新高一数学暑期衔接班教材（教师版）.docx

1、目录 第一章前言.1 第二章衔接补充.3 2.1 数与式.3 2.1.1 乘法公式.3 2.1.2 因式分解.8 2.1.3 分式与根式.12 2.2 方程与方程组以及不等式.17 2.2.1 韦达定理.17 2.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组.22 2.2.3 不等式.26 第三章学习新知.29 3.1 集合.29 3.1.1 集合的基本概念.29 3.1.2 集合的基本性质.29 3.1.3 集合的表示方法.30 3.1.4 集合间的基本关系.32 3.1.5 集合间的基本运算.34 3.2 常用逻辑用语.40 3.2.1 充分条件、必要条件、充要条件.40 3.2.2 全称量词

2、与存在量词.42 3.3 函数的概念与性质.45 3.3.1 函数的概念.45 3.3.2 函数的表示法.47 3.3.3 分段函数的应用.47 3.3.4 函数的图象.49 3.3.5 函数的定义类问题.51 3.3.6 函数值域的求法.52 3.3.7 恒成立问题.54 第一章第一章前言前言 首先， 恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习， 同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个 更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高 中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨知识体系更严谨”、 “考查方式更灵活考查方式更灵活”、“数学

3、思想更重要数学思想更重要”。 高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、 关联性更强， 这就要求我们需要有“举一反三举一反三”、 “化繁为简化繁为简”、“知识迁移知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会 上述所讲的各类名词的具体含义。 下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学 习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。 “数形结合思想数形结合思想”、“分类与整合思想分类与整合思想”、“特殊与一般思想特殊与一般思想”、“函数与方程思想函数与方程思想” 接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。 引例

4、1：bkxy是什么？ x k y 是什么？cbxaxy 2 又是什么？ 答案：答案：对于bkxy 可能是一条直线，但有多种 轴的直线是一条平行于 从几何的角度看 是一次函数的解析式 是常数函数的解析式 从代数的角度看 bkxyk xbyk bkxyk byk 0 0 0 0 对于 x k y 能是双曲线，但有两种可 轴的直线是一条重合于 从几何的角度看 此分式无意义 是反比例函数的解析式 是常数函数的解析式 从代数的角度看 x k yk xyk x x k yk yk 0 00 0 0 00 cbxaxy 2 同理，限于篇幅不在此继续分析。 引例 1 体现了数形结合、分类与整合、特殊与一般数形

5、结合、分类与整合、特殊与一般的数学思想，体现了举一反三举一反三的学习技 巧。 引例 2：设cba,为均为正数，且bc ，证明：bcbaca 2222 答案：答案：特殊情况：观察易得当特殊情况：观察易得当cb 时，不等式取等时，不等式取等 一般情况：可用代数和几何意义解决，我们着重讲解几何意义一般情况：可用代数和几何意义解决，我们着重讲解几何意义 易得 22 22 , caAD baBD cACbBCaCD ABBDAD bcbaca 2222 综上两种情况，可得综上两种情况，可得bcbaca 2222 引例 2 体现了特殊与一般、数形结合特殊与一般、数形结合的数学思想，体现了化繁为简化繁为简的

6、学习技巧。 *思考题：设cba,为均为正数，求证：bcbaca 2222 本题与引例 2 有什么不同？做一做并体会其中奥妙 解析：解析：bc,由于大小关系不确定，所以需要引入绝对值保持该式仍然成立。由于大小关系不确定，所以需要引入绝对值保持该式仍然成立。 第二章第二章衔接补充衔接补充 2.1 数与式数与式 2.1.1 乘法公式乘法公式 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便， 初中我们主要学习了两个基本乘法公式： 平方差公式：平方差公式： 22 )(bababa 完全平方公式：完全平方公式： 222 2)(baba

7、ba 在初中阶段我们常要求掌握上述 2 个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推 广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例 2 的思想来研究上述公式的几何维度解析。 你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？ 例 1：利用几何图形证明当0,ba时， 222 2)(bababa 解析解析： 由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子： abbaba abbaba 4)()( 2)( 22 222 ，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换 在高中数学当中是一个非常重要的工具。 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 高中代数部分是以函数为主线展

8、开学习的， 为研究函数的性质， 需要同学们具有很强的 代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼： 完全立方和公式完全立方和公式： 33223 ()33abaa babb 完全立方差公式完全立方差公式： 33223 ()33abaa babb 公式、 我们统称为完全立方公式， 我们能否由完全立方和与完全立方差完全立方和与完全立方差的公式得到 立方和与立方差立方和与立方差的公式呢？ 立方和公式：立方和公式：)( 2233 babababa 立方差公式：立方差公式：)( 2233 babababa 最后，我们再填补三数平方和的公式： 三数平方和：三数平方和：)(2)

9、( 2222 acbcabcbacba 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：观察下列算式： 813 22 1635 22 2457 22 3279 22 （1）按照上述规律续写 2 个式子； （2）用文字反应出上述式子的规律； （3）证明你所发现规律的正确性； 答案答案：（1）40911 22 481113 22 （2）任意相邻奇数之差为任意相邻奇数之差为 8 的倍数的倍数（本题是大本题是大 数减小数）数减小数） （3）nnn8) 12() 12( 22 例 2：观察下列算式： 712 33 1923 33 3734 33 6145 33 （1）按照上述规律续写两个式子； （2）求 3

10、333 2017201820192020 答案：（答案：（1）9156 33 12767 33 （2）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。 133) 1( 233 aaaa 则有：则有： 24222 )20172019(3)20172019(3 ) 12017320173(12019320193 )20172018()20192020(2017201820192020 22 22 33333333 例 3：若1, 0bcacabcba （1）求 222 cba； （2）求 444 cba； 答案：（答案：（1）2)(

11、2)( 2222 bcacabcbacba （2）)(2)( 2222222222444 cbcabacbacba 其中其中1)(2)( 2222222 cbaabcbcacabcbcaba 将将带入带入式得式得2 444 cba 例 4：已知013 2 xx，求 3 3 1 x x 的值。 答案：答案：) 1 (3) 1 ( 3 3) 1 ( 1 33 3 3 x x x x x x x x x x 由由3 1 013 2 x xxx 所以所以18 1 3 3 x x 例 5：证明：函数 3 xy 中y与x具有相同的增减性 答案：要证答案：要证y与与x具有相同的增减性具有相同的增减性当当 1

12、2 xx 时，时， 12 yy 故设故设 12 xx ，则，则 0 4 3 ) 2 1 ( 4 3 4 1 )( 2 1 2 12 2 1 2 121 2 2 2 121 2 2 2 121 2 212 3 1 3 212 xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxyy 而 所以0)( 2 121 2 21212 xxxxxxyy 例 6：设6 1 ,) 1 ( 3 33 n ny n nx，则对于任意的0n，x与y的大小关系为（） A.yx B.yx C.yx D.yx 答案：答案：0) 1 (3)2 1 (3 22 n n n nyx 在本题中得出一个重要结论在本题中得出一个重要结论 由本

13、题，2 1 , n nRn当我们可以引出高中乃至高考的重点知识： 基本不等式：基本不等式： abbaRba2, 则若或 4 )( 2 ba ab 初步认识“对勾函数” x xy 1 在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！ 课后习题课后习题 1、已知169 22 qp，7qp，则pq 2、三角形的三边满足abcbca22 22 ，则该三角形的形状为_等腰_ 3、0444)( 2 yxyx，则1024)( 10 yx 4、已知： )( )( )( 322344 2233 22 yxyyxxyxyx yxyxyxyx yxyxyx ，

14、 则)( 122321 nnnnnnn yxyyxyxxyxyx 5、当 3 3x时，计算24 1 ) 1 24)( 1 2( 32 2 xx x x x 6、11993199119922 7、已知xt 2 )58(，求100)68)(48(xtt 8、已知20182019 ta，20192019 tb，20202019 tc， 则3 222 bcacabcba 9、已知10 yx且100 33 yx，则代数式40 22 yx 10、函数 x xx y 132 2 在0 x时的最小值为223 解析：解析：2233 1 2 x xy 11、已知nm,均为正数，且1nm，则 nm 23 的最小值为

15、625 解析：解析：625 23 5)( 23 ( 23 n m m n nm nmnm *12、函数)0( 1042 1 2 x xx x y的最大值为 8 1 解析：取倒，解析：取倒，8 1 8 ) 1(2 1 8) 1(2 1 10421 22 x x x x x xx y 故故 8 1 y（此题不考虑最小值）（此题不考虑最小值） 2.1.2 因式分解因式分解 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 把一个多项式化为几个整式乘积的形式， 叫做因式分解。 初中阶段我们常用的两种因式 分解方法有： 方式方式：提取公因式法：提取公因式法)(bambmam 方式方式：公式法：公式法 )( )

16、( )(2 2233 22 222 babababa bababa bababa 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法： 方式方式：分组分解法：分组分解法 )( )()( nmyx nyxmyx ynxnymxm 我们知道形如pqxqpx)( 2 这样的二次三项式可以分解为)(qxpx，它的 特点是二次项系数为 1，常数pq与一次项系数qp可以通过“十字相乘，乘积相加”的方 式建立联系，得到)()( 2 qxpxpqxqpx。这种方法能推广到更深层次吗？ 下面来看二次三项式abxnambmnx)( 2 ，将二次项系数mn与常数项ab建立十 字形式

17、： 我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数namb，从而我们有 方式方式：十字相乘法：十字相乘法)()( 2 bnxamxabxnambmnx *方式方式：大除法：大除法 我们引入这样一个问题：求方程0232 23 xxx的解 显然，由观察得出1x是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面 形式： 232 23 xxx_)2)(_1( 2 xxx，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们 介绍大除法： 2 2321 2 23 xx xxxx 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：分解因式 （1）) 1)(32(32 2 xxxx （2）)32)(12(344 2 xxx

18、x 例 2：分解因式 （1）)2)(1(2)()( 22222 xxxxxxxx （2）)4)(2(82 22 yxyxyxyx （3）)2)(3(632 2 yxxyxxyx （4）)4)(1(43 23 xxxxx 例 3：已知n是正整数，且10016 24 nn是质数，求n的值 解析：质数解析：质数只能分解为只能分解为 1 和本身之积，所以首先需要对其进行因式分解和本身之积，所以首先需要对其进行因式分解 )610)(610(36)10(361002010016 222222424 nnnnnnnnnnn 316101610 22 nnnnn 易错点：易错点：36)8(3664161001

19、6 222424 nnnnn，此路无法进行分解，此路无法进行分解 课后习题课后习题 1、若42 2 xxbaxx则2a，8b 2、73214 2 xxxx 3、若)(10 2 bxaxmxx，且ba,均为整数，则93或ba 4、下列各式中，不是4174 24 xx因式的是（D） A、 2 1 xB、2xC、2xD、4x 解析：解析：)2)(2)(12)(12()4)(14(4174 2224 xxxxxxxx 5、分解因式44 24 xxx) 1)(4( 23 xxx 解析：解析：) 1(4) 1)(1() 1(4) 1(44 22224 xxxxxxxxxx ) 1)(4( 23 xxx 6

20、、若多项式 22 9) 1(babka能用完全平方公式进行分解，则53或k 解析：解析：)3)()3)(9) 1( 22 babababababka或 534141或或kkk 7、分解因式：)()()( 222 bdacadbcbacddcab 解析：解析： )( )()()()( 2222222 bdacadbc bdacadbdacbccdbcdaabdabcbacddcab 8、分解因式：43 23 xx=_ 解析：解析： 法一：易得法一：易得2x为其中一个因式，大除法：为其中一个因式，大除法： 2223 2 23 )2)(1()2)(2(43 2 432 xxxxxxx xx xxx

21、*法二：拆项法二：拆项 222323 )2)(1() 1)(1(3) 1)(1(33143xxxxxxxxxxx 9、设xynyxm,，试用nm,表示 233 )(yx 解析：解析： 222233 222 2222222233 )(4()( 44)()( 3)()()()()( nmnmyx nmxyyxyx xyyxyxyxyxyxyx 只需求 *10、多项式65 22 yxbyaxyx的一个因式是2 yx，计算ba 法一：大除法法一：大除法 2 1 024 01 3 0)24()1( 652 22 b a b ba byx ybxyba yxbyaxyxyx 余数： 法二：设项，由左边六项

22、可得右边剩余一项为法二：设项，由左边六项可得右边剩余一项为knymx的形式，设出计算即可的形式，设出计算即可 设设)(2(65 22 knymxyxyxbyaxyx，左右展开一样得 3, 1kbnm代入原式可得1, 2ab 2.1.3 分式与根式分式与根式 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 1. 在初中阶段我们把形如 B A 的式子叫做分式，并且常常用到以下性质： B A MB MA MB MA 1. 在初中阶段我们把形如)0( aa的式子叫做二次根式，表示的是非负数a的算数平方 根，并且常用到以下性质： aa aaa 2 2 )0()( 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】

23、1. 进入高中之后，我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来，具体体现在要求同学 们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。 2. 进入高中之后，我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式， 四次根式，n次根式等等 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1：若4 11 nm ，求 nmnm nmnm 2 232 的值 解析：解析： 6 11 1 2 1 2 3 2 2 232 mn mn nmnm nmnm 例 2： 54 (2)2 xAB x xxx ，求BA,的值 解析：解析： 3 2 42 5 )2( 45 )2( 2)( )2( )2( 2B A A BA xx x

24、 xx AxBA xx BxxA x B x A 例 3：设 ba c ca b cb a k ，求k的值 解析：解析： 2 1 )(2 )( )( )( kkcbacba kbac kcab kcba 例 4：设0cba，求3) 11 () 11 () 11 ( ba c ca b cb a 解析：解析： 033 3) 11 () 11 () 11 ( a cb c ba b ca b c a c c b a b c a b a ba c ca b cb a *例 5：已知1abc，证明1 111 cac c bbc b aab a 解析：解析： 1 11 1 111 11 1 1 11 1

25、 1 1 bbc bc bbc b cac c bbc b aab a bbc bc bbcabc bc cac c bbc b bbc b aab a bcbabcaab a aab a 又 例 6：阅读材料，回答下列问题： 2 1 2 1 1 6 1 3 1 2 1 12 1 4 1 3 1 我们发现 ) 1( 1 1 11 nnnn （1）计算 20202019 1 20 1 12 1 6 1 2 1 ； （2）求证： 2 1 ) 12)(12( 1 63 1 35 1 15 1 3 1 nn 解析：（解析：（1） 2020 2019 2020 1 2019 1 4 1 3 1 3 1

26、2 1 2 1 1 20202019 1 20 1 12 1 6 1 2 1 （2） ) 12)(12( 1 75 1 53 1 31 1 ) 12)(12( 1 63 1 35 1 15 1 3 1 nnnn 2 1 ) 12 1 1 ( 2 1 n 例 7：（1）若0 x，求 4433 2xxx；（2）求 nn a（n为正整数） 解析：（解析：（1）022 4433 xxxxxx （2） kna kna a nn 2, 12, 若 若 例 8：已知 3232 , 3232 xy ，求 22 353xxyy的值 解析：已知解析：已知28911)(3353 10 1 222 xyyxyxyx

27、yx xy *例 9：已知实数ba,非负，若abba 22 11，求证：111 22 abba 解析：解析： 111 11 11 2222 22222222 22 baabba babababa abba *例 10：若 2 20061 x，则 20193 )200520094(xx的值为？ 解析：解析：2005442006) 12( 2 20061 22 xxxx ) 1(2005) 1(42005200544200520094 233 xxxxxxxx 0) 1)(200544() 1(2005) 1(4 2 xxxxxx 课后习题课后习题 1、若2 5 32 y yx ，则 y x 2

28、7 2、计算：xy y x y x x y 1 2 2 0 )()()(1 3、比较大小： （1）1011_1112；（2） 46 2 _622 解析：（解析：（1） 1011 1 1011, 1112 1 1112 （2） 64 2 68 2 622 2 622 4、已知0 111 cba ，求证： 2222 )(cbacba 解析：解析：00 111 abacbc abc abacbc cba 2222222 )(2)(cbabcacabcbacba 5、若4 1 x x，计算 1 24 2 xx x 解析：解析： 15 1 12) 1 ( 1 1 1 1 12 2 2 24 2 x x

29、x x xx x 6、下列说法正确的是（B） A.正数有一个偶次方根B. 负数没有偶次方根 C.负数有两个奇次方根D. 正数有两个奇次方根 7、若0a，则 3 ax（ C ） A.axxB.axx C.axx D.axx 8、已知5xy，则 y x y x y x=52 9、化简： x x xx x x xx 26 1 9 6 27 93 23 2 解析：解析： )3(2 3 )3)(3(2 )3( )3)(3(2 )3)(1(12)3(2 )3(2 1 )3)(3( 6 3 1 2 x x xx x xx xxx x x xxx 10、设 2 244 22 m mm n，求mn 解析：解析：

30、1 2 1 2 04 04 2 2 mn n m m m 11、化简： （1）)21 (12aaa； 解析：解析：1111) 11(112112 2 aaaaaaa （2）), 1, 0()()( * Nnnbababa n n n n 解析：若解析：若12 kn，则，则ababababa n n n n 2)()( 若若kn2，则，则ababababa n n n n 2)()()()( 12、证明： 4 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 nnn 解析：解析：) )2)(1( 1 ) 1( 1 ( 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn ) )2)(1( 1 ) 1

31、( 1 ( 2 1 ) 54 1 43 1 ( 2 1 ) 43 1 32 1 ( 2 1 ) 32 1 21 1 ( 2 1 nnnn 原式 ) )2)(1( 1 ) 1( 1 20 1 12 1 12 1 6 1 6 1 2 1 ( 2 1 nnnn 4 1 ) )2)(1( 1 2 1 ( 2 1 nn 2.2 方程与方程组以及不等式方程与方程组以及不等式 2.2.1 韦达定理韦达定理 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。 2、对于任意的一元二次方程)0(0 2 acbxax，通过判别式acb4 2

32、能够判断其 方程解的个数。 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 我们已经知道)0(0 2 acbxax如果有两个解，则其分别为； a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 则我们可以得到 a c xx a b xx 21 21 上面揭示了二次方程的根与系数cba,之间关系的等式我们叫做韦达定理韦达定理，韦达定理 在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。 反之， 若 21,x x满足 a c xx a b xx 21 21 ， 则我们可以说 21,x x一定是)0(0 2 acbxax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理做韦达定理的逆定理。 三、三、 【例

33、题精讲】【例题精讲】 例 1：若 21,x x是012 2 xx的两个根，求： （1） 2 2 2 1 xx；（2） 2 2 2 1 11 xx ；（3） 21 xx ；（4） 3 2 3 1 xx ,. 解析：略，注意解析：略，注意 a xxxxxx 21 2 2121 4)( 例 2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5和 3 2 . 解析：解析：0) 3 2 )(5(xx或或0 3 10 3 13 2 xx 例 3：已知关于x的方程01 4 1 ) 1( 22 kxkx，根据下列条件，分别求出满足条件的 k值. （1）方程两实根之积为 5；（2）方程两实根满足 21 xx . 解

34、析：（解析：（1）4 51 4 1 0) 1 4 1 (4) 1( 2 21 22 k kxx kk （2） 无解 2 3 0 10 2 3 0 21 21 21 k kxx kxx xx 综上，若综上，若 21 xx ，则 2 3 k 例 4： 若 21,x x是方程023242 22 mmmxx的两个根， 当m为何值时， 2 2 2 1 xx取 得最小值？请你求出这个最小值 解析：解析：232 2 232 2)2(2)( 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 mm mm mxxxxxx 当 4 3 m时，有最小值 8 7 例 5：已知关于x的方程04)2(2 22 mxmx有两个实数

35、根，并且两根平方和比两 根之积大 21，求m的值. 解析：解析：1 0 17163)( 2 21 2 2121 2 2 2 1 m mmxxxxxxxx 例 6：若关于x的方程0 2 axx有两个根： （1）当其中一个大于 1，另一个小于 1 时，求a的取值范围； （2）当两个根都小于 1 时，求a的取值范围. 解析：（解析：（1）由已知设）由已知设0) 1)(1(1, 1 2121 xxxx且且0 所以所以2 041 021)() 1)(1( 212121 a a axxxxxx （2）法一：）法一： 4 1 2 041 02) 1)(1( 21 a a axx 法二法二：借鉴二次函数图形借

36、鉴二次函数图形，根据两根均小于根据两根均小于 1 可知当可知当1x时时，函数值函数值011a，同时也同时也 需满足需满足0 例 7：若 21,x x是方程01) 12( 22 kxkx的两实数根，且均大于 1. （1）求实数k的取值范围； （2）若 2 1 2 1 x x ，求k的值 解析：（解析：（1）1 4 3 4 3 0) 1(4) 12( 101) 12(1) 1)(1( 22 2 21 kk kkk kkkxx 且 （2）)( 17 1 ) 12( 2 9 21 9) 12(312 2 2 2 1 2 21 2 1 2 121 舍去或 kk k k xkxx xkxkxx *例 8：

37、已知ba,是一元二次方程01 2 xx的两个实数根，求)2( 22 baa的值. 解析：解析： 12 01 01 2 2 2 bb bb aa 01) 1()2( 2222 ababaabaabaa 课后习题课后习题 1、关于x的一元二次方程05 22 aaxax其中一个根是 0，则a=10或 2、关于x的方程07)3(10 2 mxmx： （1）若有一个根为 0，则7m，此时方程另一个根为：1 （2）若两根之和为 5 3 ，则9m，此时方程两个根分别为：1 , 5 8 3、方程0122 2 xx的两根为 21,x x，则3 21 xx 4、设 21,x x为方程0 2 qpxx的两根，且1,

38、 1 21 xx为方程0 2 pqxx的两根， 则_,qp 解析：由题意有解析：由题意有 3 1 1 2 ) 1)(1( 2 21 21 21 21 q p pqp qp pxx qxx qxx pxx 和 *5、已知实数cba,满足ba 6，9 2 abc，则_,_,cba 解析：由题意有解析：由题意有的两根是方程096, 9 6 22 2 cxxba cab ba 300)9(436 2 bacc *6、若1ab，且0920195 2 aa，0520199 2 bb，则 9 5 a b 解析：解析： 的两根为方程0920195 1 , 09 1 2019 1 5 0920195 09 1

39、2019 1 50520199 2 2 2 2 xx b a bb aa bb bb 故故 5 9 b a 7、已知关于x的方程)0(0 2 acbxax两根之比为5:3，求证： 2 1564bac 证明：设证明：设 2 2 2 2 2 21 21 21 1564 15 64 15 64 15 8 5,3bac ac b a c a b a c kxx a b kxx kxkx 8、已知方程05)2(2 22 axax有实数根，且两根之积等于两根之和的 2 倍，求a 解析：由题意解析：由题意 )(31)2(45)(2 4 9 0)5(4)2(40 2 2121 22 舍去或aaaaxxxx a

40、aa 综上，综上，1a 9、若一元二次方程04) 1( 2 xmx的两个根均满足30 x，求m的取值范围 法一：借助函数图像可知：法一：借助函数图像可知： 当当3, 0 xx时函数值均时函数值均0 3 10 04) 1(39mm 350mm或 对称轴对称轴513 2 1 0 m m 综上，综上， 3 10 3 m 法二：设两根为法二：设两根为 21,x x，则有，则有 3 10 3 350 3 10 0)3)(3( 5160 21 21 m mm mxx mxx 或 2.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组分式方程与无理方程以及二元方程组 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 1、牢

41、记初中阶段所学过解分式方程的关键步骤： 通过找最简公分母去分母； 检验增根 2、初中阶段所学习过最直接去根号的方法：平方法 3、初中阶段学习过二元一次方程的基本解法：消元法 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 1、学会求解复杂的分式方程； 2、学会求解带根式的无理方程； 3、学会求解二元方程组； 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】 例 1、解方程：0 )2( 1 )2( 1 4 2 2 xxxxx 解析：解析： 方程无解增根 )(20 )2)(2( 42 0 )2)(2( 2 )2)(2( 2 )2)(2( 2 x xxx x xxx x xxx x xxx x 例 2：解方程：11

42、2 ) 1(3 1 )2(8 2 2 2 2 xx x x xx 解析：令解析：令t x xx 1 2 2 2 ，原方程为，原方程为1 8 3 0311811 3 8 2 tttt t t或 )(0 2 1 1 1 2 2 2 增根或 xxt x xx 3 5 1 8 3 1 2 2 2 xxt x xx 或 综上，原方程的解为综上，原方程的解为 2 1 3 5 1 xxx或或 例 3：解方程：1263xx 解析：解析：1 2063 )( 4 5 1) 12(631263 2 x xx xxxxxx舍去或 例 4：解方程：1253xx 解析：解析：7 7)(222353 3 5 02053 x

43、 xxxxx xxx 或舍去 且 例 5：解方程：9325332 22 xxxx 解析：令解析：令txx332 2 0932 3 2 9 305)6(2565 2 2 xx xxtttttt或或 经检验经检验3 2 9 xx或是原方程的根是原方程的根 例 6：解方程：8219533xxx 解析：平方法解得解析：平方法解得)(74舍去或xx 例 7：解方程组： 01 1 22 yx yx 和 034 10 22 22 yxyx yx 解析：（解析：（1） 1 0 0 1 y x y x 或 （2） 1 3 1 3 5 5 5 5 y x y x y x y x 或或或 例 8：解方程组： 012

44、2 021 2 yx yx 解析：解析： 22 5 6 3 y x y x 或 例 9：解方程组：)0( )8()2( )3()7( )1 ()5( 222 222 222 r ryx ryx ryx 解析：解析： 5 3 2 01 073 082 68164 58614 26210 222 222 222 r y x yx yx yx ryyxx ryyxx ryyxx ： ： ： 课后习题课后习题 1、关于x的方程 2 2 1 4 4 2 1 2 xx x x 的解为_ 解析：解析：1x 2、若 )2)(1( 32 21 xx x x B x A ，则 BA_ 解析：解析： 3 4 32

45、2 )2)(1( 2)( )2)(1( ) 1()2( 21 BA BA BA xx BAxBA xx xBxA x B x A 3、关于x的方程18 )4( 7272 1 )4( xx x x xx 的解为_ 解析：解析：62xx或 4、关于x的方程33 xx的解为_ 解析：解析：3x 5、关于x的方程1345xx的解为_ 解析：解析：1x 6、关于x的方程042 22 xxxx的解为_ 解析：解析：32xx或 7、关于x的方程组： 065 20 22 22 yxyx yx 的解为_ 解析：解析： 2 23 2 4 y x y x 或（简写，实际是（简写，实际是 4 组解）组解） 8、解方程

46、组： 83 3 yxy xxy 解析：解析：3) 13(13 83 933 83 3 xxxyx yxy xxy yxy xxy 带入原式 4 1 2 1 y x y x 或 2.2.3 不等式不等式 一、一、 【归纳初中知识】【归纳初中知识】 初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法， 但在高中学习中往往不够用， 我们来 总结一下已经学习过不等式的解法： 解bax 应该分三种情况讨论： 1. 若0a，且0b，不等式无解；若0, 0ba，不等式有无数解 2. 若0a，则解为 a b x 3. 若0a，则解为 a b x 二、二、 【衔接高中知识】【衔接高中知识】 我们在高中阶段主要会接触到三

47、类不等式： 1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”； 2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式； 3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法” 规律总结：规律总结：一般地，解不等式先使不等式右边为一般地，解不等式先使不等式右边为_ 一般地，对于一元二次不等式一般地，对于一元二次不等式)0(0 2 cbxax，先化二次项系数为，先化二次项系数为_，然后，然后 找出方程找出方程0 2 cbxax的两根的两根 21,x x，最后根据不等号：小于取，最后根据不等号：小于取_，大于取，大于取_。 三、三、 【例题精讲】【例题精讲】

48、例 1：用因式分解法解不等式：06 2 xx 解析：略解析：略 例 2：利用因式分解法解不等式：352 2 xx 解析：略解析：略 例 3：图像法解不等式012 2 xx 解析：略解析：略 例 4：已知不等式02 2 bxax的解集为3 2 1 x，求02 2 abxx的解集 解析：易知解析：易知3 , 2 1 为方程为方程02 2 bxax两根两根 3 10 3 4 2 2 3 3 2 1 b a a a b 3 1 20)2)(13( 3 4 3 10 22 22 xxxxxabxx 例 5：解不等式：（1）0 1 13 x x （2）1 3 12 x x 解析：（解析：（1） 3 1 1

49、x；（；（2）43xx或 例 6：解不等式：0)12)(2( 2 xxx 解析：解析： 0)4)(3( 02 0)4)(3( 02 0)4)(3)(2( xx x xx x xxx或 423xx或 课后习题课后习题 1、不等式026 2 xx的解集为_ 解析：解析： 2 3 2xx或 2、不等式032 2 xx的解集为_ 解析：解析：3330) 3)(1(032 2 xxxxxx 3、已知不等式0 2 baxx的解集为32 x，则不等式01 2 bxax的解为_ 解析：解析： 632 532 b a ，1 5 1 0165 2 xxxx或 4、不等式1 2 x 的解集为_ 解析：解析：02xx

50、或 5、不等式0)3)(2)(1(xxx的解集为_ 解析：解析：213xx或 6、不等式0 4 3 2 2 x x 的解集为_ 解析：解析：2332xxx或或 7、不等式2 2 1 x x 的解集为_ 解析：解析：123xx或 8、解不等式0)6)(2( 2 xxx 解析：解析：3x 9、解不等式：0 6 32 2 2 xx xx 解析：解析：3123xxx或或 第第三三章章学习新知学习新知 3.1 集合集合 3.1.1 集合的基本概念集合的基本概念 在小学和初中，我们已经接触过一些集合。例如，自然数的集合，有理数的集合，不 等式37x的解的集合（常称为解集），到一个定点距离等于定长的点的集合