初高中数学衔接教材12讲配答案.doc

1、初高中数学衔接教材初高中数学衔接教材 1212 讲讲 编者的话编者的话 高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高 中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。 现有初高中数学教材存在以下“脱节” ： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分解，对系数不为 1 的 涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用 到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有

2、理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函 数、不等式常用的解题技巧； 5 初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材 的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围） 、解二次不等式、判断单调区间、求 最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不 作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的 相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数

3、时，则作为必备的基本 知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题 内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和定理（平行线等分 线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没 有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化， 甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。初中毕业

4、生以 较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，学习成绩大幅度下降，出现了严重的两 极分化，心理失落感很大，过去的尖子生可能变为学习后进生，甚至，少数学生对学习失去 了信心。初中数学教学内容作了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和 新教材的教学，使高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得 原来的矛盾更加突出。高中教材从知 识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和 联系上注重逻辑性，且数学语言抽象程度发生了突变，教材叙述比较严谨、规范而抽象。知 识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、 容量多”的特点。

5、其次，初中难度降低，有中考试卷的难度降低作保障；而高中由于受高考 的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度并没有降低。 因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而 加大了。如现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低 了，那些在高中学习中经常应用到的知识，如十字相乘法、分组分解法等内容，都转移到高 一阶段补充学习。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点，但却加重了高一数学的份 量。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教 师所讲例题类型，一般均可对号入座取得中考好成绩。而高考要求则不同

6、，有的高中教师往 往用高三复习时应达到的类型和难度来对待高一教学，造成了轻过程、轻概念理解、重题量 的情形，造成初、高中教师教学方法上的巨大差异，中间又缺乏过渡过程，至使新生普遍适 应不了高中教师的教学方法。 高中许多知识仅凭课堂上听懂是远远不够的，还需要认真消化。这就要求学生具有较强 的阅读分析能力和自学理解能力。因此，在初、高中数学教学衔接中，教师要有意识地指导 学生阅读数学课本，通过编拟阅读提纲，帮助学生理解和掌握数学概念，对某些简单章节内 容的教学，可组织阅读讨论，以培养学生的自学理解能力以及独立钻研问题的良好习惯，引 导学生主动参与观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生

7、形成有效的学习 策略。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我 们会不断的研究新课程及其体系， 将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足， 加以补充和完善。 我们的目标是使所有的学生在努力之后，都能摘到相应的果实，所以我们要不惜时间与 精力，进行初高中数学教学的衔接，让“衔接教学”更好地为高一新生铺设一条成功的路。 南侨中学高一数学备课组 目录目录 第一章数与式 1.1数与式的运算 1.1.1乘法公式3 1.1.2分式4 1.2分解因式5 第二章二次方程、二次函数与二次不等式 2.1一元二次方程 2.1.1根的判别式 11 2.1.2根与系数的关

8、系 13 2.2二次函数 2.2.1二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 19 2.2.2二次函数的三种表达方式 25 2.3一元二次不等式的解法 28 第三章相似形、三角形 3.1相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理33 3.1.2相似三角形形的性质与判定36 3.2三角形 3.2.1三角形的四心、40 3.2.2几种特殊的三角形43 课后练习与习题答案46 1.11.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1.1.1 1乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb。 我

9、们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 例 1计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx。 解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx= 6 1x 。 解法二：原式= 22 (1)(1)(1

10、)(1)xxxxxx= 33 (1)(1)xx= 6 1x 。 例 2已知4abc，4abbcac，求 222 abc的值。 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac。 练习： 1填空： （1） 22 1111 () 9423 abba（） ； （2）(4m 22 )164(mm)； (3) 2222 (2)4(abcabc)。 2选择题： （1）若 2 1 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于（） A、 2 mB、 2 1 4 mC、 2 1 3 mD、 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab的值（） A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正

11、数也可以是负数 1.1.1.1.2 2分式分式 1分式的意义：形如 A B 的式子，若B中含有字母，且0B ，则称 A B 为分式。 当M0 时，分式 A B 具有下列基本性质： AA M BBM ； AAM BBM 。 2繁分式：像 a b cd ， 2 mnp m np 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。 例 1若 54 (2)2 xAB x xxx ，求常数,A B的值。 解： (2)()254 2(2)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x ， 5, 24, AB A 解得 3 2 B A 。 例 2（1）试证： 111 (1)1n nnn （其中

12、n是正整数） ； （2）计算： 111 1 22 39 10 ； （1）证明： 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n ， 111 (1)1n nnn （其中n是正整数）成立。 （2）解：由（1）可知 111 1 22 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 10 。 练习： 1.对任意的正整数n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2计算： 1111 1 32 43 59 11 。 1 12 2分解因式分解因式 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应 了解求根法及待定系数法。 1、提取公因式法 例 1

13、分解因式： （1）baba55 2 （2） 32 933xxx 解： （1）baba55 2 =5b5 2 aba=) 1)(5(aba （2） 32 933xxx= 32 (3)(39)xxx= 2( 3)3(3)xxx= 2 (3)(3)xx。 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx 练习： 一、填空题：1、多项式xyzxyyx426 22 中各项的公因式是_。 2、 yxxynyxm_。 3、 222 yxxynyxm_。 4、 zyxxzynzyxm_。 5、zyxzyxzyxm

14、_。 6、 52362 3913xbaxab分解因式得_。 7计算99992= 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、baababba242 22 （）2、bammbmam（） 3、5231563 223 xxxxxx（）4、1 11 xxxx nnn （） 2、公式法 例 2分解因式： （1）16 4 a（2）2 2 23yxyx 解：(1)16 4 a=)2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa (2)2 2 23yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx 练习 一、 22 2baba， 22 ba ， 33 ba 的公因式是

15、_。 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 01. 0 9 4 2 2 2 xxxx（） 2、babababa43 434389 22 22 （） 3、bababa45 451625 2 （） 4、yxyxyxyx 2222 （） 5、cbacbacba 2 2 （） 五、把下列各式分解 1、2 2 9nmnm2、 3 1 3 2 x 3、 2 2 244xx4、12 24 xx 3、分组分解法 例 3分解因式： （1）xyxyx33 2 （2） 22 2456xxyyxy。 解： （1）（）（）（）（）（）（3

16、-xy-xy-x3y-xx3333 22 xyxyxxyxyx 或）（）（）（）（）（）（y-x3x3xy3xx3xy333 22 yxxxyxyx （2） 22 2456xxyyxy= 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy。 或 22 2456xxyyxy= 22 (2)(45 )6xxyyxy=(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy。 练习： 用分组分解法分解多项式 （1）byaxbayx22 2222 （2）912644 22 bababa 4、十字相乘法 例 4 分解因式： （1） 2 x3x2；（2） 2

17、 x4x12； （3） 22 ()xab xyaby； （4）1xyxy 。 解： （1）如图 111，将二次项x 2分解成图中的两个 x的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x 23x2 中的一次项，所 以，有 2 x3x2(x1)(x2)。 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个x用 1 来表示（如图 112 所示） 。 （2）由图 113，得 2 x4x12(x2)(x6)。 （3）由图 114，得 22 ()xab xyaby()()xay xby （4）1xyxy xy(xy)1(x1) (y+1)

18、 （如图 115 所示） 。 练习 一、填空题：1、把下列各式分解因式： （1）65 2 xx_。 （2）65 2 xx_。 （3）65 2 xx_。 （4）65 2 xx_。 （5）axax1 2 _。 （6）1811 2 xx_。 （7）276 2 xx_。 （8）9124 2 mm_。 （9） 2 675xx_。 （10） 22 612yxyx_。 2、 3 4 2 xxxx 3、若42 2 xxbaxx则 a， b。 二、选择题： （每小题四个答案中只有一个是正确的） 1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114 1

19、 1 x y 图 115 1、 在多项式 （1）67 2 xx（2）34 2 xx（3）86 2 xx（4）107 2 xx， （5）4415 2 xx 中，有相同因式的是（） A、只有（1） （2）B、只有（3） （4） C、只有（3） （5）D、 （1）和（2） ； （3）和（4） ； （3）和（5） 2、分解因式 22 338baba得（） A、3 11aaB、baba3 11C、baba3 11D、baba3 11 3、208 2 baba分解因式得（） A、2 10babaB、4 5baba C、10 2babaD、5 4baba 4、若多项式axx3 2 可分解为bxx5，则a、b

20、的值是（） A、10a，2bB、10a，2bC、10a，2bD、10a，2b 5、若bxaxmxx 10 2 其中a、b为整数，则m的值为（） A、3或9B、3C、9D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、321126 2 pqqp2、 223 65abbaa 3、642 2 yy4、82 24 bb 5、关于x的二次三项式 2 ax+bx+c(a0)的因式分解。 若关于x的方程 2 0(0)axbxca的两个实数根是 1 x、 2 x， 则二次三项式 2 (0)axbxc a就可分解为 12 ()()a xxxx。 例 5把下列关于x的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx； （2） 2

21、2 44xxyy。 解： （1）令 2 21xx=0，则解得 1 12x ， 2 12x ， 2 21xx=( 12)( 12)xx =(12)(12)xx 。 （2）令 22 44xxyy=0，则解得 1 ( 22 2)xy ， 1 ( 22 2)xy ， 22 44xxyy=2(12) 2(12) xy xy。 练习 1选择题：多项式 22 215xxyy的一个因式为（） （A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy 2分解因式： （1）x 26x8 （2）8a 3b3 （3）x 22x1 （4）4(1)(2 )xyy yx 习题 12 1分解因式： （1） 3 1a = （2） 4

22、2 4139xx； （3） 22 222bcabacbc； （4） 22 35294xxyyxy。 2在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx；（2） 2 2 23xx； （3） 22 34xxyy；（4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx。 3分解因式： 2 xx(a 2a)。 2.12.1一元二次方程一元二次方程 2.1.12.1.1 根的判别式根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)032 2 xx；(2)012 2 xx；(3)032 2 xx。 用配方法可把一元二次方程 2 axbxc0（a0）变为 2 2 2 4 ()

23、24 bbac x aa a0，4a 20。于是 （1）当b 24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数 根 2, 1 x 2 4 2 bbac a ； （2）当b 24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等 的实数根 1 x 2 x 2 b a ； （3）当b 24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左 边 2 () 2 b x a 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。 由此可知，一元二次方程 2 axbxc0（a0）的根的情况可以由b 24ac 来判定， 我们把b 24ac 叫做一元二次方程 2 axbxc0 （a0）的根的判别式，通常用符号

24、“” 来表示。 综上所述，对于一元二次方程 2 axbxc0（a0） ，有 （1）当0 时，方程有两个不相 2 axbxc0 等的实数根 2, 1 x 2 4 2 bbac a ； （2）当0 时，方程有两个相等的实数根， 1 x 2 x 2 b a ； （3）当0 时，方程没有实数根。 例 1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数） ，如果方程有实数根，写出方 程的实数根。 （1） 2 x3x30；（2） 2 xax10； （3） 2 xax(a1)0；（4） 2 x2xa0。 解： （1）3 241330，方程没有实数根。 （2）该方程的根的判别式a 241(1)a240，所以方程一

25、定有两个不等的 实数根 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x 。 （3）由于该方程的根的判别式为a 241(a1)a24a4(a2)2， 所以，当a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21； 当a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1。 （4）由于该方程的根的判别式为2 241a44a4(1a)，所以 当0，即 4(1a) 0，即a1 时，方程有两个不相等的实数根 1 11xa ， 2 11xa ； 当0，即a1 时，方程有两个相等的实数根x1x21； 当0，即a1 时，方程没有实数根。 说明： 在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着a的

26、取值的变化而变化，于是，在解题 过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运 用这一方法来解决问题。 2.1.22.1.2根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 2 axbxc0（a0）有两个实数根 a2 ac4bb x 2 21 ， 则有 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa ； 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc x x aaaaa 。 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 2 axb

27、xc0（a0）的两根分别是 1 x, 2 x，那么 1 x+ 2 x b a ， 21 xx c a 。这 一关系也被称为韦达定理。 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程x 2p xq0，若 1 x, 2 x是其两根，由韦 达定理可知， 1 x+ 2 xp， 21 xx q，即p( 1 x+ 2 x)，q 21 xx ， 所以，方程 2 xpxq0 可化为 2 x( 1 x+ 2 x)x 21 xx 0，由于 1 x, 2 x是一元二次方 程x 2pxq0 的两根，所以，x 1，x2也是一元二次方程 2 x( 1 x+ 2 x)x 21 xx 0。因此有 以两个数 1 x, 2 x为根

28、的一元二次方程（二次项系数为 1）是 2 x( 1 x+ 2 x)x 21 xx 0。 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k的值为7。 例 2 已知方程 2 560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及k的值。 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出 另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的 一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两 根之和求出k的值。 解法一：2 是方程的一个根，52 2k260，k7。 所以，方程就为 5x 27x60，解得 1 x2， 2 x 3 5 。

29、 解法二：设方程的另一个根为 2 x，则2 2 x 6 5 ， 2 x 3 5 。 由（ 3 5 ）2 5 k ，得k7。所以，方程的另一个根为 3 5 ，k的值为7。 例 3 已知关于x的方程 2 x2(m2)xm 240 有两个实数根， 并且这两个实数根的平 方和比两个根的积大 21，求m的值。 分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于m的方 程，从而解得m的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此， 其根的判别式应大于零。 解：设 1 x, 2 x是方程的两根，由韦达定理，得 1 x+ 2 x2(m2)， 21 xx m 24。

30、2 1 x 2 2 x 21 xx 21，( 1 x+ 2 x) 23 21 xx 21， 即2(m2) 23(m24)21，化简，得 m 216m170，解得 m1，或m17。 当m1 时，方程为 2 x6x50，0，满足题意； 当m17 时，方程为 2 x30 x2930，30 2412930，不合题意，舍去。 综上，m17。 说明： （1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范 围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出m的值，取满足条件的m的值 即可。 （2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是 否大于或大于零

31、。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。 例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数。 分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利 用韦达定理转化出一元二次方程来求解。 解法一：设这两个数分别是x，y，则 ）（ ）（ 2-12xy 14yx 解得： 1 1 2, 6, x y ， 2 2 6, 2. x y 因此，这两个数是2 和 6。 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根。 解这个方程，得 1 x2， 2 x6。所以，这两个数是2 和 6。 说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解

32、法一简捷。 例 5若 1 x和 2 x分别是一元二次方程 2 2 x5x30 的两根。 （1）求| 1 x 2 x|的值；（2）求 22 12 11 xx 的值；（3） 3 1 x 3 2 x。 解： 1 x和 2 x分别是一元二次方程 2 2 x5x30 的两根， 12 5 2 xx ， 12 3 2 x x 。 （1） | 1 x 2 x| 2x 1 2+ x2 22 21 xx ( 1 x+ 2 x) 24 21 xx 2 53 ()4 () 22 25 4 6 49 4 ， | 1 x- 2 x| 7 2 。 （2） 2 222 121212 22222 2 121212 5325 (

33、)2 ()3 ()21137 224 39 ()9 () 24 xxxxx x xxxxx x 。 （3） 3 1 x 3 2 x( 1 x+ 2 x 2)( 2 1 x 21 xx 2 2 x)( 1 x+ 2 x) ( 1 x+ 2 x) 23 21 xx ( 5 2 )( 5 2 ) 23( 3 2 ) 215 8 。 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一 个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程 2 axbxc0（a0） ， 则 2 1 4 2 bbac x a ， 2 2 4 2 bbac x a ，

34、 | 1 x- 2 x| 222 4424 222 bbacbbacbac aaa 2 4 | bac aa 。 于是有下面的结论： 若 1 x和 2 x分别是一元二次方程 2 axbxc0 （a0） ， 则| 1 x- 2 x| |a （其中b24ac） 。 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。 例 6若关于x的一元二次方程 2 xxa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a的取值范围。 解：设 1 x, 2 x是方程的两根，则 21 xx a40，且(1) 24(a4)0。 由得a4，由得a17 4 。a的取值范围是a4。 练 习 1.选择题： （1）方

35、程 22 2 330 xkxk的根的情况是（） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根 （2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值 范围是（） （A）m 1 4 （B）m 1 4 （C）m 1 4 ，且 m0（D）m 1 4 ，且 m0 2填空: （1）若方程 2 x3x10 的两根分别是x1和x2，则 12 11 xx 。 （2）方程mx 2x2m0（m0）的根的情况是 。 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是。 3.若 2 816|1| 0aab， 当k取何值时， 方程k 2 xaxb0有

36、两个不相等实数根？ 4已知方程 2 x3x10 的两根为 1 x和 2 x，求( 1 x3)( 2 x3)的值。 习题 2.1 A 组 1选择题:（1）已知关于x的方程 2 xkx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（） （A）3（B）3（C）2（D）2 （2）下列四个说法：其中正确说法的个数是（）个（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 方程 2 x2x70 的两根之和为2，两根之积为7； 方程 2 x2x70 的两根之和为2，两根之积为 7； 方程 3 2 x70 的两根之和为 0，两根之积为 7 3 ； 方程 3 2 x2x0 的两根之和为2，两根之积为 0。 （3）关于x的一元二次方

37、程a 2 x5xa 2a0 的一个根是 0，则 a的值是（） （A）0（B）1（C）1（D）0，或1 2填空:（1）方程k 2 x4x10 的两根之和为2，则k。 （2）方程 2x 2x40 的两根为，则22 。 （3）已知关于x的方程 2 xax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是。 （4）方程 2 2 x2x10 的两根为x1和x2，则|x1x2|。 3试判定当 m 取何值时，关于x的一元二次方程 2 m 2 x(2m1)x10 有两个不相 等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数。 B组 1 选择题:若关于x的

38、方程 2 x(k 21) xk10 的两根互为相反数， 则k的值为 （） （A）1，或1（B）1（C）1（D）0 2 填空: （1） 若m，n是方程 2 x2005x10 的两实数根， 则m 2nmn2mn 的值等于。 （2）若a，b是方程 2 xx10 的两个实数根，则代数式a 3a2bab2b3 的值 是。 3已知关于x的方程 2 xkx20。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方 程的两根为x1和x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围。 4一元二次方程a 2 xbxc0（a0）的两根为x1和x2。求： （1）|x1x2|和 12 2 xx ； （2）x1 3

39、x 2 3。 5关于x的方程 2 x4xm0 的两根为x1，x2满足|x1x2|2，求实数m的值。 C组 1.选择题： （1） 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2 2 x8x70 的两根， 则这个直 角三角形的斜边长等于（）（A）3（B）3（C）6（D）9 （2）若x1，x2是方程 2 2 x4x10 的两个根，则 12 21 xx xx 的值为（） （A）6（B）4（C）3（D） 3 2 （3）如果关于x的方程 2 x2(1+m)xm 20 有两实数根，则的取值范围为 （） （A） 1 2 （B） 1 2 （C）1（D）1 （4） 已知a，b，c是ABC的三边长， 那么方程c 2

40、 x(ab)x 4 c 0 的根的情况是 （） （A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根 2.填空：若方程 2 x8xm0 的两根为x1，x2，且 3x12x218，则m。 3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程 4k 2 x4kxk10 的两个实数根。 （1）是否存 在实数k，使(2x1x2)(x12x2) 3 2 成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使 12 21 xx xx 2 的值为整数的实数k的整数值； （3）若k2， 1 2 x x ，试求的 值。 4已知关于x的方程 2 2 (2)0 4 m xmx。 （1）

41、求证：无论m取什么实数时，这个方 程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|x1|2，求m的值 及相应的x1，x2。 5若关于x的方程 2 xxa0 的根一个大于 1、另一根小于 1，求实数a的取值范围。 2 22 2二次函数二次函数 2.2.12.2.1二次函数二次函数y yaxax 2 2 bxbxc c的图的图象象和性质和性质 情境设置： 可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象， 如作图 （1） 2 xy (2) 2 xy (3)32 2 xxy教师可采用计算机绘图软件辅助教学 问题 1函数ya 2 x与y 2 x的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一

42、问题，我们可以先画出y2 2 x，y 1 2 2 x，y2 2 x的图象，通过这些函 数图象与函数y 2 x的图象之间的关系，推导出函数ya 2 x与y 2 x的图象之间所存在的关 系。 先画出函数y 2 x，y2 2 x的图象。 先列表： x3210123 2 x9410149 2 2 x188202818 从表中不难看出，要得到 2x 2的值，只要把相应的 x 2的值扩大到两倍就可以了。 图 2.2-2 x y O 1 y2x2 y2(x1)2 y2(x1)21 yx2 y2x2 图 2.2-1 x O y 再描点、连线，就分别得到了函数y 2 x，y2 2 x的图象（如图 21 所示）

43、，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2 2 x的图象可以由函数yx 2的图象各点 的纵坐标变为原来的两倍得到。 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y 1 2 2 x，y2 2 x的图象，并研究这两个 函数图象与函数y 2 x的图象之间的关系。 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数ya 2 x(a0)的图象可以由yx 2的图象各点的纵坐标变为原来的 a倍得到。 在二次函数ya 2 x(a0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的 开口的大小。 问题 2函数ya(xh) 2k 与ya 2 x的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个

44、特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们 可以作出函数y2(x1) 21 与 y2 2 x的图象（如图 22 所示） ，从函数的图象我们不难 发现，只要把函数y2 2 x的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2(x1) 21 的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点。 类似地，还可以通过画函数y3 2 x，y3(x1) 21 的图象，研究它们图象之间的 相互关系。 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数ya(xh) 2k(a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了 二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”

45、；k决定了二次函数图象的上下平移， 而且“k正上移，k负下移”。 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数ya 2 xbxc(a0)的图象的方法： 由 于ya 2 xbxca( 2 x b x a ) ca( 2 x b x a 2 2 4 b a ) c 2 4 b a 2 2 4 () 24 bbac a x aa ， 所以，ya 2 xbxc(a0)的图象可以看作是将函数ya 2 x的图象作左右平移、上下 平移得到的，于是，二次函数ya 2 xbxc(a0)具有下列性质： （1）当a0 时，函数ya 2 xbxc图象开口向上；顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ，对 称轴为直

46、线x 2 b a ；当x 2 b a 时，y随着x的增大而减小；当x 2 b a 时，y随着x的增 大而增大；当x 2 b a 时，函数取最小值y 2 4 4 acb a 。 （2）当a0 时，函数ya 2 xbxc图象开口向下；顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ， 对称轴为直线x 2 b a ；当x 2 b a 时，y随着x的增大而增大；当x 2 b a 时，y随着x 的增大而减小；当x 2 b a 时，函数取最大值y 2 4 4 acb a 。 上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来。因此，在 今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用

47、数形结合的思想方法来解决问题。 例 1求二次函数y3 2 x6x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或 最小值） ，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象。 解：y3 2 x6x13(x1) 24， 函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)； 当x1 时，函数y取最大值y4； 当x1 时，y随着x的增大而增大；当x1 时，y随着x的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B 2 33 (,0) 3 和C 2 33 (,0) 3 ， 与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示） 。 说明：从这个例

48、题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键 点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。 函数ya 2 xbxc图象作图要领： 确定开口方向：由二次项系数 a 决定。 确定对称轴：对称轴方程为 a b x 2 x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa 图 2.2-3 x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa 图 2.2-4 xO y x1 A(1,4) D(0,1) BC 图 2.25 确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可由方程 2 xbxc=0 求出若=0 则与 x 轴有一个交点，可由

49、方程x 2bxc=0 求出若0 则与 x 轴有无 交点。 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（0，c） 由以上各要素出草图。 练习： 作出以下二次函数的草图： （1）6 2 xxy(2)12 2 xxy(3)1 2 xy 例 2某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售 量y（件）之间关系如下表所示： 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的 销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润日销售量y(销售价x120)，日销售量y又是销售价x的一 次函数，所以，欲求每

50、天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的 函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。 解：由于y是x的一次函数，于是，设 ykxb，将x130，y70；x150，y50 代 入方程，有 70130, 50150, kb kb 解得 200b 1k 。yx200。 设每天的利润为z（元） ，则z(x+200)(x120)x 2320 x24000 (x160) 21600， 当x160 时，z取最大值 1600。 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元。 例 3把二次函数y 2 xbxc的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个