考点22离散型随机变量和超几何分布学生版.docx

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 22离散型随机变量和超几何分布 玩前必备 1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n) 的概率 P(Xxi)pi，则表 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 称为离散型随机变量 X 的概率分布列 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0(i1,2，n)；p1p2pn1 3超几何分布 在含有M件次品的N件产品中， 任取n件， 其中恰有X件次品

2、， 则事件Xk发生的概率为P(Xk)C k MCn k NM CnN ， k0，1，2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*，称分布列为超几何分布列. X01m P C0MCn 0 NM CnN C1MCn 1 NM CnN CmMCn m NM CnN 4离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 Xx1x2xixn Pp1p2pipn (1)均值：称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变 量取值的平均水平 (2)D(X) n i1 (xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X

3、 与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算 术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差 玩转典例 题型题型一一离散型随机变量分布列离散型随机变量分布列的性质的性质 例例 1设随机变量 X 的分布列如下： X12345 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p 为() A.1 6 B.1 3 C.1 4 D. 1 12 例例 2若离散型随机变量 X 的分布列为 X01 P a 2 a2 2 则 X 的均值 E(X)等于() A2B2 或1 2 C.1 2 D1 玩转跟踪 1.设随机变量 X 的分布列如下，则 P(|X2|1)等于() X1234 P 1 6

4、 1 4 m 1 3 A. 7 12 B.1 2 C. 5 12 D.1 6 2.设随机变量的分布列为 P k 5 ak(k1,2,3,4,5)，则 P 1 10 7 10 等于() A.3 5 B.4 5 C.2 5 D.1 5 题型题型二二分布列的求法分布列的求法 例例 3设某人有 5 发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为2 3.若他连续两发命中或连续 两发不中则停止射击，否则将子弹打完 (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数 X 的分布列 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1.（2019北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变

5、近年来，移动支付已成为主要支付方式 之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发 现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况 如下： (0，1000(1000，2000大于 2000 仅使用A18 人9 人3 人 仅使用B10 人14 人1 人 （）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求X的分布列和数学期望； （）已知上个月样本学生

6、的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3 人，发 现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 题型题型三三均值与方差均值与方差 例例 4某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种 情况发生的概率分别为7 9和 2 9； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不 赚，且这三种

7、情况发生的概率分别为3 5， 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑 雪时间不超过 1 小时免费， 超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 有 甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为1 4， 1 6；1 小时以上且不超 过 2 小时离开的概率分别为1 2， 2 3；两人滑雪时间都不会超过 3 小时 (1)求甲、乙两人所付

8、滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值 E()，方差 D() 题型题型四四超几何分布超几何分布 例例 5(2017山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下： 将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组 志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A

9、1但不包含 B1的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与均值 E(X) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的可入肺颗粒物根据现行国家标 准 GB30952012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方 米之间空气质量为二级； 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区 2018 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5 日均值 (微克/

10、立方米) 25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85 频数311113 (1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求的分布列 玩转练习 1.（2018 北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设

11、所有电影是否获得好评相互独立 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1 k ”表示第k类电影得到 人们喜欢， “0 k ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6） 写出方差 1 D， 2 D， 3 D， 4 D， 5 D， 6 D的大小关系 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 2.(2018 天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16现采用分层

12、抽样的方法从中 抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足 的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” ，求事件 A 发生的概率 3.（2017 新课标）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经

13、验，每天需求量与当天最高 气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量 为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各 天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40) 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶

14、)为多少 时，Y的数学期望达到最大值？ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 4.（2017 天津）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯 的概率分别为 1 1 1 , , 2 3 4 （）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 5.(2016 年全国 I)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机 器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元

15、现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内 更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列； （II）若要求()0.5P Xn，确定n的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选用哪个？ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 6（2015 福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该

16、银行卡将被锁定，小王到银 行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一， 小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡 被锁定 （）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望 7.（2015 四川）某市,A B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了 3 名男生，2 名女生，B中学推 荐了 3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生 中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队

17、 （1）求A中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列 和数学期望 8.（2014 辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示： 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 （） 求在未来连续 3 天里， 有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率； （）用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望()E X及方差 ()D X 玩转数学培优题型篇安老

18、师培优课堂 9.（2014 安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则 判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，各局比赛结果相互独立 （）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率； （）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望） 10.（2013 新课标 1）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件 产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过 检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批 产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 1 2 ，且各件产 品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用 记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望