新高一暑假数学衔接教材7讲含作业及答案.doc

1、亲爱的新高一的同学们： 祝贺你们步入高中时代， 下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才 能解决，即“初高中衔接问题” 。由于课程改革，目前湖北省初中是新课标，而高中也是新 课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高一数 学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降 低同学们初高中衔接中的不适应度，从而为新学期做好准备。 第一部分第一部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值绝对值： 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 正数的绝对值是他本身， 负

2、数的绝对值是他的相反数， 0 的绝对值是 0， 即 (0) 0(0) (0) a a aa a a 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 两个绝对值不等式:|(0)xa aaxa ；|(0)xa axa 或xa 2 乘法公式乘法公式： 平方差公式： 22 ()()abab ab 立方差公式： 3322 ()()abab aabb 立方和公式： 3322 ()()abab aabb 完全平方公式： 222 ()2abaabb， 2222 ()222abcabcabacbc 完全立方公式： 33223 ()33abaa babb 3 分解因式分解因式： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫

3、做把这个多项式分解因式。 方法：提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法。 4 一元一次方程一元一次方程： 在一个方程中， 只含有一个未知数， 并且未知数的指数是 1， 这样的方程叫一元一次方程。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。 关于方程axb解的讨论 当0a 时，方程有唯一解 b x a ； 当0a ，0b 时，方程无解 当0a ，0b 时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：代入消元法，加减消元法。 6 不等式与不等式组不等式与不等式组 （1）不等式不等式： 用符不等号（、）连接的式子叫不等式。 不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 求不等式解集的过程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式一元一次不等式： 左右

5、两边都是整式， 只含有一个未知数， 且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次 不等式。 （4）一元一次不等式组一元一次不等式组： 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解 集。 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程一元二次方程： 2 0(0)axbxca 方程有两个实数根 2 40bac 方程有两根同号 12 0 0 c x x a 方程有两根异号 12 0 0 c x x a 韦达定理及应用： 1212 , bc xxx x aa 222 121212 ()2x

6、xxxx x, 2 2 121212 4 ()4 bac xxxxx x aa 33222 12121122121212 ()()() ()3xxxxxx xxxxxxx x 8 函数函数 （1）变量：因变量，自变量。）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的 数轴上的点表示因变量。 （2） 一次函数一次函数： 若两个变量y,x间的关系式可以表示成ykxb（b为常数，k不等于 0）的形式，则称y是x的一次函数。当b=0 时，称y是x的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质一次函数的图象及性质 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值

7、分别作为点的横坐标与纵坐标， 在直角坐 标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 正比例函数y=k x的图象是经过原点的一条直线。 在一次函数中，当k 0，b O，则经 2、3、4 象限；当k 0，b 0 时，则经 1、2、 4 象限；当k 0，b 0 时，则经 1、3、4 象限；当k 0，b 0 时，则经 1、2、3 象限。 当k 0 时，y的值随x值的增大而增大，当k 0 时，y的值随x值的增大而减少。 （4）二次函数）二次函数： 一般式： 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa (0a )，对称轴是, 2 b x a 顶点是 2 4 ,) 24

8、bacb aa （； 顶点式： 2 ()ya xmk(0a )，对称轴是,xm 顶点是,m k； 交点式： 12 ()()ya xxxx(0a )，其中（ 1,0 x），（ 2,0 x）是抛物线与 x 轴的 交点 （5）二次函数的性质）二次函数的性质 函数 2 (0)yaxbxc a的图象关于直线 2 b x a 对称。 0a 时， 在对称轴（ 2 b x a ） 左侧，y值随x值的增大而减少； 在对称轴 （ 2 b x a ） 右侧；y的值随x值的增大而增大。当 2 b x a 时，y取得最小值 2 4 4 acb a 0a 时， 在对称轴（ 2 b x a ） 左侧，y值随x值的增大而增大

9、； 在对称轴 （ 2 b x a ） 右侧；y的值随x值的增大而减少。当 2 b x a 时，y取得最大值 2 4 4 acb a 9 图形的对称图形的对称 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。 轴对称图形上关于对称轴对称 的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180 度，如果旋转前后的图形互 相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。中心对称图 形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 10 平面直角坐标系平面直角坐标系 （

10、1） 在平面内， 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点。 （2）平面直角坐标系内的对称点：设 11 ( ,)M x y， 22 (,)M xy是直角坐标系内的两点， 若M和M关于y轴对称，则有 12 12 xx yy 。 若M和M关于x轴对称，则有 12 12 xx yy 。 若M和M关于原点对称，则有 12 12 xx yy 。 若M和M关于直线yx对称，则有 12 12 xy yx 。 若M和M关于直线xa对称，则有 12 12 2xax yy 或 21 12

11、2xax yy 。 11. 几何中高中应复习强化几何中高中应复习强化：平行线等分线段定理，平行传递性，梯形中位线，圆中垂径定 理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质，平行、垂直的定义， 判定，性质，三角形的认识、三角形的全等、相似，三角形的的心，梯形、平行四边形、矩 形、菱形、正方形、正六边形的定义、性质,直角三角形的射影定理等。 12 统计与概率：统计与概率： （1） 科学记数法科学记数法： 一个大于 10 的数可以表示成10NA的形式， 其中A大于等于 1 小于 10， N是正整数。 （2）扇形统计图扇形统计图：用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，

12、扇形的 大小反映部分占总体的百分比的大小， 这样的统计图叫做扇形统计图。 扇形统计图中， 每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360 度的比。 （3）各类统计图的优劣各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；折线统计 图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占 的百分比。 （4）平均数平均数：对于N个数 12 , N x xx，我们把 1 N ( 12N xxx)叫做这个N个数的 算术平均数，记为x。 （5）加权平均数加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平 均数时往往给每个数据加一个权

13、，这就是加权平均数。 （6）中位数与众数中位数与众数：N 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间 两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。一组数据中出现次数最大的那个数据 叫做这个组数据的众数。优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据 所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单， 受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大 致相等时，众数往往没有特别的意义。 （7）调查调查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对 象的全体称为总体， 而组成总体的每一个考察对象称为个体。 从总体

14、中抽取部分个体 进行调查， 这种调查称为抽样调查， 其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样 本。 抽样调查只考察总体中的一小部分个体， 因此他的优点是调查范围小， 节省时间， 人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的 调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。 （8）频数与频率频数与频率：每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值 为频率。当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分 布直方图。 （9）数据的波动数据的波动：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差是各个数据与 平均数之差的平方和的平均数。

15、标准差就是方差的算术平方根。一般来说，一组数 据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。 （10）事件的可能性事件的可能性：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些 事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件 都是确定的。有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。 一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。 （11）概率概率：人们通常用 1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可 能事件发生的可能性。游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。必然事件发 生的概率为 1，记作P（必然事件）1；不可能事

16、件发生的概率为0，记作P（不 可能事件）0；如果 A 为不确定事件，那么0( )1P A 第二部分第二部分 分类例题精讲及实战演练分类例题精讲及实战演练 一、数与式的运算一、数与式的运算 一一） 、必会的乘法公式、必会的乘法公式 【公式【公式 1】cabcabcbacba222)( 2222 证明证明： 2222 )(2)()()(ccbabacbacba cabcabcbacbcacbaba222222 222222 等式成立 【例例 1】计算： 22 ) 3 1 2(xx 解解：原式= 22 3 1 )2(xx 9 1 3 22 3 8 22 )2( 3 1 2 3 1 2)2(2) 3

17、1 ()2()( 234 222222 xxxx xxxxxx 说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 【公式【公式 2】 3322 )(babababa(立方和公式立方和公式) 证明证明: 3332222322 )(bababbaabbaabababa 说明说明:请同学用文字语言表述公式 2. 【例例 2】计算：（2a+b） （4a2-2ab+b2）=8 a3+b3 【公式【公式 3】 3322 )(babababa(立方差公式立方差公式) 1计算 （1） （3x+2y） （9x2-6xy+4y2）= （2） （2x-3） （4x2+6xy+9）= （3）) 9 1 6

18、1 4 1 ( 3 1 2 1 2 mmm= （4） （a+b） （a2-ab+b2） （a-b） （a2+ab+b2）= 2利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m3-n3= （2）27m3- 8 1 n3= （3）x3-125= （4） m6-n6= 【公式【公式 4】 33322 ()33ababa bab 【公式【公式 5】 33223 ()33abaa babb 【例例 3】计算： （1）)416)(4( 2 mmm（2）) 4 1 10 1 25 1 )( 2 1 5 1 ( 22 nmnmnm （3）)164)(2)(2( 24 aaaa（4） 22222 )(2(yxy

19、xyxyx 解解： （1）原式= 333 644mm （2）原式= 3333 8 1 125 1 ) 2 1 () 5 1 (nmnm （3）原式=644)()44)(4( 63322242 aaaaa （4）原式= 2222222 )()()(yxyxyxyxyxyx 6336233 2)(yyxxyx 说明说明： （1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式 的结构 （2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、 4、10 的立方数，是非常有好处的 【例例 4】已知 2 310 xx ，求 3 3 1 x x 的值 解解： 2

20、 310 xx 0 x3 1 x x 原式=18)33(33) 1 )( 1 () 1 1)( 1 ( 22 2 2 x x x x x x x x 说明说明：本题若先从方程 2 310 xx 中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦 琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体 代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举 【例例 5】已知0cba，求 111111 ()()()abc bccaab 的值 解解：bacacbcbacba, 0 原式= ab ba c ac ca b bc cb a 333 ()()()aab

21、bccabc bcacababc abccabccabbababa3)3(3)( 32233 abccba3 333 ，把代入得原式=3 3 abc abc 说明说明：注意字母的整体代换技巧的应用 二二） 、根式、根式 式子(0)a a 叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 ()(0)aa a(2) 2 |aa (3)(0,0)abab ab(4)(0,0) bb ab a a 【例例 6】化简下列各式： (1) 22 ( 32)( 31)(2) 22 (1)(2) (1)xxx 解解：(1) 原式=|32|31| 2331 1 *(2) 原式= (1)(2)23 (2) |1|2| (1)

22、(2)1 (1x2) xxxx xx xx 说明说明：请注意性质 2 |aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字 母的取值分类讨论 【例例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) 8 3 (2) 3 23 (3) 11 ab (4) 3 28 2 x xx 解解：(1) 8 3 = 4 6 28 23 8 3 (2) 原式= 2 3(23)3(23) 63 3 23(23)(23) (3) 原式= 22 aba bab abab (4) 原式= 22 2 22222 23 2 22 x x xxxx xxxx x 说明说明： (1)二次根式的化简结果应满足：

23、被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种： 被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或 因式开出来； 分母中有根式(如 3 23 )或被开方数有分母(如 2 x ) 这时可将其化为 a b 形式(如 2 x 可 化为 2 x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采 取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如 3 23 化为 3(23) (23)(23) ，其中23与 23叫做互为有理化因式) 有理化因式和分母有理化有理化因式和分母有理化 有理化因式：两个含有二次根

24、式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两 个代数式叫做有理化因式。如 a 与 a ； ybxa 与 ybxa 互为有理化因式。 分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。 【例例 8】计算： (1) 2 (1)(1)()ababab(2) aa aabaab 解解：(1) 原式= 22 (1)()(2)2221baaabbaabb (2) 原式= 11 ()() aa aabaababab ()()2 ()() ababa ab abab 说明说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式 二次根式的运算 【例例 9】设

25、2323 , 2323 xy ，求 33 xy的值 解解： 2 2 (23)23 74 3,74 3 14,1 2323 xyxyxy 原式= 2222 ()()()()314(143)2702xy xxyyxyxyxy 说明说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根 据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量 1二次根式 2 aa 成立的条件是() A0a B0a C0a Da是任意实数 2若3x ，则 2 96|6|xxx的值是() ABCD 3计算： 练练习习 1 (1) 2 (34 )xyz(2) 2 (21)()(2 )a

26、bab ab (3) 322 )()(babababa(4) 22 1 (4 )(4) 4 ababab 4化简(下列a的取值范围均使根式有意义)： (1) 3 8a(2) 1 a a (3) 4ab a bb a (4) 112 23231 5化简： (1) 2 1 9102 325 mm mmm m (2) 2 22 (0) 2 xyxy xy xx y 6若 11 2 xy ，则 33xxyy xxyy 的值为()： A 3 5 B 3 5 C 5 3 D 5 3 7设 11 , 3232 xy ，求代数式 22 xxyy xy 的值 8已知 111 20,19,21 202020 ax

27、bxcx，求代数式 222 abcabbcac 的值 9设 51 2 x ，求 42 21xxx的值 10化简或计算： (1) 113 ( 184) 23 23 (2) 2 21 22(25) 3 52 (3) 2 x xxyxxyy xyyx xyy 三三） 、分式、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时， A B 就叫做繁分式，繁分式的化简常用 以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质 【例例 10】化简 1 1 x x x x x 解法一解法一：原式= 22 2 (1)1 1(1) 1(1)(1)1 1 x xxxxxx xxxx xxxxx xxx

28、 xxxx x x 解法一解法一：原式= 2 2 (1)1 (1)(1) 11 1 () x xxxxx xxxxx xxxx xxx xx xx x 说明说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解 法二则是利用分式的基本性质 AAm BBm 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法 【例例 11】化简 2 22 3961 62279 xxxx xxxx 解解：原式= 2 22 3961161 2(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9) xxxxx xxxxxxxxxx 2 2(3)12(1)(3)(3)3 2(3)(3)2(3)(3)2(3) xxx

29、xx xxxxx 说明说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分 解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 四四） 、多项式除以多项式、多项式除以多项式 做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可 以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐） ，要特别注意，得到每个余式的运算都是减 法。结果表示为：被除式=除式商式+余式 【例【例 1】计算)3()3( 24 xxx 解： 3 93 93 33 30 03003 2 2 2 24 42 x x x xx xx xxx xxxxx39)3()3()3( 224

30、 计算 1)32()2713103( 223 xxxxx 练练习习 2 2) 1()22( 232 xxx 3已知1453, 2112219 23234 xxxBxxxxA 求： 22 BA 二二、因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形， 它与整式乘法是相反方向的变形 在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等 一）、公式法一）、公式法 【例【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1)

31、 3 8x(2) 3 0.12527b 分析：分析： (1)中， 3 82，(2)中 333 0.1250.5 ,27(3 )bb 解：解：(1) 3332 82(2)(42)xxxxx (2) 33322 0.125270.5(3 )(0.53 )0.50.5 3(3 ) bbbbb 2 (0.53 )(0.251.59)bbb 说明：说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 333 8(2)a bab，这里逆用了法则()n nn aba b；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 一定要看准因式中各项的符号 【例【例 2】分解因式： (1) 34 38

32、1a bb(2) 76 aab 分析分析： (1) 中应先提取公因式再进一步分解； (2) 中提取公因式后， 括号内出现 66 ab， 可看着是 3232 ()()ab或 2323 ()()ab 解：解：(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb (2) 76663333 ()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()() a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 二二)、分组分解法、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于 四

33、项以上的多项式， 如mambnanb既没有公式可用， 也没有公因式可以提取 因此， 可以先将多项式分组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法 分组分解法的 关键在于如何分组 1分组后能提取公因式分组后能提取公因式 【例【例 3】把2105axaybybx分解因式 分析分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然 后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取 公因式 解：解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab 说明说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由

34、此合理选择分组的 方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 【例【例 4】把 2222 ()()ab cdabcd分解因式 分析分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因 式 解：解： 22222222 ()()ab cdabcdabcabda cdb cd 2222 ()()abca cdb cdabd ()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd 说明说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了 加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中 所起的

35、作用 2分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式 【例【例 5】把 22 xyaxay分解因式 分析分析： 把第一、 二项为一组， 这两项虽然没有公因式， 但可以运用平方差公式分解因式， 其中一个因式是xy； 把第三、 四项作为另一组， 在提出公因式a后， 另一个因式也是xy. 解：解： 22 ()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 【例【例 6】把 222 2428xxyyz分解因式 分析：分析：先将系数 2 提出后，得到 222 24xxyyz，其中前三项作为一组，它是一 个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式 解：解： 222222 24282(2

36、4)xxyyzxxyyz 22 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz 说明说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或 提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多 项式就可以分组分解法来分解因式 三三)、十字相乘法、十字相乘法 1 2 ()xpq xpq型的因式分解型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之 和 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此

37、， 2 ()()()xpq xpqxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 【例【例 7】把下列各式因式分解： (1) 2 76xx(2) 2 1336xx 解：解：(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx (2) 3649,4913 2 1336(4)(9)xxxx 说明说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项 系数的符号相同 【例【例 8】把下列各式因式分解： (1) 2 524xx(2) 2 215xx 解：解：(1) 24( 3)8,( 3)85 2 524(

38、3)(8)(3)(8)xxxxxx (2) 15( 5)3,( 5)32 2 215( 5)(3)(5)(3)xxxxxx 说明说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的 因数与一次项系数的符号相同 【例【例 9】把下列各式因式分解： (1) 22 6xxyy(2) 222 ()8()12xxxx 分析分析：(1) 把 22 6xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是 2 6y，一次项系数是 y，把 2 6y分解成3y与2y的积，而3( 2 )yyy ，正好是一次项系数 (2) 由换元思想，只要把 2 xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解 二次三项式

39、 2 812aa 解：解：(1) 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy (2) 22222 ()8()12(6)(2)xxxxxxxx (3)(2)(2)(1)xxxx 2一般二次三项式一般二次三项式 2 axbxc型的因式分解型的因式分解 大家知道， 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就得到： 2 121 22 11 21122 ()()()a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现，二次项系数a分解成 12 a a，常数项c分解成 1 2 c c，把 1212 ,a a c c写成 1

40、1 22 ac ac ， 这里按斜线交叉相乘， 再相加， 就得到 1 22 1 a ca c， 如果它正好等于 2 axbxc 的一次项系数b， 那么 2 axbxc就可以分解成 1122 ()()a xca xc， 其中 11 ,a c位于上一 行， 22 ,a c位于下一行 这种借助画十字交叉线分解系数， 从而将二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相乘法 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确 定一个二次三项式能否用十字相乘法分解 【例【例 10】把下列各式因式分解： (1) 2 1252xx(2) 22 568xxyy 解：解：(1) 2 1252(

41、32)(41)xxxx 32 4 1 (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy 1 2 54 y y 说明说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解 时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是 否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号 四四)、其它因式分解的方法、其它因式分解的方法 1配方法配方法 【例【例 11】分解因式 2 616xx 解：解： 222222 616233316(3)5xxxxx (35)(35)(8)(2)xxxx 说明说明： 这种设法配成有完全平方

42、式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平 方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验 2拆、添项法拆、添项法 【例【例 12】分解因式 32 34xx 分析分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一 次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通过添项或拆项解决 解：解： 3232 34(1)(33)xxxx 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx 说明：说明：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式

43、分成两组，满足系数对应成比例， 造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将 2 3x拆成 22 4xx ，将多项式分成 两组 32 ()xx和 2 44x 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解， 那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 1把下列各式分解因式： (1) 3 27a (2) 3 8m(3) 3 278x 2把下列各式分解因式： (1) 34 xyx

44、(2) 33nn xx y (3) 2232 (2 )yxxy 3把下列各式分解因式： 练练习习 3 (1) 2 32xx(2) 2 627xx(3) 22 45mmnn 4把下列各式分解因式： (1) 543 1016axaxax(2) 212 6 nnn aaba b (3) 22 (2 )9xx (4) 22 82615xxyy(5) 2 7()5()2abab 5把下列各式分解因式： (1) 2 33axayxyy(2) 32 8421xxx(3) 2 51526xxxyy (4) 22 414xyxy (5) 432234 abbababa(6) 663 21xyx (7) 2( 1

45、)()xxy xyx 6已知 2 ,2 3 abab，求代数式 2222 2a ba bab的值 7证明：当n为大于 2 的整数时， 53 54nnn能被 120 整除 8已知0abc，求证： 3223 0aa cb cabcb 三、一元二次方程根与系数的关系三、一元二次方程根与系数的关系 二次方程根与系数的关系（韦达定理）在初中已不作要求，高中却没有专门的内容讲 授，但却经常会用到，而且被列为重要内容，需要补充教学。甚至许多学生不能记忆求根公 式，建议用配方法推导二次方程的解，同时复习判别式与实数根的个数关系。并推广到两根 都为正根，都为负根，一正根一负根的等价条件。 一）、一元二次方程的根

46、的判断式一）、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa (1) 当 2 40bac时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2 4 2 bbac x a (2) 当 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2 2 b x a (3) 当 2 40bac时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用 2 4bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况 因此， 把 2 4bac叫 做一元二次方程 2 0 (0)axbxca的根的判别式，表示为： 2 4bac 【例【例 1】不

47、解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 2 2310 xx (2) 2 4912yy(3) 2 5(3)60 xx 解：解：(1) 2 ( 3)4 2 110 ， 原方程有两个不相等的实数根 (2) 原方程可化为： 2 41290yy 2 ( 12)4 4 90 ， 原方程有两个相等的实数根 (3) 原方程可化为： 2 56150 xx 2 ( 6)4 5 152640 ， 原方程没有实数根 说明：说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 【例【例 2】已知关于x的一元二次方程 2 320 xxk，根据下列条件，分别求出k的 范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；

48、(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根 解：解： 2 ( 2)43412kk (1) 1 4120 3 kk；(2) 1 4120 3 kk； (3) 3 1 0124kk；(4) 3 1 0124kk 【例【例 3】已知实数x、y满足 22 210 xyxyxy ，试求x、y的值 解：解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得： 22 (2)10 xyxyy 由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此： 222 (2)4(1)300yyyyy ， 代入原方程得： 2 2101xxx 综上知：1,0 xy 二）、一元二次方程的根与系数的关系二）、一元二次方程的

49、根与系数的关系 一元二次方程 2 0 (0)axbxca的两个根为： 22 44 , 22 bbacbbac xx aa 所以： 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa ， 22222 12 22 44()(4)4 22(2 )4 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 定理：如果一元二次方程 2 0 (0)axbxca的两个根为 12 ,x x，那么： 1212 , bc xxx x aa 说明说明： 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现， 所以通常把此 定理称为”韦达定理” 【例【例 4】若 12 ,x x是方程 2 220070 xx的两个

50、根，试求下列各式的值： (1) 22 12 xx；(2) 12 11 xx ；(3) 12 (5)(5)xx；(4) 12 |xx 分析分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这 里，可以利用韦达定理来解答 解：解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212 2,2007xxx x (1) 2222 121212 ()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x (2) 12 1212 1122 20072007 xx xxx x (3) 121212 (5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx (4) 222 12121212 |()