考点15 空间点、直线、平面的位置关系和平行证明教师.pdf

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 15空间点、直线、平面的位置关系和平行证明 玩前必备 1.空间点、线、面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 平行关系 图形语 言 符号语 言 aba 相交关系 图形语 言 符号语 言 abAaAl 独有关系 图形语 言 符号语 言 a，b 是异面直线a 2 直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件aa，b，aba a，a， b 结论abaab 3.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件a，b，ab，a

2、，a 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 P，a，bb 结论aba 玩转典例 题型题型一一点线面的位置关系点线面的位置关系 例例 1如图所示，在长方体 ABCDABCD中，如果把它的 12 条棱延伸为直线，6 个面延展为平面， 那么在这 12 条直线与 6 个平面中： (1)与直线 BC平行的直线和平面分别有哪几个？ (2)与直线 BC垂直的直线和平面分别有哪几个？ (3)与平面 BC平行的平面有哪几个？ (4)与平面 BC垂直的平面有哪几个？ 解(1)有平面 ADDA与平面 ABCD；

3、(2)有平面 ABBA、平面 CDDC； (3)有平面 ADDA； (4)有平面 ABBA、平面 CDDC、平面 ABCD与平面 ABCD； 玩转跟踪 1.如图所示，用符号语言可表示为() Am，n，mnA Bm，n，mnA Cm，n，Am，An Dm，n，Am，An 答案A 解析很明显，与交于 m，n 在内，m 与 n 交于 A，故选 A. 2.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨

4、直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上) 答案 解析因为点 A 在平面 CDD1C1外，点 M 在平面 CDD1C1内，直线 CC1在平面 CDD1C1内，CC1不过点 M， 所以 AM 与 CC1是异面直线，故错；取 DD1中点 E，连接 AE，则 BNAE，但 AE 与 AM 相交，故错； 因为 B1与 BN 都在平面 BCC1B1内，M 在平面 BCC1B1外，BN 不过点 B1，所以 BN 与 MB1是异面直线，故 正确；同理正确，

5、故填. 题型题型二二线面平行的判定和性质线面平行的判定和性质 例例 2 （2020北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱ADFBCE中，平面ABCD 平面ABEF，侧面 ABCD为平行四边形，侧面ABEF为正方形，ACAB，24ACAB，M为FD的中点. （1）求证：/ /FB平面ACM； 【解析】（1）连接BD，交AC与O，连接MO，在DFB中，/ /MOFB， 又FB 平面ACM，MO 平面ACM，所以/ /FB平面ACM； 例例 3如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点 求证：GF平面 ADE. 证明方法一如图，取 AE 的中点 H

6、，连接 HG，HD， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 又 G 是 BE 的中点，所以 GHAB，且 GH1 2AB.又 F 是 CD 的中点， 所以 DF1 2CD.由四边形 ABCD 是矩形得 ABCD，ABCD， 所以 GHDF，且 GHDF，从而四边形 HGFD 是平行四边形， 所以 GFDH.又 DH平面 ADE，GF平面 ADE，所以 GF平面 ADE. 例例 4 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点

7、 G， 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：PAGH. 证明：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， 四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 AC 的中点 .又 M 是 PC 的中点，APOM.又 AP平面 BDM，AP平面 BDM. 平面 PAHG平面 BDMGH，PAGH. 玩转跟踪 1在空间四边形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、AD 上的点，且 AEEBAFFD14，又 H、G 分别为 BC、CD 的中点，则() ABD平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形 BEF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 CHG平面 ABD，且四边形 EF

8、GH 是平行四边形 DEH平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 答案B 解析如图，由题意，EFBD，且 EF1 5BD. HGBD，且 HG1 2BD.EFHG，且 EFHG.四边形 EFGH 是梯形 又 EF平面 BCD，而 EH 与平面 ADC 不平行故选 B. 2.（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，M是AB的中点. （1）求证： 1 BC 平面 1 MCA； 【解析】 （1）连接 1 AC，

9、设 1 AC与 1 AC的交点为N，则N为 1 AC的中点，连接MN，又M是AB的中点，所以 1 / /MNBC.又MN 平面 1 MCA， 1 BC 平面 1 MCA，所以 1/ / BC平面 1 MCA. 3.（2020山东高三下学期开学）如图，在四棱锥SABCD中，ABCD是边长为 4 的正方形，SD 平面 ABCD，EF，分别为ABSC，的中点. （1）证明：/EF平面SAD. 【解析】（1）证明：记SD的中点为G，连接GF，GA.因为EF，分别为ABSC，的中点， 则/GF CD，且 1 2 GFCD.因为/AE CD，且 1 2 AECD， 所以/GF AE，且GFAE，所以四边形

10、GFEA为平行四边形，则/EF AG. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 又EF 平面SAD，AG 平面SAD，所以/EF平面SAD. 题型题型三三面面平行的判定和性质面面平行的判定和性质 例例 5如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G 分别是棱 B1B，D1D，DA 的 中点求证：平面 AD1E平面 BGF. 解析E，F 分别是 B1B 和 D1D 的中点，D1F 綊 BE， 四边形 BED1F 是平行四边形，D1EBF. 又D1E平面 BGF，BF

11、平面 BGF，D1E平面 BGF.FG 是DAD1的中位线，FGAD1. 又 AD1平面 BGF，FG平面 BGF，AD1平面 BGF.又AD1D1ED1，平面 AD1E平面 BGF. 玩转跟踪 1.(2020合肥质检)如图， 在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是正方形， BF平面 ABCD， DE平面 ABCD， BFDE，M 为棱 AE 的中点 (1)求证：平面 BDM平面 EFC； 证明如图，设 AC 与 BD 交于点 N， 则 N 为 AC 的中点，连接 MN，又 M 为棱 AE 的中点，MNEC. MN平面 EFC，EC平面 EFC，MN平面 EFC. BF平面 ABC

12、D，DE平面 ABCD，且 BFDE，BFDE 且 BFDE， 四边形 BDEF 为平行四边形，BDEF.BD平面 EFC，EF平面 EFC，BD平面 EFC. 又 MNBDN，MN，BD平面 BDM，平面 BDM平面 EFC. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转练习 1.（2019 全国理 7）设，为两个平面，则的充要条件是 A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面 解析：解析：对于 A，内有无数条直线与平行，则与相交或 ，排除； 对于

13、 B，内有两条相交直线与平行，则 ； 对于 C，平行于同一条直线，则与相交或 ，排除； 对于 D，垂直于同一平面，则与相交或 ，排除故选 B 2.(2018 浙江)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解析】若m ，n ，mn，由线面平行的判定定理知m若m，m ，n ， 不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件故选 A 3.（2019江苏）如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC 求证：（1） 11/ / AB平面 1 DEC； 证明

14、：（1）在直三棱柱 111 ABCA BC中，D，E分别为BC，AC的中点， / /DEAB， 11 / /ABAB， 11 / /DEA B，DE 平面 1 DEC， 11 A B 平面 1 DEC， 11/ / AB平面 1 DEC 4.(新课标全国，18)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (1)证明：PB平面 AEC； 解析.(1)证明设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO.因为

15、ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB.又因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC， 所以 PB平面 AEC. 5.(新课标全国，18)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点. (1)证明：BC1平面 A1CD； 解析(1)证明连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点. 又 D 是 AB 中点，连接 DF，则 BC1DF. 因为 DF平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD. 6.(2016新课标全国，19)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB

16、 ADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点. (1)证明：MN平面 PAB； 证明由已知得 AM2 3AD2.取 BP 的中点 T，连接 AT，TN， 由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN1 2BC2. 又 ADBC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT. 因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB. 7.(江苏，16)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为 D， B1CBC1E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C； 证明(1)由题意知，E 为

17、B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，所以 DEAC. 又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C. 8.(山东，18)如图，三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (1)求证：BD平面 FGH； 证明(1)方法一 连接 DG，CD，设 CDGFM，连接 MH. 在三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC，DFGC， 所以四边形 DFCG

18、为平行四边形则 M 为 CD 的中点， 又 H 为 BC 的中点，所以 HMBD，又 HM平面 FGH，BD平面 FGH，所以 BD平面 FGH. 方法二在三棱台 DEFABC 中，由 BC2EF，H 为 BC 的中点， 可得 BHEF，BHEF，所以四边形 HBEF 为平行四边形，可得 BEHF. 在ABC 中，G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点，所以 GHAB. 又 GHHFH，所以平面 FGH平面 ABED.又因为 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH. 9.（2018 江苏）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 111 ABBC 求证：(1)AB

19、平面 11 ABC； 【证明】 (1)在平行六面体 1111 ABCDABC D中，AB 11 AB 因为AB 平面 11 ABC， 11 AB 平面 11 ABC， 所以AB平面 11 ABC 10.（2017 浙江）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD， CDAD，22PCADDCCB，E为PD的中点 （）证明：CE平面PAB； 【解析】（）如图，设 PA 中点为 F，连结 EF，FB 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 因为 E，F 分别为 PD

20、，PA 中点，所以 EFAD 且 1 2 EFAD， 又因为 BCAD， 1 2 BCAD，所以 EFBC 且 EF=BC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF， 因此 CE平面 PAB 11.（2020桥东区校级模拟）如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，2ABAC， 1 2BCAA，O，M分 别为BC， 1 AA的中点 （1）求证：/ /OM平面 11 CB A； 【解答】（1）证明：连接 1 BC交 1 B C于G，则G为 1 B C的中点， 连接OG，则 11 / / /OGBBAM，又 1 OGAM，四边形 1 OGAM为平行四边形，则 1 / /OMAG OM 平面 11 CB A， 1 AG 平面 11 CB A，/ /OM平面 11 CB A；