考点35 大题特训一教师.pdf

1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 35解三角形大题特训 1.【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求A； （2）若22abc，求 sinC 【答案】（1） 60A ；（2） 62 sin 4 C . 【解析】（1）由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC ，故由正弦定理得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为0180A

2、，所以 60A （2）由（1）知 120BC ，由题设及正弦定理得2sinsin 1202sinACC ， 即 631 cossin2sin 222 CCC ，可得 2 cos60 2 C 由于0 120C ，所以 2 sin60 2 C ，故sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函 数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关 系. 2 【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

3、已知sinsin 2 AC abA （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围 【答案】（1）B=60；（2） 33 (,) 82 . 【解析】（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由180ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ，因此B=60 （2）由

4、题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形， 故0A90， 0C90， 由 （1） 知A+C=120， 所以30C90， 故 1 2 2 a， 从而 33 82 ABC S 因此，ABC面积的取值范围是 33 , 82 【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解）， 最后考查V ABC是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 3【2019 年高考北京卷理数】在ABC中，a=3，bc=2，cosB= 1 2 （1）

5、求b，c的值； （2）求 sin（BC）的值 【答案】（1）7b ，5c ；（2） 4 3 7 . 【解析】（1）由余弦定理 222 2cosbacacB ，得 222 1 32 3 2 bcc . 因为2bc，所以 222 1 (2)32 3 2 ccc . 解得5c .所以7b . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （2）由 1 cos 2 B 得 3 sin 2 B .由正弦定理得 5 3 sinsin 14 c CB b . 在ABC中，B是钝角，所以C为锐角.所以 2 11 c

6、os1 sin 14 CC. 所以 4 3 sin()sincoscossin 7 BCBCBC . 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 4【2019 年高考天津卷理数】在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知2bca， 3 sin4 sincBaC （1）求cosB的值； （2）求sin 2 6 B 的值 【答案】（1） 1 4 ；（2） 3 57 16 . 【解析】（1）在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，

7、 得3 sin4 sinbCaC，即34ba又因为2bca，得到 4 3 ba， 2 3 ca由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B ac aa （2）由（1）可得 2 15 sin1 cos 4 BB，从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB ，故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力 5

8、【2019 年高考江苏卷】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）若a=3c，b=2，cosB= 2 3 ，求c的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B 的值 【答案】（1） 3 3 c ；（2） 2 5 5 . 【解析】 （1） 因为 2 3 ,2,cos 3 ac bB， 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ， 得 222 2(3 )( 2) 32 3 cc cc ， 即 2 1 3 c .所

9、以 3 3 c . （2）因为 sincos 2 AB ab ，由正弦定理 sinsin ab AB ，得 cossin 2 BB bb ，所以cos2sinBB. 从而 22 cos(2sin)BB，即 22 cos4 1 cosBB，故 2 4 cos 5 B . 因为sin0B ，所以cos2sin0BB，从而 2 5 cos 5 B . 因此 2 5 sincos 25 BB . 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算 求解能力. 6【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在ABC中，a、b、c分别是内角A、B、

10、 C的对边，且3 cossin( coscos)bAA aCcA. （1）求角A的大小； （2）若 2 3a ，ABC的面积为 5 3 4 ，求ABC的周长 【答案】（1） 3 A ；（2）5 3. 【解析】（1）3 cossin( coscos)bAA aCcA，由正弦定理可得： 3sincossin(sincossincos)BAAACCA sinsin()sinsinAACAB， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 即 3sincosBAsinsinAB ，sin0B ，tan 3A

11、 ，(0,)A， 3 A （2） 3 A ， 2 3a ，ABC的面积为 5 3 4 ， 135 3 sin 244 bcAbc ， 5bc ，由余弦定理可得： 222 2cosabcbcA ， 即 2222 12()3()15bcbcbcbcbc，解得：3 3bc， ABC的周长为 2 33 35 3abc . 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角 形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 3sincossinsinBAAB ，由sin0B ， 可求tan 3A ，结合

12、(0,)A，可求 3 A （2）利用三角形的面积公式可求5bc ，进而根据余弦定理可得 3 3bc ，即可计算ABC的周长的 值 7.（2020北京卷）在ABC中，11ab，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求： （）a的值： （）sinC和ABC的面积 条件： 1 7,cos 7 cA ； 条件： 19 cos,cos 816 AB 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】选择条件（）8（） 3 sin 2 C , 6 3S ； 选择条件（）6（） 7 sin 4 C , 15 7 4 S . 【解析】选择条件（）根据余弦定理直接求解，（）先根据三角函数同角关系求

13、得sin A,再根据正 弦定理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 选择条件（）先根据三角函数同角关系求得sin,sinAB，再根据正弦定理求结果，（）根据两角和 正弦公式求sinC，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件（） 1 7,cos 7 cA ，11ab 222222 1 2cos(11)72(11) 7 () 7 abcbcAaaa 8a （） 2 14 3 cos(0, )sin1 cos 77 AAAA ， 由正弦定理得：

14、873 sin sinsinsin24 3 7 ac C ACC 113 sin(11 8) 86 3 222 SbaC 选择条件（） 19 cos,cos,(0, ) 816 ABA B， 22 3 75 7 sin1 cos,sin1 cos 816 AABB 由正弦定理得： 11 6 sinsin3 75 7 816 abaa a AB （） 3 795 717 sinsin()sincossincos 8161684 CABABBA 11715 7 sin(11 6) 6 2244 SbaC 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 8.（2

15、020全国 2 卷）ABC中，sin 2Asin2Bsin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求ABC周长的最大值. 【答案】（1） 2 3 ；（2）3 2 3 . 【解析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A的形式，进而求得A； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （2）利用余弦定理可得到 2 9ACABAC AB，利用基本不等式可求得ACAB的最大值，进而 得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得： 222 BCACABAC AB ， 222 1 cos 2

16、2 ACABBC A AC AB ，0,A， 2 3 A . （2）由余弦定理得： 22222 2cos9BCACABAC ABAACABAC AB ， 即 2 9ACABAC AB. 2 2 ACAB AC AB （当且仅当ACAB时取等号）， 2 2223 9 24 ACAB ACABAC ABACABACAB ， 解得： 2 3ACAB （当且仅当ACAB时取等号）， ABC周长32 3LACABBC，ABC周长的最大值为32 3. 9.（2020江苏卷）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得 4 c

17、os 5 ADC ，求tanDAC的值 【答案】（1） 5 sin 5 C ；（2） 2 tan 11 DAC. 【解析】（1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC. （2） 根据cosADC的值， 求得sinADC的值， 由 （1） 求得cosC的值， 从而求得sin,cosDACDAC 的值，进而求得tanDAC的值. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【详解】（1）由余弦定理得 222 2 2cos922 325 2 bacacB ，所以 5b . 由正弦定理得 sin5

18、sin sinsin5 cbcB C CBb . （2）由于 4 cos 5 ADC ，, 2 ADC ，所以 2 3 sin1 cos 5 ADCADC. 由于, 2 ADC ，所以0, 2 C ，所以 2 2 5 cos1 sin 5 CC . 所以sinsinDACDACsinADCC sincoscossinADCCADCC 32 5452 5 555525 . 由于0, 2 DAC ，所以 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC . 所以 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档

19、题. 10.（2020新全国 1 山东）在 3ac ，sin3cA ， 3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB= =， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】详见解析 【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系， 设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨

20、群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角, ,A B C的值，然后根据选择的条 件进行分析判断和求解. 【详解】解法一：解法一：由sin3sinAB= =可得：3 a b ，不妨设3 ,0am bm m， 则： 222222 3 2cos323 2 cababCmmm mm ，即cm. 选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得： 2 333acm mm ，1m，此时1cm. 选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得： 222222 2 31 cos 222 bcammm A bcm

21、， 则： 2 13 sin1 22 A ，此时： 3 sin3 2 cAm ，则： 2 3cm . 选择条件选择条件的解析：的解析：可得1 cm bm ，cb，与条件 3cb矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：3, 6 sinAsinB CBAC , 3sin3sin 6 sinAACA , 31 3sin33 22 sinAACsinAcosA ， 3sinAcosA , 3tanA , 2 3 A , 6 BC , 若选， 3ac , 33abc , 2 33c ,c=1; 若选，3csinA,则 3 3 2 c , 2 3c ;若选,与条件 3cb矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角

22、关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式 的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 11.（2020天津卷）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知2 2,5,13abc （）求角C的大小； （）求sin A的值； （）求sin2 4 A 的值 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【答案】（） 4 C =；（） 2 13 sin 13 A ；（） 17

23、2 sin 2 426 A . 【解析】（）直接利用余弦定理运算即可； （）由（）及正弦定理即可得到答案； （）先计算出sin ,cos ,AA进一步求出sin2 ,cos2AA，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（）在ABC中，由2 2,5,13abc及余弦定理得 222 825 132 cos 2222 25 abc C ab ，又因为(0, )C，所以 4 C =； （）在ABC中，由 4 C =， 2 2,13ac 及正弦定理，可得 2 2 2 sin 2 sin 13 aC A c 2 13 13 ； （）由ac知角A为锐角，由 2 13 sin 13 A ，可得 2 cos

24、1sinAA 3 13 13 ， 进而 2 125 sin22sincos,cos22cos1 1313 AAAAA ， 所以 12252 sin(2)sin2 coscos2 sin 444132132 AAA 17 2 26 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学 运算能力，是一道容易题. 12.（2020浙江卷）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 sin 3bAa （I）求角B； （II）求 cosA+cosB+cosC的取值范围 【答案】（I） 3 B ；（II） 31 3 , 22 【解析】（I）首先利用

25、正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定B的大小； （II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有A的三角函数式，然后由三角形为锐角三 角形确定A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得coscoscosABC的取值范围. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【详解】（I）由2 sin 3bAa 结合正弦定理可得： 3 2sinsin3sin,sin 2 BAAB ABC为锐角三角形，故 3 B . （II）结合(1)的结论有： 12 coscoscoscoscos 23 ABCAA 131 coscossin 222 AAA 311 sincos 222 AA 1 sin 62 A . 由 2 0 32 0 2 A A 可得： 62 A ， 2 363 A ， 则 3 sin,1 32 A ， 131 3 sin, 2232 A . 即coscoscosABC的取值范围是 31 3 , 22 . 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”； 求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化 为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.