg ， 因为 0a ，所以 x exxg) 1()( 的图像与直线 )0( aay仅有一个交点. （3）由题意可得，存在 ), 0( a

47、，使得baexax x 对于任意的 Rx 恒成立， 即存在存在), 0( a，使得)1 (xaxeb x 对于任意的 Rx 恒成立， 令)1 ()(xaxexh x ，即存在 ), 0( a ， min )(xhb ， .)2()(,) 1()( xx exxhaexxh 由(2)得2x时，0)( x h 单调递减， 2x时单调递增， 当x时，)(xh， 当x时，0)( x h， 所以存在)2( 00 xxx,使得函数, 0) 1()( 0 00 aexxh x 即,) 1( 0 0 aex x 当 0 xx 时)(xh单调递减，当 0 xx 时)(xh单调递增 当 0 xx 时， 00 )1 ()1 ()(min)( 0 2 0000 xx exxxaexxhxh ,) 1)(2()2()( 00 000 2 00 xx exxexxxh 当 12 0 x 时， , 0)( 0 x h 则 )( 0 xh 单调递增， 当1 0 x 时，, 0)( 0 x h 则)( 0 xh 单调递减. 当1 0 x 时，,) 1 ()( max0 ehxh 因为存在 ), 0( a ， )( 0 xhb ，即 max0) (xhb 即 eb 所以 b 的取值范围为 , e. 【归纳总结】存在性问题：.)()(, min KxfKxfDx成立，则