考点27椭圆方程与性质教师版.pdf

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 27椭圆 1椭圆的概念 把平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点 F1，F2叫作 椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距 椭圆定义用集合语言表示如下： PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数 在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨 迹是线段 F1F2；当到两定点的距离

2、之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0,1) a，b，c 的关系 c2a2b2 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成 Ax2By21 的形式，其中 A，B

3、 是不相等的正常数，或 设成x 2 m2 y2 n21(m 2n2)的形式 3椭圆中的弦长公式 (1)若直线 ykxb 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB| 1k2|x1x2|11 k2|y 1y2|. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2 a ，最长为 2a. 玩转典例 题型题型一一椭圆的定义和标准方程椭圆的定义和标准方程 例例 1（1）（2020上海徐汇.高三期末）已知 1 F 2 F是定点， 12

4、| 6F F.若动点M满足 12 | 6M FM F， 则动点M的轨迹是（） A直线B线段C圆D椭圆 （2）（2019宁波市第四中学高三期中）设p是椭圆 22 1 2516 xy 上的点若 12 FF，是椭圆的两个焦点，则 12 PFPF等于( ) A4B5C8D10 【答案】（1）B（2）D 【解析】（1）对于在平面内，若动点M到 1 F、 2 F两点的距离之和等于 6，而 6 正好等于两定点 1 F、 2 F的 距离，则动点M的轨迹是以 1 F， 2 F为端点的线段故选：B （2）因为椭圆的方程为 22 5 1 162 xy ，所以 2 25a ，由椭圆的的定义知 12 =210PFPFa

5、， 故选 D 例例 2（1）（2019福建高三期末）如果 22 2xky表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （） A(0,1)B(0,2) C(1,)D(0, ) （2）（2019江苏省苏州实验中学高三期中）方程 22 1 4 xy m 表示椭圆，则实数m的取值范围（） A0m B4m C04mD0m 且4m 【答案】（1）A（2）D 【解析】（1） 22 2xky转化为椭圆的标准方程，得 22 1 2 2 xy k ，因为 22 2xky表示焦点在y轴上 的椭圆，所以 2 2 k ，解得01k.所以实数k的取值范围是0,1.选 A. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩

6、转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （2）方程 22 1 4 xy m 表示椭圆，若焦点在 x 轴上，40m；若焦点在 y 轴上，4m. 综上：实数m的取值范围是0m 且4m故选：D 例例 3（2018黑龙江哈尔滨三中高三期中）已知ABC的顶点B，C在椭圆 22 1 169 xy 上，顶点A是椭 圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则ABC的周长是（） A8B8 3 C16D24 （2） （2019广西田阳高中） ） 已知P是椭圆 22 1 259 xy 上一点， 12 ,F F为椭圆的两焦点， 且 0 12 60FPF， 则

7、12 FPF面积为（） A3 3B2 3 C3D 3 3 【答案】（1）C 【解析】（1）ABC的顶点B，C在椭圆 22 1 169 xy 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦 点在BC上，由椭圆的定义可得：ABC的周长是44 416a 故选：C （2）由椭圆的标准方程可得：a5，b3，c4， 设|PF1|t1，|PF2|t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t210， 在F1PF2中，F1PF260， 所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2（2c）264， 整理可得：t12+t22t1t264，把两边平方得 t12+t22+2t1t

8、2100， 所以得 t1t212， 12 1 2 1 2 F PF St t sin F1PF23 3故选 A 玩转跟踪 1(广东，8)已知椭圆x 2 25 y2 m21(m0)的左焦点为 F 1(4，0)，则 m() A2B3C4D9 解析由题意知 25m216，解得 m29，又 m0，所以 m3. 答案B 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2(全国，9)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点为 F 1、F2，离心率为 3 3 ，过 F2的直线 l 交 C 于

9、A、B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为() A.x 2 3 y 2 2 1B.x 2 3 y21 C.x 2 12 y2 8 1D.x 2 12 y2 4 1 解析由已知 ec a 3 3 ， 又AF1B的周长为|AF1|AB|BF1|AF1|(|AF2|BF2|)|BF1|(|AF1|AF2|)(|BF2|BF1|)2a2a 4 3，解得 a 3，故 c1，b a2c2 2，故所求的椭圆方程为x 2 3 y 2 2 1，故选 A. 答案A 3(广东，9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于1 2，则 C 的方程是( ) A.x 2 3 y 2 4

10、 1B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y 2 2 1D.x 2 4 y 2 3 1 解析由题意，得 c1，ec a 1 a 1 2，所以 a2，b 23，所以椭圆的方程为x2 4 y 2 3 1. 答案D 题型题型二二椭圆的几何性质椭圆的几何性质 例例 4（1）（2020武威第八中学高三期末（理）已知椭圆C： 22 2 1(0) 4 xy a a 的一个焦点为(2 0) ， 则C的离心率为。 （2）（2019江西南昌十中高三期中）过椭圆的右焦点 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于AB，两点， 1 F为椭 圆的左焦点，若 1 F AB 为正三角形，则椭圆的离心率为。 【答案】（1） 2 2

11、 （2） 3 3 【解析】（1）根据题意，可知2c ，因为 2 4b ，所以 222 8abc ，即 2 2a ， 所以椭圆C的离心率为 22 22 2 e . （2）根据题意，如图所示， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 可得 1 F AB为正三角形，可得在 12 Rt AFF中，有 12122 2,23AFAFFFcAF， 点A在椭圆上，由椭圆的定义可得 122 23aAFAFAF， 则该椭圆的离心率 12 12 3 3 FFc c aAFAF 玩转跟踪 1(四川，9)从椭圆x 2

12、a2 y2 b21(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F 1，A 是椭圆与 x 轴正半 轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是() A. 2 4 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 解析由题意可得 P(c，b 2 a )，A(a，0)，B(0，b)由 ABOP，得b a b2 ac，化简，得 bc，所以离心率 e c a 2 2 . 答案C 2 (新课标全国， 5)设椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点分别为 F 1、 F2， P 是 C 上的点， PF2F1F2， PF1F230，则 C

13、的离心率为() A. 3 6 B.1 3 C.1 2 D. 3 3 解析如图所示，在 RtPF1F2中，|F1F2|2c. 设|PF2|x，则|PF1|2x， 由 tan 30 |PF2| |F1F2| x 2c 3 3 ，得 x2 3 3 c. 而由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a3x，a3 2x 3c， ec a c 3c 3 3 . 答案D 3(辽宁，11)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF4 5，则 C 的离心率为( ) A.3 5 B.5 7 C.4 5

14、 D.6 7 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析设椭圆的右焦点为 F1，由余弦定理，得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF36，则有|AF|6， 故AFB90，由椭圆的对称性知四边形 FAF1B 为矩形，则有|BF|BF1|86142a， 即 a7，|FF1|AB|102c，即 c5，则 C 的离心率为 ec a 5 7. 答案B 题型题型三三直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 例例 5（2020云南省泸西县第一中学高三期中）已知椭圆? ? ? ? ? ?

15、 ? ? 及直线 ?：? ? ? ? ? ? （1）当直线 ? 与该椭圆有公共点时，求实数 的取值范围； （2）当 ? ? 时，求直线 ? 被椭圆截得的弦长 【答案】（1） ? ? ? ? ；（2） ?. 【解析】（1）由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去 ?，并整理得 ? 晦? ? ? ? ? ? ? ? ?晦? ?晦 ? ? ? ?晦 ? ? 直线 ? 与椭圆有公共点，? ? ?，可解得：? ? ? ? ? ? ? 故所求实数 的取值范围为 ? ? ? ? （2）设直线 ? 与椭圆的交点为 ? ?，? ? 由得： ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ? ? ?

16、 ? ? ? ? ? ? ? ? 晦 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? 时，直线 ? 被椭圆截得的弦长为 ? 例例 6（2020上海高三课时练习）如果椭圆 22 1 369 xy 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程 是_ 【答案】y=-0.5x+4 【解析】设弦为AB，且 1122 ,A x yB x y，代入椭圆方程得 2222 1122 1,1 369369 xyxy ，两式作差并化 简得 2112 2112 1 2 yyxx xxyy ， 即弦的斜率为 1 2 ， 由点斜式得 1 24 2 yx ， 化简得0.54yx . 玩转跟踪 玩转数学培优

17、题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1（2020全国高三课时练习）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab 0ab的焦距为4 2，短半轴的长为 2，过 点 P(2,1)且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求弦 AB 的长 【答案】（1） 22 1 124 xy ；（2） 42 2 AB . 【解析】(1)已知椭圆焦距为4 2，短半轴的长为 2，即 2c=4 2，b=2， 结合 a2=b2+c2，解得 a=2 3，b=2，c=2 2，故 C： 2

18、2 1 124 xy . (2)已知直线 l 过点 P(2,1)且斜率为 1，故直线方程为 y-1=x+2，整理得 y=x+3， 直线方程与椭圆方程联立 22 3 1 124 yx xy ，得 2 418150 xx . 设 11 ,A x y， 22 ,B xy 12 12 0, 9 , 2 15 , 4 xx x x AB 2 1212 42 24 2 xxx x 2（2020海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为 2 2 x +y2=1,则过点 1 1 , 2 2 P 且被 P 平分的弦所 在直线的方程为_. 【答案】2430 xy 【解析】设这条弦与椭圆 2 2 1 2 x y交

19、于点 1 122 A x yB x y， 由中点坐标公式知 1212 1,1xxyy,把 1 122 A x yB x y代入 2 2 1 2 x y, 作差整理得 12 1212 12 1 20, 2 AB yy xxyyk xx ， 这条弦所在的直线方程为 111 222 yx ，即2430 xy，故答案为2430 xy. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转练习 1（2019北京）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，则() A 22 2abB

20、22 34abC2abD34ab 【答案】B 【解析】由题意， 1 2 c a ，得 2 2 1 4 c a ，则 22 2 1 4 ab a ， 222 44aba，即 22 34ab 2（2018全国）已知椭圆 22 22 1 xy ab 过点 3 ( 4, ) 5 和 4 (3,) 5 ，则椭圆离心率(e ) A 2 6 5 B 6 5 C 1 5 D 2 5 【答案】A 【解析】椭圆 22 22 1 xy ab 过点 3 ( 4, ) 5 和 4 (3,) 5 ， 则 22 22 169 1 25 916 1 25 ab ab ，解得5a ，1b ， 222 24cab，2 6c ，

21、2 6 5 c e a 3（2018新课标）已知椭圆 22 2 :1 4 xy C a 的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 2 2 3 【答案】C 【 解 析 】 椭 圆 22 2 :1 4 xy C a 的 一 个 焦 点 为(2,0)， 可 得 2 44a ， 解 得2 2a ，2c ， 22 22 2 c e a 故选C 4.（2017新课标）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，且以线段 12 A A为直径 的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为() A 6 3 B 3 3 C

22、 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】以线段 12 A A为直径的圆与直线20bxayab相切， 原点到直线的距离 22 2ab a ab ，化为： 22 3ab 椭圆C的离心率 2 2 6 1 3 cb e aa 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 5（2016新课标）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1 4 ，则 该椭圆的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【答案】B 【解析】设椭圆的方程为： 22 22 1 xy ab

23、 ，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为：1 xy cb ，椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1 4 ， 可得： 22 1 211 b cb ， 2 22 11 4()b cb ， 2 2 3 b c ， 22 2 3 ac c ， 1 2 c e a 6.（2019新课标）设 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 3620 xy C的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若 12 MF F 为等腰三角形，则M的坐标为 【答案】(3, 15) 【解析】设( , )M m n，m，0n ，椭圆 22 :1 3620 xy C的6a ，2 5b ，4c ， 2 3 c e a ，由于M为C上

24、一点且在第一象限，可得 12 | |MFMF， 12 MF F为等腰三角形，可能 1 | 2MFc或 2 | 2MFc，即有 2 68 3 m，即3m ，15n ； 2 68 3 m，即30m ，舍去可得(3, 15)M故答案为：(3, 15) 7.（2020湖北襄阳。高三期中）椭圆 22 1 94 xy 的左右焦点分别为 12 ,F F，点P在椭圆上，若 1 4PF ， 则 12 FPF_. 【答案】90 【解析】根据题意，椭圆 22 1 94 xy ，其中3a ，2b ，则5c ， 点P在椭圆上，若 1 | 4PF ，则 21 | 2| 642PFaPF， 在 12 FPF中， 1 | 4

25、PF ， 2 | 2PF ， 12 | 22 5FFc， 8. （2020天津静海一中高三期末）已知方程 22 1 21 xy mm 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是（） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A(,1) B( 2, ) C 3 (,) 2 ( 1,) D 33 ( 2,)(,1) 22 【答案】D 【解析】210mm，且21mm ，所以 3 2 2 m 或 3 1 2 m 故选 D则 222 1212 |PFPFFF，则有 12 90FPF，故答案为90 9.（2020四

26、川青羊.树德中学高三月考）已知椭圆C的焦点为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F过点 1 F的直线与C交于 A，B两点若 2 ABF的周长为 8，则椭圆C的标准方程为（） A 22 1 1615 xy B 22 1 87 xy C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 【答案】C 【解析】根据椭圆的定义知 2 ABF的周长为48a ，2a ，又1c ， 222 3bac ， 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 10.（2020上海高三课时练习）中心在原点，焦点在y轴上，焦距为 8，且过点（3，0）的椭圆方程为（） . A 22 1 259 xy B 22 1 925 xy

27、 C 22 1 259 xy 或 22 1 925 xy D 22 1 916 xy 或 22 1 169 xy 【答案】B 【解析】因为焦距为 8，所以28c ，即4c 又因为椭圆的焦点在y轴上，且过点（3，0），所以 2 3,25ba ，所以椭圆的方程为 22 1 925 xy . 故选：B 11.（2020全国高三课时练习（理）已知点P是以 12 ,F F为焦点的椭圆 22 22 10 xy ab ab 上一点，若 1221 ,tan2PFPFPF F，则椭圆的离心率e （） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资

28、料关注公众号玩转高中数学研讨 A 5 3 B 1 3 C 2 3 D 1 2 【答案】A 【解析】点 P 是以 F1，F2为焦点的椭圆 2 2 x a + 2 y b =1（ab0）上一点，PF1PF2，tanPF2F1=2， 1 2 PF PF =2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知 x+2x=2a，x= 2 3 a ，|PF2|= 2 3 a ，则|PF1|= 4 3 a ，由 勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，解得 c= 5 3 a，e= c a = 5 3 12.（2019广西百色田东中学高三期中）椭圆 22 416xy被直线 1 1 2 yx截得

29、的弦长为_. 【答案】 35 【解析】由 22 416 1 1 2 xy yx 消去 y 并化简得 2 260,xx 设直线与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2),则 1212 x2,6,xx x 所以弦长 2 12 135MNkxx. 故填35. 13. （2020武威市第六中学高三月考） 点P是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 一点，F为椭圆C的一个焦点， |PF的最小值为 21 ，最大值为 21 （1）求椭圆C的方程； （2）直线y xm 被椭圆C截得的弦长为 4 2 3 ，求m的值 【答案】（1） 2 2 1 2 x y；（2）1m 【解析】（1）由点P是椭

30、圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 一点，F为椭圆C的一个焦点，| |PF的最小值为 21 ，最大值为 21 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 可得 21 21 ac ac ，解得 2 1 a c ，进而 22 1bac ， 所以椭圆方程为： 2 2 1 2 x y. （2）设直线y xm 与曲线C的交点分别为 1122 M x ,y ,N x ,y 联立 2 2 1 2 yxm x y 得 22 34220 xmxm , 222 1612 222480mmm,即- 3 m3

31、 又 2 1212 422 , 33 mm xxx x ， 2 2 1212 4 2 MN1 14 3 xxxx ，化简 22 2 4224 4 333 mm ， 整理得 2 880m ，1m ，符合题意.综上，1m . 14（2019四川高三期末）已知椭圆 222 :220C xybb. （1）求椭圆 C 的离心率 e； （2）若1b ，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且 2 11 3 AB ，求AOB的面积. 【答案】（1） 2 2 e ；（2） 22 12 . 【解析】（1）椭圆 22 22 :10 2 xy Cb bb ，椭圆长半轴长为2ab，短半轴长为b， 22 22 2 11

32、22 cbb e aab ； （2）设斜率为1的直线l的方程为y xm ，且 11 ,A x y、 22 ,B xy， 1b Q，椭圆C的方程为 22 :22xy， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由 22 22 yxm xy ，.消去y得 22 34220 xmxm ，又有 12 2 12 4 3 22 3 m xx m xx . 22 2 2 121212 16884 22423 933 mm ABxxxxx xm 2 11 3 ，解得： 2 1 4 m 满足 ，直线l的方程为 1 0 2 xy. 故O到直线的距离 1 2 2 42 d ， 112 11222 223412 AOE SAB d .