新高一数学暑假衔接学习第12节《分式不等式和特殊的高次不等式的解法》（含答案）.docx

1、【第【第 12 讲】讲】 分式不等式和特殊的高次不等式的解法分式不等式和特殊的高次不等式的解法 【合作探究】【合作探究】 探究一探究一简单分式不等式的解法简单分式不等式的解法 【例【例 1-1】 解不等式： 0 7 3 x x 【解析】 ：解法 1：化为两个不等式组来解： 0 7 3 x x 07 03 07 03 x x x x 或 x或37x37x ， 原不等式的解集是 37x|x 解法 2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式 组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直 接转化为整式不等式求解 0 7 3 x x

2、 07 0)7)(3( x xx 37x ， 原不等式的解集是 37x|x . 归纳总结归纳总结： （1） 0()()0 axb axb cxd cxd ； 0()()0 axb axb cxd cxd （2） ()()0 0 0 axb cxd axb cxdcxd ； ()()0 0 0 axb cxd axb cxdcxd 【练习练习 1-1】解下列不等式： (1) 23 0 1 x x (2) 2 3 0 1 x xx 【解析】：（1）原不等式可化为： 3 (23)(1)01 2 xxx ，所以原不等式的解 集为 3 | 1 2 xx (2) 22 13 1()0 24 xxx ，原不

3、等式可化为： 303xx ，所以原不等 式的解集为 | 3x x 【例【例 1-2】解不等式 1 3 2x 【解析】：原不等式可化为： (35)(2)0 135355 30002 202223 xx xx xx xxxx 或 ，所以原不等式的解集为 5 |2 3 x xx 或 【练习练习 1-2】解下列不等式 （1） 5 1 x （2） 21 3 2 x x 【解析】 ：（1） 5 0(5)005 x x xx x ， 所以原不等式的解集为 |0 5xx （2） 21 30 2 x x 7 072 2 x x x ， 所以原不等式的解集为 | 7 2xx 探究二探究二简单的高次不等式的解法简单

4、的高次不等式的解法 【例【例 2-1】解不等式：( 1)(2)(3)0 xxx ； 解法一（列表法） ：检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为： 2 ，1，3； 列表如下： -213 x+2-+ x-1-+ x-3-+ 各因式积-+-+ 由上表可知，原不等式的解集为： | 2 13xxx 或 归纳总结归纳总结：此法叫列表法，解题步骤是： 将不等式化为 12 ()()()0( 0) n xxxxxx 形式（各项x的系数化为正数） ，令 12 ()()()0 n xxxxxx ，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数 轴分成两部分，n个分界点把数轴分成 1n 部分； 按各根把实

5、数分成的 1n 部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小 根的因式开始依次自上而下排列） ； 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； 看下面各因式积的符号写出不等式的解集 解法二解法二： （穿根法）（穿根法） ( 1)(2)(3)0 xxx 的根是 2 ，1，3，在数轴上表示这三个数， 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点 若不等式（x的系数化“+”后）是“ 0”，则找“线”在x轴上方的区间； 若不等式是“0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”， 则找“线”在x轴下方的区间 注意：奇穿偶不穿 【例例 2-2】解不等式： 23 (2) (3) (1)0 xxx 【

6、解析】 ：检查各因式中 x 的符号均正； 求得相应方程的根为： 1 ，2，3（注意：2 是二重根，3 是三重根） ； 在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上右上方开始） ，如下图： 原不等式的解集为： | 1 23xxx 或2 . 归纳总结归纳总结：3 是三重根，在 C 处穿三次，2 是二重根，在 B 处穿两次，结果相当于没 穿.由此看出，当左侧 f(x)有相同因式 1 ()nxx 时，n为奇数时，曲线在 1 x 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在 1 x 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” 【练习练习 2-1】解不等式： 2 (3)(1)(44)0 xxxx 【解析】 ： ：将原

7、不等式化为： 2 (3)(1)(2)0 xxx ； 求得相应方程的根为： 2 （二重） ， 1 ，3； 在数轴上表示各根并穿线，如图： 原不等式的解集是 | 1 32xxx 或 归纳总结归纳总结：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2 点，但 x=-2 满足“=”的条件，不能漏掉 【练习练习 2-2】解不等式 （1） 3 2x x （2） 22 (712)(6)0 xxxx （3） 3 1 0 (2)(3) x xx 【解析】：（1） 2 23 0 xx x (1)(3)0 x xx103xx 或 ， 所以原不等式的解集为 | 103x xx 或 （2）(

8、3)(2)(3)(4)0 xxxx ， 所以原不等式的解集为 | 3234x xxx 或或 （3） 2 (1)(1) 0 (2)(3) xxx xx (2)(1)(3)0 23 xxx xx 且 所以原不等式的解集为 | 2 13xxx 或 【课后作业】【课后作业】 1解下列不等式： （1） 2 (2) (3) 0 1 xx x （2） 2 (2) (3) 0 1 xx x （3） 2 (2) (5) 0 4 xx x （4） 23 (2) (3) 0 1 xx x （5） 2 2 (5)(3) 0 (1) (2) xx xx 2解下列不等式： (1) 2 2 231 0 372 xx xx

9、（2） 31 1 3 x x （3） 2 2 237 1 2 xx xx （4） 11 11 xx xx 3解下列不等式： 2 (12)()0 xxxa 【参考答案】【参考答案】 1（1） | 1223xxx 或 （2） | 13xx （3） |245x xx或 （4） | 1 223xxx 或 （5） |2 5xx 2 （1） 11 |12 23 x xxx 或或 （2）( 2,3) （3） | 5112x xxx 或或 （4） | 1 01xxx 或 3解：( 3)(4)()0 xxxa 44( 3,4)(,)aaa 当，即时，解集为； 3443( 3,)(4,)aaa 当，即时，解集为； 33(, 3)(4,)aaa 当，即时，解集为； 44( 3,)aa 当，即时，解集为； 33(4,)aa 当，即时，解集为