全国2021年统一高考数学试卷(北京卷)及答案.doc
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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学 一、选择题:共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项 1. 已知集合| 11Axx ,|02Bxx,则AB (). A.1,2;B.( 1,2 ;C.0,1);D.0,1. 2. 在复平面内,复数z满足(1)2i z,则z (). A.2i;B.2i;C.1i;D.1 i. 3. 已知 ( )f x 是定义在上0,1的函数,那么“函数 ( )f x 在0,1上单调递增”是“函数 ( )f x 在0,1上的最 大值为 (1)f ”的(). A. 充分而不必要条件;B. 必要而不充分条件
2、; C. 充分必要条件;D. 既不充分也不必要条件. 4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为(). A. 33 2 ;B. 4; C.33;D. 2. 5. 双曲线 22 22 :1 xy C ab 过点 2, 3,且离心率为2,则该双 曲线 的标准方程为(). A. 2 2 1 3 y x ;B. 2 2 1 3 x y;C. 2 2 3 1 3 y x ;D. 2 2 3 1 3 x y. 6. n a 和 n b 是两个等差数列,其中 15 k k a k b 为常值, 1 288a , 5 96a ,1 192b ,则 3 b ( ). A.64;B.128;C.256;D
3、.512. 7. 函数 ( )coscos2f xxx ,试判断函数的奇偶性及最大值(). A. 奇函数,最大值为 2;B. 偶函数,最大值为 2; C. 奇函数,最大值为 9 8 ;D. 偶函数,最大值为 9 8 . 8. 定义:24 小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度其中小雨 ( 10mm ) ,中雨(10mm 25mm ) ,大雨(25mm 50mm ) ,暴雨 (50mm 100mm ) ,小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水,如图,则这 天降雨属于哪个等级( ). A. 小雨;B. 中雨;C. 大雨;D. 暴雨. 9. 已知圆 22 :4C xy,直线: l yk
4、xm,当k变化时,l截得圆C弦长 的最小值为 2,则m(). A.2B. 2 C.3D.5 10. 数列 n a 是递增的整数数列,且 1 3a , 12 100 n aaa ,则n的最大值为(). A. 9;B. 10;C. 11;D. 12. 二、填空题:5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 34 1 ()x x 展开式中常数项为_ 12. 已知抛物线 2 :4C yx, 焦点为F, 点M为抛物线C上的点, 且6FM , 则M的横坐标是_; 作MNx轴于N,则 FMN S _ 13.(2,1)a ,(2, 1)b ,(0,1)c ,则()abc _;a b _ 14. 若点 (c
5、os ,sin )P 与点 (cos(),sin() 66 Q 关于y轴对称,写出一个符合题意的_ 15. 已知函数 lg2f xxkx,给出下列四个结论: 若0k ,则 ( )f x 有两个零点;0k ,使得 ( )f x 有一个零点; 0k ,使得 ( )f x 有三个零点; 0k ,使得 ( )f x 有三个零点 以上正确结论得序号是_ 三、解答题:共 6 小题,共 85 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16. 已知在ABC中,2 coscbB, 2 3 C (1)求B的大小; (2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长 度 2c
6、b ;周长为42 3;面积为 3 3 4 ABC S; 17. 已知正方体 1111 ABCDABC D ,点E为 11 AD中点,直线 11 BC交平面CDE于点F (1)证明:点F为 11 BC的中点; (2)若点M为棱 11 AB上一点,且二面角MCFE 的余弦值为 5 3 ,求 1 11 AM AB 的值 18. 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合 1 检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为 阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测现有 100 人,已 知其中 2 人感染病毒 (1)若采用“10 合 1 检测法”,且两名患者在同一组,
7、求总检测次数; 已知 10 人分成一组,分 10 组,两名感染患者在同一组的概率为 1 11 ,定义随机变量X为总检测 次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X); (2) 若采用“5 合 1 检测法”, 检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果) 19. 已知函数 2 32x f x xa (1)若0a ,求 yf x在 1,1f 处切线方程; (2)若函数 fx在1x 处取得极值,求 fx的单调区间,以及最大值和最小值 20. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 过点 (0, 2)A ,以四个顶点围成的四边形面积为4 5 (1)求椭圆E的
8、标准方程; (2)过点0, 3P的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交3y 于点M、 N,直线AC交 3y 于点N,若15PMPN,求k的取值范围 21. 定义 p R 数列 n a :对实数p,满足: 1 0ap , 2 0ap ; 414 , nn nNaa ; ,1 m nmnmn aaap aap ,,m nN (1)对于前 4 项 2,-2,0,1 的数列,可以是 2 R数列吗?说明理由; (2)若 n a 是 0 R数列,求 5 a的值; (3)是否存在p,使得存在 p R 数列 n a ,对 10 , n nNSS ?若存在,求出所有这样的p;若不存 在,
9、说明理由 初高中数学教研微信系列群简介: 目前有 15 个群(13 个高中群,2 个初中群) ,共 5000 多优秀、特、高级教师,省、市、区县教研员、 教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成,是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微 信群. 宗旨:脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研! 特别说明: 1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题; 2.由于本群是集“研究写作发表(出版) ”于一体的“桥梁” ,涉及业务合 作,特强调真诚交流,入群后立即群名片: 教师格式:省+市+真实姓名,如:四川成都张三 编辑格式:公司或者刊物(简写)+真实姓名 欢迎各位
10、老师邀请你身边热爱高中数学教研(不喜欢研究的谢绝)的教师好友(学生谢绝)加入,大家 共同研究,共同提高! 群主二维码:见右图 2021 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学 参考答案与试题解析 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题:共共 1010 小题小题,每小题每小题 4 4 分 分,共共 4040 分分,在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中,选出符合题目选出符合题目 要求的一项要求的一项 1. 已知集合| 11Axx ,|02Bxx,则AB () A. 1,2 B.( 1,2 C.0,1)D.0,1 【思路分析】结合题意利用并集的定义计算即可. 【解析】 :由题意
11、可得:| 12ABxx ,即 1,2AB .故选:B. 2. 在复平面内,复数z满足(1)2i z,则z () A.2iB.2iC.1iD.1 i 【思路分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【解析】 :由题意可得: 2 12 12 1 1112 ii zi iii .故选:D. 3. 已知 ( )f x 是定义在上0,1的函数,那么“函数 ( )f x 在0,1上单调递增”是“函数 ( )f x 在0,1上的最 大值为 (1)f ”的() A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【思路分析】利用两者之间的推出关系可判断两者
12、之间的条件关系. 【解析】 :若函数 fx在 0,1上单调递增,则 fx在0,1上的最大值为 1f , 若 fx在0,1上的最大值为 1f ,比如 2 1 3 f xx , 但 2 1 3 f xx 在 1 0, 3 为减函数,在 1 ,1 3 为增函数, 故 fx在 0,1上的最大值为 1f 推不出 fx在 0,1上单调递增, 故“函数 fx在 0,1上单调递增”是“ fx在0,1上的最大值为 1f ”的充分不必要条件, 故选:A. 4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为() A. 33 2 B. 4C.33D. 2 【思路分析】根据三视图可得如图所示的几何体(三棱锥) ,根据三
13、视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【解析】 :根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥OABC, 其侧面为等腰直角三角形,底面等边三角形, 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1, 故其表面积为 2 1333 31 12 242 ,故选:A. 5. 双曲线 22 22 :1 xy C ab 过点 2, 3,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( ) A. 2 2 1 3 y x B. 2 2 1 3 x yC. 2 2 3 1 3 y x D. 2 2 3 1 3 x y 【思路分析】分析可得3ba,再将点2, 3代入双曲线的方程,求出a的值,即可得出双曲线的标 准方程. 【解析】 :2 c
14、 e a ,则2ca, 22 3bcaa ,则双曲线的方程为 22 22 1 3 xy aa , 将点2, 3的坐标代入双曲线的方程可得 222 231 1 3aaa ,解得1a ,故3b , 因此,双曲线的方程为 2 2 1 3 y x .故选:A. 6. n a 和 n b 是两个等差数列,其中 15 k k a k b 为常值,1 288a , 5 96a, 1 192b ,则 3 b ( ) A.64B.128C.256D.512 【思路分析】由已知条件求出 5 b的值,利用等差中项的性质可求得 3 b的值. 【解析】 :由已知条件可得 51 15 aa bb ,则 5 1 5 1 9
15、6 192 64 288 a b b a ,因此, 15 3 19264 128 22 bb b . 故选:B. 7. 函数 ( )coscos2f xxx ,试判断函数的奇偶性及最大值() A. 奇函数,最大值为 2B. 偶函数,最大值为 2 C. 奇函数,最大值为 9 8 D. 偶函数,最大值为 9 8 【思路分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性;利用二倍角公式结合二次函数的性 质可判断最大值. 【解析】 :由题意, ()coscos2coscos2fxxxxxf x,所以该函数为偶函数, 又 2 2 19 ( )coscos22coscos12 cos 48 f xxx
16、xxx , 所以当 1 cos 4 x 时,( )f x取最大值 9 8 . 故选:D. 8. 定义:24 小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度其中小雨( 10mm ) ,中雨 (10mm 25mm ) ,大雨(25mm 50mm ) ,暴雨(50mm 100mm ) ,小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的 雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级( ) A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨 【思路分析】计算出圆锥体积,除以圆面的面积即可得降雨量,即可得解. 【解析】 :由题意,一个半径为 200 100 mm 2 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 200150 50 mm 230
17、0 ,高为150 mm的圆锥, 所以积水厚度 2 2 1 50150 3 12.5 mm 100 d ,属于中雨. 故选:B. 9. 已知圆 22 :4C xy, 直线: l y kxm , 当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为 2, 则m() A.2B. 2 C.3D.5 【思路分析】先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出m 【解析】 :由题可得圆心为 0,0,半径为 2, 则圆心到直线的距离 2 1 m d k , 则弦长为 2 2 2 4 1 m k , 则当0k 时,弦长取得最小值为 2 2 42m ,解得3m .故选:C. 10. 数列 n a 是递增的整数数列,且
18、 1 3a , 12 100 n aaa ,则n的最大值为() A. 9B. 10C. 11D. 12 【思路分析】使数列首项、递增幅度均最小,结合等差数列的通项及求和公式即可得解. 【解析】 :若要使n尽可能的大,则 1 a,递增幅度要尽可能小, 不妨设数列 n a 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,其前n项和为 n S, 则2 n an , 11 3 13 1188100 2 S , 12 3 14 12102100 2 S , 所以n的最大值为 11.故选:C. 二、填空题:5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 34 1 ()x x 展开式中常数项为_ 【解析】 :试题分析
19、: 4 3 1 x x 的展开式的通项 4 312 4 144 1 C1C, r r r rrr r Txx x 令3r 得常数 项为 3 3 44 1C4T . 12. 已知抛物线 2 :4C yx,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且 6FM ,则M的横坐标是_; 作MNx轴于N,则 FMN S _ 【思路分析】根据焦半径公式可求M的横坐标,求出纵坐标后可求 FMN S . 【解析】 :因为抛物线的方程为 2 4yx,故2p 且1,0F. 因为6MF ,6 2 M p x,解得5 M x ,故2 5 M y , 所以 1 5 12 54 5 2 FMN S ,故答案为:5,4 5. 13.(
20、2,1)a ,(2, 1)b ,(0,1)c ,则()abc _;a b _ 【思路分析】根据坐标求出ab ,再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【解析】 :(2,1),(2, 1),(0,1)abc , 4,0ab ,()4 00 10abc , 2 2 113a b .故答案为:0;3. 14. 若点 (cos ,sin )P 与点 (cos(),sin() 66 Q 关于y轴对称,写出一个符合题意的_ 【思路分析】根据 ,P Q在单位圆上,可得, 6 关于y轴对称,得出2, 6 kkZ 求解. 【解析】 : (cos ,sin )P 与 cos,sin 66 Q 关于y轴对称, 即,
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