考点19计数原理和排列组合学生版.docx
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1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 19计数原理和排列组合 玩前必备 1分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1种不同的方法,在第二类方案中有 m2种不同的方 法,在第 n 类方案中有 mn种不同的方法,则完成这件事情,共有 Nm1m2mn种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1种不同的方法,完成第二步有 m2种不同的方 法,完成第 n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事情共有 Nm1m2mn种不同的方法 3两个计数原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的
2、区别在于:分类 加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原 理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成 4排列与排列数 (1) 排列的定义:从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列 (2) 排列数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的排列数,用符号 A m n表示 (3) 排列数公式 当 mn 时,排列称为选排列,排列数为 Amnn(n1)(n2)(nm1); 当
3、 mn 时,排列称为全排列,排列数为 Annn(n1)(n2)321 上式右边是自然数 1 到 n 的连乘积,把它叫做 n 的阶乘,并用 n!表示,于是 Annn! 进一步规定 0!1, 于是,Amnn(n1)(n2)(nm1)n(n1)(nm1)(nm)(nm1)321 (nm)(nm1)321 n! (nm)!,即 Amn n! (nm)! 5组合与组合数 (1) 组合的定义:从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个组合 (2)组合数的定义:从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中
4、取出 m 个元素的组合数,用符号 C m n表示 (3) 组合数公式 Cmn Amn Amm n(n1)(n2)(nm1) m! n! m!(nm)! 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 规定:C0n1 (4) 组合数的两个性质:CmnCn m n;Cmn1Cm 1 nCmn 6排列与组合的区别 排列与组合的共同点,就是都要“从 n 个不同元素中,任取 m 个元素”,而不同点就是前者要“顺序” ,而 后者却是“并成一组”因此, “有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志. 玩转典例 题型题型一一计数原理计数原理 例例 1(2020浙江高三专题练习)某校高中三年级一班有优秀团员 8 人,二班有优
5、秀团员 10 人,三班有 优秀团员 6 人,学校组织他们去参观某爱国主义教育基地. (1)推选 1 人为总负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选 1 人为小组长,有多少种不同的选法? (3)从他们中选出 2 个人管理生活,要求这 2 个人不同班,有多少种不同的选法? 例例 2 2(2020全国高三专题练习)用 0,1,2,3,4 五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数? 例例 3(2020辽宁实验中学高三月考(理) )高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去 哪个工厂可以自由选择
6、,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有() A16 种B18 种C37 种D48 种 玩转跟踪 1满足 a,b1,0,1,2,且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为() A14B13 C12D10 2在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为_ 3如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么 所有凸数的个数为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 题型题型二二排列排列和排列数和排列数 例例 4 43 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数 (1)选其
7、中 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体站成一排,男、女各站在一起; (4)全体站成一排,男生不能站在一起; (5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾 (6)全体站成一排,甲不站排头乙不站排尾 玩转跟踪 1.(2019上海)首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动,其中 甲连续参加 2 天,其他人各参加 1 天,则不同的安排方法有种(结果用数值表示) 2.(2020全国高三专题练习)A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人, 必须坐最北面的椅子,B, C二人必须坐相邻的两把椅子, 其
8、余三人坐剩余的三把椅子, 则不同的座次有 () A60 种B48 种C30 种D24 种 3(四川,6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40 000 大的偶数共有() A144 个B120 个C96 个D72 个 4(四川,6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有() A192 种B216 种C240 种D288 种 题型题型三三组合和组合数组合和组合数 例例 5 5男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男、女队长各 1 名现选派 5 人外出参加比赛,在下列情形中各 有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员
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